6.1. INSTRUCTIONS METHODOLOGIQUES

Une moyenne est une forme d’indicateur statistique.

La valeur moyenne est lissée individuel caractéristiques des unités individuelles de la population, cependant l'essentiel est révélé, basique, typique, qui caractérise la totalité dans son ensemble.

Valeur moyenne - Ce généraliser indicateur caractérisant typique niveau de caractéristique variable par unité qualitativement homogène agrégats dans des conditions spécifiques de lieu et de temps.

Généraliser un indicateur est un indicateur qui caractérise la population dans son ensemble.

Homogène un ensemble est un ensemble dont les unités se forment sous l'influence de causes fondamentales communes et de conditions de développement qui déterminent le niveau général d'une caractéristique donnée, caractéristique de l'ensemble de la population étudiée.

Valeur moyenne calculée qualitativement hétérogène agrégé, fictif, aveugle.

Conditions obligatoires pour le calcul des valeurs moyennes

• 1. La valeur moyenne doit être calculée sur la base de :
  • a) une population qualitativement homogène ;
  • b) des données massives et fiables ;
  • c) des données comparables (par territoire, époque, unités de mesure, méthodes de calcul, etc.).
• 2. La valeur moyenne générale doit nécessairement être complétée par d'autres valeurs moyennes calculées pour des groupes individuels, les valeurs individuelles de la caractéristique étant moyennées et les moyennes d'autres indicateurs.

Le respect de ces conditions permettra d'obtenir une description objective du phénomène et de prendre la bonne décision de gestion.

Par exemple, en 2015, le salaire nominal mensuel moyen accumulé en Fédération Russe dans l'économie dans son ensemble s'élevait à 34 030 roubles, dont 15 758 roubles. dans la production textile et vestimentaire (c'est le salaire le plus bas), 81 605 roubles. - dans la production de coke et de produits pétroliers (les salaires les plus élevés).

Dans la pratique économique, ils utilisent différentes sortes moyennes, qui sont divisées en deux groupes : les moyennes de puissance et les moyennes structurelles.

Moyennes de puissance :

• 1) moyenne arithmétique ;
• 2) moyenne harmonique ;
• 3) moyenne géométrique ;
• 4) carré moyen ;
• 5) cube moyen, etc.

Moyennes structurelles: mode; médian; quartiles ; déciles, etc. (sera discuté au chapitre 7).

Le choix d'une formule spécifique de calcul de la valeur moyenne dépend :

• 1) de formule sémantique, ceux. l'essence de la caractéristique moyennée, son contenu, sa relation avec l'indicateur final (définitif) ;
• 2) les données disponibles pour le chercheur ;
• 3) le degré de variation (fluctuation) de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne.

Final (définition) indice - c'est un indicateur, une valeur

ce qui ne changera pas si toutes les valeurs individuelles de la caractéristique (Xj) sont remplacées par la valeur moyenne de X.

L'indicateur déterminant est soit au numérateur, soit au dénominateur de la formule sémantique.

Question. Comment créer une formule sémantique pour calculer la moyenne du OV ?

Conseils d'un statisticien chevronné. Formule sémantique (logique) pour calculer la valeur moyenne de relatif les indicateurs coïncident

avec la formule de calcul du relatif indicateur.

Formule sémantique pourcentage moyen de défauts coïncide avec la formule de calcul taille relative de la structure(part des défauts dans le volume total de production) :

Il existe une certaine relation quantitative entre les moyennes de puissance, appelée Règle de la majorité:

Question. Est-il possible de remplacer une formule de calcul de la valeur moyenne par une autre et dans quel cas ?

Conseils d'un statisticien chevronné. Si la variabilité d'un signe petit,

si les valeurs de la caractéristique (X|) sont proches les unes des autres, alors un

la valeur moyenne peut être remplacée par une valeur plus simple.

Par exemple, au lieu de la moyenne géométrique, utilisez la moyenne arithmétique.

Ce chapitre examinera deux types de moyennes : la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique.

D'autres types de moyennes seront étudiés dans les chapitres suivants de l'atelier.

Le tableau 6.1 présente les formules de base pour calculer la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique.

Tableau 6.1

Calcul de la moyenne arithmétique et de la moyenne harmonique

Fin

Dans la pratique des calculs économiques, la moyenne est le plus souvent utilisée. arithmétique taille.

Le tableau 6.2 décrit certaines propriétés de la moyenne arithmétique, largement utilisées pour contrôler et simplifier les calculs.

Tableau 6.2

Propriétés de la moyenne arithmétique

Propriété de la moyenne arithmétique	Formule
1. N'importe lequel la valeur moyenne ne peut pas être inférieure à la plus petite valeur de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne et supérieure valeur la plus élevée Au total
2. Si chaque la valeur de la caractéristique est augmentée ou diminuée du même nombre, alors la valeur moyenne changera en conséquence
3. Si chaque la valeur de la caractéristique est augmentée ou diminuée du même nombre de fois, alors la valeur moyenne changera en conséquence
4. Si poids toutes les options sont multipliées ou divisées par le même nombre, alors la valeur moyenne ne changera pas
Corollaire : lors du calcul de la moyenne, la densité spécifique peut être utilisée comme poids
5. La somme des écarts des options individuelles par rapport à leur moyenne est nulle

Calcul de la valeur moyenne par la méthode des moments

Les propriétés de la moyenne arithmétique permettent de simplifier les calculs de valeurs moyennes, notamment pour discret séries de variations, ainsi que pour intervalle Lignes avec des égauxà intervalles. Illustrons cela avec un exemple.

Tableau 6.3

Solution. Le tableau 6.3 présente une série de variations d'intervalles avec égalà intervalles. Comme valeur de l'attribut (x), nous prenons le milieu de chaque intervalle (colonne 1).

Admettons que la largeur de l'intervalle ouvert sera égale à la largeur de l'intervalle fermé qui lui est adjacent.

Calculons le rendement moyen d'une équipe de travailleurs de la manière habituelle (non simplifiée) :

Les calculs sont présentés dans les colonnes 3, 4 du tableau. 6.3.

2. Calculez la moyenne conditionnelle (la moyenne des options transformées) :

Les calculs sont présentés dans la colonne 5 du tableau. 6.3.

3. Passons de la moyenne conditionnelle (x) au réel (x), pour lequel nous effectuerons les opérations que nous avons faites dans l'ordre inverse X

Le résultat coïncide avec le calcul utilisant la méthode non simplifiée.

Conseils d'un statisticien chevronné. Si la série de variations avec égal intervalles, les colonnes 1 et 3 du tableau n'ont pas besoin d'être calculées. Immédiatement après la colonne 2 (/-fréquences), nous remplissons la colonne x." Au centre de cette colonne, nous écrivons 0. Le milieu de cet intervalle sera x 0, et la largeur de l'intervalle sera h(Tableau 6.4).

Tableau 6.4

Calcul du rendement moyen par la méthode des moments

6.2. RÉSOLUTION DE PROBLÈMES TYPIQUES

Problème 6.1. Calculer la moyenne mensuelle salaires travailleurs de l'entreprise dans l'année en cours selon le tableau. 6.5.

Solution. Le calcul de la valeur moyenne doit commencer par l'écriture d'une formule sémantique.

Sémantique (.logique) formule du salaire moyen :

L'algorithme (formule de calcul) du salaire moyen dépend des données statistiques dont dispose le chercheur.

Considérons plusieurs options.

Je choisis. Si l'on sait qu'au cours de l'année en cours, le fonds salarial des travailleurs de l'entreprise pour le mois s'élevait à 2 804 000 roubles et que 72 personnes travaillaient dans l'entreprise, le salaire moyen peut être calculé en le substituant directement dans la formule sémantique 6.2. les données dont nous disposons sur le fonds salarial et l'effectif travailleurs :

Conclusion. Cette année, les travailleurs de l'entreprise ont reçu en moyenne 38 900 roubles par mois.

Option II. Les données sur les salaires et le nombre de travailleurs pour les ateliers individuels de l'entreprise sont connues (tableau 6.5).

Tableau 6.5

Masse salariale et nombre de travailleurs dans les ateliers individuels de l'entreprise par mois

Solution. La formule sémantique (logique) du salaire moyen n'a pas changé (formule 6.2). Cependant, ni le numérateur ni le dénominateur de la formule sémantique directement inconnus, mais ils peuvent être calculés à l’aide des données du tableau. 6.5.

Choisissons symboles(Tableau 6.6).

Pour calculer le numérateur de la formule sémantique - « Fonds salarial des travailleurs des entreprises », il faut pour chaque atelier de l'entreprise, multiplier les salaires des ouvriers (X) par le nombre d'ouvriers (/), puis obtenir le fonds salarial pour chaque atelier (Xf), additionner leurs valeurs, calculant ainsi le fonds salarial pour l'ensemble de l'entreprise :

Les résultats des calculs sont présentés dans le tableau. 6.6.

Tableau 6.6

Calcul du salaire moyen mensuel des travailleurs de l'entreprise (moyenne arithmétique pondérée)

Alors le salaire moyen de l'entreprise (X) sera égal à :

Le salaire moyen a été calculé selon la formule moyenne arithmétique pondéré.

Question. Avec quelle précision faut-il calculer la valeur moyenne ?

Conseils d'un statisticien chevronné. Le degré de précision dans le calcul de la valeur moyenne doit être supérieur au degré de précision des indicateurs moyennés, en particulier lorsque leurs valeurs sont faibles.

Dans notre cas, les salaires des ateliers individuels de l'entreprise sont calculés avec une précision allant jusqu'à un nombre entier (32 ; 48 ; 39), et le salaire moyen est calculé avec un degré de précision plus élevé, jusqu'à un dixième de nombre. (38,9).

Question. Est-il possible de vérifier l'exactitude du calcul de la valeur moyenne ?

Conseils d'un statisticien chevronné.N'importe lequel la valeur moyenne doit être supérieure à la valeur minimale et inférieure à la valeur maximale de la caractéristique moyennée (propriété de toute valeur moyenne) :

Dans notre cas, cette exigence est remplie :

Il n’y a donc pas eu d’erreur grossière dans les calculs.

Conclusion. Cette année, le salaire mensuel moyen des travailleurs de l’entreprise était de 38,9 mille roubles. Les salaires les plus élevés étaient dans l'atelier n° 2 - 48 000 roubles par personne, les plus bas dans l'atelier n° 1 - 32 000 roubles par personne.

Question. Quelle formule faut-il utiliser pour calculer la valeur moyenne si seulement dénominateur formule sémantique, mais le numérateur n'est pas connu, mais peut-il être calculé ?

Conseils d'un statisticien chevronné. Si seulement connu dénominateur formule sémantique, et le numérateur n'est pas connu, mais il peut être calculé ; la valeur moyenne est calculée à l'aide de la formule moyenne arithmétique pondéré:

Option III. Les données sur les salaires et le fonds salarial des travailleurs des ateliers individuels de l'entreprise pour le mois sont connues (tableau 6.7).

Tableau 6.7

Masse salariale et nombre de travailleurs dans les ateliers individuels de l'entreprise par mois

Solution. La formule sémantique (logique) du salaire moyen reste la même (6.2).

Cependant, ni le numérateur ni le dénominateur de la formule sémantique directement inconnu. Mais ils peuvent être calculés selon les données du tableau. 6.7.

Pour calculer le dénominateur de la formule sémantique - « Nombre de travailleurs de l'entreprise », il faut pour chaque l'atelier pour diviser le fonds salarial ( M) par le nombre de travailleurs (X) et additionnez les données obtenues :

Les résultats des calculs sont présentés dans le tableau. 6.8.

Tableau 6.8

Calcul du salaire moyen mensuel des salariés de l'entreprise (moyenne harmonique pondérée)

Le calcul a été effectué à l’aide de la formule de la moyenne harmonique pondérée.

Examen:

Question. Quelle formule doit-on utiliser pour calculer la valeur moyenne si seulement la numérateur formule sémantique, mais le dénominateur n'est pas connu, mais il peut être calculé ?

Conseils d'un statisticien chevronné. Si seulement connu numérateur formule sémantique, et le dénominateur n'est pas connu, mais il peut être calculé ; la moyenne est calculée à l'aide de la formule de moyenne harmonique pondéré:

Option IV. Il est possible que ni les données sur le fonds salarial ni le nombre de travailleurs ne soient connues et ne puissent être calculées. Cependant, les informations sur les salaires sont connues pour chaque atelier de l'entreprise, c'est-à-dire les valeurs de la caractéristique moyenne (xj) sont données (tableau 6.9).

Tableau 6.9

Salaires mensuels des employés de l'entreprise

Solution. Dans ce cas, le salaire moyen est calculé selon la formule moyenne arithmétique simple sur la base des données salariales (sans tenir compte des informations sur le nombre de travailleurs) :

Examen:

Question. Mais quelle formule permet de calculer la valeur moyenne si l'on sait seules les valeurs de la caractéristique sont moyennées dans des unités individuelles de la population ?

Conseils d'un statisticien chevronné Si ni le numérateur ni le dénominateur de la formule sémantique ne sont connus, mais que les valeurs de la caractéristique moyennée sont connues pour des unités individuelles de la population, la valeur moyenne est calculée à l'aide de la formule moyenne arithmétique simple :

Comme on le voit, les salaires calculés selon la formule de la moyenne arithmétique simple et moyenne arithmétique pondéré, ne coïncident pas quantitativement :

Conseils d'un statisticien chevronné. Moyenne arithmétique pondéré donne toujours un résultat plus précis que la moyenne arithmétique simple, puisqu'il prend en compte davantage de facteurs qui déterminent la valeur de la valeur moyenne.

Dans notre cas, la moyenne arithmétique simple ne prend en compte que la répartition des salaires dans les ateliers individuels et la moyenne arithmétique pondéré Il prend également en compte le nombre de travailleurs recevant chaque valeur salariale.

Problème 6.2. DANS L'année dernière, les billets pour les concerts de musique d'orgue pouvaient être achetés pour 800, 1 000 et 1 200 roubles. DANS Cette année, le prix des billets a augmenté de 100 roubles.

Solution.

1. Calculez le prix moyen du billet Par le passé année.

Formule significative pour le prix moyen :

Puisque nous ne connaissons ni le numérateur ni le dénominateur de la formule sémantique, mais que nous connaissons les valeurs de l'attribut moyenné (prix), nous ne pouvons utiliser que la formule de moyenne arithmétique simple".

Examen:

Conclusion. L'année dernière, les billets pour les concerts de musique d'orgue ont été vendus en moyenne à 967 roubles par pièce.

2. Calculez le prix moyen du billet dans l'actuel année.

Examen:

Pour simplification calculs sans perdre leur précision, nous utilisons la propriété de la valeur moyenne (tableau 6.2, propriété 2) :

Si dans l'année en cours les prix sont Tous les billets ont été augmentés de 100 roubles, puis moyenne le prix cette année sera de 100 roubles. plus l'année dernière prix moyen:

Conclusion. Cette année, les billets pour les concerts d'orgue se vendront en moyenne à 1 067 roubles par pièce.

Conseils d'un statisticien chevronné. Si chaque la valeur de la caractéristique (X) augmente (diminue) du même nombre, puis la valeur de la valeur moyenne augmente (diminue) du même nombre.

Problème 6.3. Calculez le prix moyen des billets pour les concerts de musique d'orgue si vous savez que l'année dernière, 33% des billets ont été vendus au prix de 1 200 roubles, 57% - à 900 roubles. et 10% - 800 roubles chacun.

Solution. On ne connaît ni le numérateur ni le dénominateur de la formule sémantique et il est impossible de les calculer selon les conditions du problème :

Cependant, déterminez moyenne le prix des billets est possible si vous utilisez la propriété de valeur moyenne (tableau 6.2) : ​​si les poids (J) tout le monde valeurs caractéristiques ( X) multipliez ou divisez par le même nombre, la valeur moyenne ne changera pas.

Ainsi,

Conclusion. L'année dernière, les billets pour les concerts de musique d'orgue ont été vendus en moyenne à 989 roubles par pièce.

Expliquer pourquoi prix moyen les tickets des problèmes 6.2 et 6.3 ne correspondent pas.

Conseils d'un statisticien chevronné. Les densités spécifiques peuvent être utilisées comme poids (/). La valeur moyenne ne changera pas.

Calculons la valeur moyenne dans intervalle variationnel

Problème 6.4. D'après le tableau 6.10 Calculez le rendement moyen des travailleurs de l’équipe par quart de travail, en indiquant le type de moyenne.

Tableau 6.10

Répartition des ouvriers d'équipage par production

Solution. Pour calculer le rendement moyen des travailleurs d’une équipe par quart de travail, nous utilisons la formule suivante :

Selon les conditions du problème, nous connaissons le dénominateur de la formule sémantique (le nombre d'ouvriers dans la brigade), mais le numérateur (la production des ouvriers de la brigade par équipe) ne l'est pas, mais il peut être trouvé par en multipliant la production des travailleurs de chaque groupe par le nombre de travailleurs. Il est donc nécessaire d'appliquer la formule de la moyenne arithmétique pondérée :

Cependant, les données sur la production des travailleurs sont présentées sous la forme intervalles, ceux. nous ne savons pas précisément combien d'unités de production ont été produites chaque ouvrier. Nous savons seulement que chaque travailleur est le premier groupes a sorti moins de 10 produits, le second - de 10 à 16 produits, etc. Quelle valeur faut-il prendre comme valeur de production pour chaque intervalle ?

Conseils d'un statisticien chevronné. Si les données sont présentées sous la forme intervalle série, alors comme valeur de la caractéristique (X) nous prenons milieu chaque intervalle.

Le premier intervalle « jusqu’à 10 » est ouvert car il n’a pas de limite inférieure. Tout d’abord, « fermons » cet intervalle, conditionnellement définir sa borne inférieure.

Question. Comment fermer un intervalle ouvert ?

Conseils d'un statisticien chevronné. Ordre de grandeur ouvrir l'intervalle est supposé égal à voisin il y a un intervalle fermé avec lui.

La valeur de l'intervalle fermé adjacent « 10-16 » est 6 = 16-10, par conséquent, la limite inférieure du premier intervalle sera 4 = 10-6. Le premier intervalle est donc « 4-10 ».

Le dernier intervalle « 22 et plus » est également ouvert. Il ne possède pas de haut les frontières. La valeur de l'intervalle fermé adjacent est 6 = 22 - 16, donc la limite supérieure de l'intervalle ouvert sera 22 + 6 = 28. Le dernier intervalle : « 22-28 ».

Formalisons la solution dans le tableau. 6.11.

Nous calculons le milieu de l'intervalle pour chaque groupe en utilisant la formule simple de la moyenne arithmétique. Par exemple, pour le premier groupe (premier intervalle) :

Tableau 6.11

Calcul du rendement moyen des travailleurs sur la base de données d'intervalle

rangée

Formule significative pour le rendement moyen :

Sur la base de la formule sémantique et des données dont nous disposons, nous calculerons le salaire moyen en utilisant la formule de la moyenne arithmétique pondérée :

Examen:

Conclusion. Les équipes de travail produisaient en moyenne 16 produits par quart de travail.

6.3. TÂCHES POUR LE TRAVAIL INDÉPENDANT

Intelligent et capable est celui qui demande quand il doute de quelque chose.

Lee Shin-in

Tâche 6.1.Écrivez une formule logique (sémantique) pour calculer les indicateurs suivants :

• 1) rendement moyen des pommes de terre ;
• 2) pourcentage moyen d'achèvement du plan ;
• 3) salaire moyen un travailleur;
• 4) le pourcentage moyen de produits premium ;
• 5) coût moyen par unité de production ;
• 6) prix moyen des marchandises ;
• 7) rentabilité moyenne.

Tâche 6.2. Remplir le tableau 6.12, calculer pour chaque trimestre année actuelle le pourcentage moyen de produits défectueux pour l'ensemble des trois équipes. Nommez le type de valeurs moyennes utilisées pour le calcul. Analysez vos résultats.

Tableau 6.12

Indicateurs économiques pour trois équipes de montage

ateliers

Tâche 6.3. Remplir le tableau 6.13, calculer pour chaque mois de l'année en cours la rentabilité moyenne des trois entreprises de l'entreprise dans son ensemble.

Analysez vos résultats. Justifier le choix des valeurs moyennes utilisées pour le calcul.

Tableau 6.13

Indicateurs économiques pour trois entreprises de la société Orpheus

Tâche 6.4. Les données suivantes sont disponibles pour trois entreprises agricoles de la région pour l'année en cours :

• 1. Calculez le rendement moyen des trois entreprises entières pour chaque semestre et chaque année.
• 2. Étudiez l’évolution du rendement moyen au second semestre par rapport au premier. Conclure.
• 3. Analyser l'évolution de la structure des superficies ensemencées.
• 4. Complétez vos calculs dans un tableau.

Tâche 6.5. On connaît les données suivantes sur les ventes de céréales à la population de la région dans les trois magasins de l'entreprise pour le mois de février de cette année :

Tableau 6.14

Prix ​​et volume des ventes de céréales pour février de cette année

Calculer:

• 1) le prix moyen de 1 kg de céréales pour l'ensemble de l'entreprise. Justifier le choix de la formule de calcul de la valeur moyenne. Présenter les calculs sous forme de tableau ;
• 2) la part du magasin n°1 dans le volume total de céréales vendues pour l'ensemble de l'entreprise.

Tirer une conclusion.

Tâche 6.6. D'après le tableau. 6.15 calculer le pourcentage moyen de produits certifiés. Justifiez le choix de la formule de calcul de la valeur moyenne.

Tirer une conclusion sur la dynamique de la qualité des produits si, au cours de la période écoulée, le pourcentage moyen de produits certifiés était 70,9%.

Tableau 6.15

Données sur la certification des produits Kvadrat

Tâche 6.7. D'après le tableau. 6.16 calculer le pourcentage moyen d'achèvement d'une tâche postée par les travailleurs de l'équipe, y compris la méthode des moments.

Tableau 6.16

Répartition des travailleurs d'équipe selon le pourcentage d'achèvement des tâches par quart

Présentez vos calculs dans un tableau. Conclure.

Tâche 6.8. Calculez la catégorie salariale moyenne des ouvriers d'une brigade si 20 % des ouvriers appartiennent à la troisième catégorie, 40 % à la quatrième, 35 % à la cinquième et le reste à la sixième. Indiquez le type de valeur moyenne utilisé pour le calcul. Nommez la propriété de la valeur moyenne que vous avez utilisée dans votre solution.

Comment les qualifications des ouvriers de la brigade ont-elles changé si l'année dernière la catégorie salariale moyenne des ouvriers était de 5,1. Conclure.

Tâche 6.9. Le café "Ogonyok" envisage d'acheter 50 kg de viande par 300 frotter./kg et 80 kg - par 270 frotter/kg Cependant, le fournisseur a augmenté les prix de la viande de 1,2 fois.

Calculez le prix moyen auquel 1 kg de viande a été réellement acheté et quel était le prix d'achat moyen prévu.

Nommez le type de valeur moyenne utilisé pour le calcul. Conclure.

Tâche 6.10. L'année précédente, 28% de la population de la région disposait d'un revenu annuel pour chaque membre de la famille de 180 000 roubles, 56% de 264 000 roubles et le reste de 588 000 roubles.

Présentez les données sous forme de tableau. Déterminez le revenu familial annuel moyen par habitant pour l’ensemble de la région.

Indiquez le type de valeur moyenne utilisé pour le calcul. Tirer une conclusion.

Tâche 6.11. Calculez le bénéfice moyen par action pour l'entreprise dans son ensemble, si le montant du bénéfice pour la première entreprise de l'entreprise était de 168 000 roubles, pour la seconde de 228 800 roubles, pour la troisième de 218 400 roubles. Le bénéfice par action des entreprises de la société s'élève respectivement à 6,0 ; 5.2 ; 3,9 frotter.

Calculez la part de chaque entreprise dans le bénéfice total de l'entreprise.

Présentez les calculs du problème dans un tableau. Tirer une conclusion.

Tâche 6.12. D'après le tableau. 6.17 calculer âge moyen travailleurs de l'organisation, indiquant le type de valeur moyenne.

Tableau 6.17

Répartition des travailleurs de PJSC "Record" par âge

Explorer pyramide des ages travailleurs de l'organisation, calculant la structure OB.

Présentez vos calculs dans un tableau. Conclure.

Tâche 6.13. Calculez l'intensité de travail moyenne de la fabrication d'une unité de produit pour l'entreprise dans son ensemble, si le temps consacré à la production dans la première entreprise de l'entreprise était de 276 000 heures-homme, dans la seconde - 2016 000 heures-homme, dans la troisième - 3666 mille heures-homme. L'intensité de travail du produit dans les entreprises de l'entreprise était respectivement de 4,6 ; 11.2 ; 9,4 heures/pièce

Indiquez le type de valeur moyenne utilisé pour le calcul.

Calculez la part de chaque entreprise dans le temps total consacré à la production des produits de l'entreprise. Indiquez le type d'OB calculé.

Présentez vos calculs dans un tableau. Tirer une conclusion.

Tâche 6.14. En Russie, il y a 101 étrangers répartis dans 22 clubs de la Ligue continentale de hockey (KHL), dont : 14 du Canada, 11 des États-Unis, 76 d'Europe. Il y a 17 étrangers dans 14 clubs de la Super League russe de volleyball. Il y a 53 étrangers dans 10 clubs de la VTB United Basketball League. La Première Ligue russe de football compte 16 clubs, dont 131 étrangers. Il y a 13 équipes dans la super ligue russe de bandy et seulement 6 équipes étrangères. Attention : toutes les équipes sont masculines.

Calculer : 1) le nombre moyen de joueurs étrangers dans les clubs russes ; 2) la structure des joueurs étrangers dans la KHL par pays. Dessinez un diagramme de structure. Conclure.

Tâche 6.15. Les données suivantes sur les activités commerciales et de production du café Romashka pour septembre de cette année sont connues :

Calculer:

• 1) à quel prix en moyenne le café Romashka a-t-il acheté des marchandises en septembre ? Indiquer le type de valeur moyenne calculée ;
• 2) la part (part) de chaque lot de marchandises dans le volume total des recettes du mois (en %). Évaluer le rythme des entrées de marchandises.
• 3) De combien de roubles et de pourcentage le prix d'achat moyen des marchandises a-t-il augmenté, si en octobre les marchandises ont été achetées pour une moyenne de 127,81 roubles/pièce ?

Conclure.

• Conclusion. Chaque travailleur de l'équipe produisait en moyenne 48 unités de produit par quart de travail. Dans d'autres calculs du rendement moyen de manière simplifiée, nous utiliserons les propriétés de la moyenne arithmétique. 1. Dans les calculs, nous prenons les options transformées (x) comme valeur de la caractéristique moyenne (x) : où xq et h sont des nombres quelconques. Conseils d'un statisticien chevronné. La plus grande simplification peut être obtenue si nous prenons le milieu de l'intervalle central (x0 = 50) comme x0 et la largeur de l'intervalle (h = 20) comme h.

Aux fins d'analyse et d'obtention de conclusions statistiques basées sur les résultats du résumé et du regroupement, des indicateurs généralisants sont calculés - valeurs moyennes et relatives.

Problème de moyennes – caractériser toutes les unités d'une population statistique avec une valeur caractéristique.

Les valeurs moyennes caractérisent les indicateurs qualitatifs de l'activité entrepreneuriale : coûts de distribution, profit, rentabilité, etc.

valeur moyenne- il s'agit d'une caractéristique généralisatrice d'unités de la population selon une caractéristique variable.

Les valeurs moyennes permettent de comparer les niveaux d'un même trait dans différentes populations et de trouver les raisons de ces écarts.

Dans l'analyse des phénomènes étudiés, le rôle des valeurs moyennes est énorme. L'économiste anglais W. Petty (1623-1687) a largement utilisé les valeurs moyennes. V. Petty souhaitait utiliser des valeurs moyennes comme mesure du coût des dépenses pour la nourriture quotidienne moyenne d'un travailleur. La stabilité de la valeur moyenne reflète la régularité des processus étudiés. Il pensait que l'information pouvait être transformée, même s'il n'y avait pas suffisamment de données originales.

Le scientifique anglais G. King (1648-1712) a utilisé des valeurs moyennes et relatives lors de l'analyse des données sur la population de l'Angleterre.

Les développements théoriques du statisticien belge A. Quetelet (1796-1874) s'appuient sur le caractère contradictoire des phénomènes sociaux, très stables dans les masses, mais purement individuels.

Selon A. Quetelet, les causes constantes agissent de manière égale sur chaque phénomène étudié et rendent ces phénomènes similaires les uns aux autres, créant des schémas communs à tous.

Une conséquence des enseignements d'A. Quetelet fut l'identification des valeurs moyennes comme principale technique d'analyse statistique. Il a déclaré que les moyennes statistiques ne représentent pas une catégorie de réalité objective.

A. Quetelet a exprimé son point de vue sur la moyenne dans sa théorie de l'homme moyen. Une personne moyenne est une personne qui possède toutes les qualités d'une taille moyenne (taux de mortalité ou de natalité moyen, taille et poids moyens, vitesse de course moyenne, inclination moyenne au mariage et au suicide, aux bonnes actions, etc.). Pour A. Quetelet, la personne moyenne est la personne idéale. L'incohérence de la théorie de l'homme moyen d'A. Quetelet a été prouvée dans la littérature statistique russe en fin XIX-XX des siècles

Le célèbre statisticien russe Yu. E. Yanson (1835-1893) a écrit que A. Quetelet suppose l'existence dans la nature d'un type d'homme moyen comme quelque chose de donné, dont la vie a dévié les gens moyens d'une société et d'une époque données. , et cela le conduit à une vision tout à fait mécanique et aux lois du mouvement de la vie sociale : le mouvement est une augmentation progressive des propriétés moyennes d'une personne, une restauration progressive du type ; par conséquent un tel nivellement de toutes les manifestations de la vie du corps social, au-delà duquel cesse tout mouvement en avant.

L'essence de cette théorie a trouvé son développement ultérieur dans les travaux d'un certain nombre de théoriciens de la statistique en tant que théorie des quantités vraies. A. Quetelet avait des adeptes - l'économiste et statisticien allemand V. Lexis (1837-1914), qui a transféré la théorie des vraies valeurs aux phénomènes économiques vie publique. Sa théorie est connue sous le nom de théorie de la stabilité. Une autre version de la théorie idéaliste des moyennes est basée sur la philosophie

Son fondateur est le statisticien anglais A. Bowley (1869-1957) - l'un des théoriciens les plus éminents de l'époque récente dans le domaine de la théorie des moyennes. Son concept de moyennes est décrit dans son livre Elements of Statistics.

A. Boley considère les valeurs moyennes uniquement du côté quantitatif, séparant ainsi la quantité de la qualité. Déterminant le sens des valeurs moyennes (ou « leur fonction »), A. Boley met en avant le principe de pensée machien. A. Boley a écrit que la fonction des valeurs moyennes devrait exprimer un groupe complexe

en utilisant quelques nombres premiers. Les données statistiques doivent être simplifiées, regroupées et réduites à des moyennes. Ces vues : partagées par R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871 - 1951), Frederick S. Mills (1892), etc.

Dans les années 30 XXe siècle et les années suivantes, la valeur moyenne est considérée comme une caractéristique socialement significative dont le contenu informatif dépend de l'homogénéité des données.

Les représentants les plus éminents de l'école italienne R. Benini (1862-1956) et C. Gini (1884-1965), considérant les statistiques comme une branche de la logique, ont élargi le champ d'application de l'induction statistique, mais ils ont connecté les principes cognitifs de la logique et les statistiques avec la nature des phénomènes étudiés, suivant les traditions d'interprétation sociologique des statistiques.

Dans les travaux de K. Marx et V. I. Lénine, les valeurs moyennes jouent un rôle particulier.

K. Marx a fait valoir que dans la valeur moyenne, les écarts individuels par rapport au niveau général sont éteints et le niveau moyen devient une caractéristique générale d'un phénomène de masse. La valeur moyenne ne devient une telle caractéristique d'un phénomène de masse que si un nombre important d'unités est pris et ces unités sont qualitativement homogènes. Marx a écrit que la valeur moyenne trouvée devrait être la moyenne de «... de nombreuses valeurs individuelles différentes du même type».

La valeur moyenne acquiert une importance particulière dans les conditions économie de marché. Cela aide à déterminer la tendance nécessaire et générale du modèle développement économique directement à travers le singulier et le aléatoire.

Valeurs moyennes sont des indicateurs généraux dans lesquels l’action s’exprime conditions générales, le schéma du phénomène étudié.

Les moyennes statistiques sont calculées sur la base de données de masse provenant d'observations de masse statistiquement correctement organisées. Si la moyenne statistique est calculée à partir de données de masse pour une population qualitativement homogène (phénomènes de masse), alors elle sera objective.

La valeur moyenne est abstraite, car elle caractérise la valeur d'une unité abstraite.

La moyenne est abstraite de la diversité des traits des objets individuels. L'abstraction est une étape recherche scientifique. Dans la valeur moyenne, l'unité dialectique de l'individu et du général se réalise.

Les valeurs moyennes doivent être appliquées sur la base d'une compréhension dialectique des catégories d'individu et de général, d'individu et de masse.

Celui du milieu affiche quelque chose de commun contenu dans un objet unique spécifique.

Pour identifier des modèles dans les processus sociaux de masse, la valeur moyenne est d'une grande importance.

L'écart de l'individu par rapport au général est une manifestation du processus de développement.

La valeur moyenne reflète le niveau caractéristique, typique et réel des phénomènes étudiés. La tâche des valeurs moyennes est de caractériser ces niveaux et leurs évolutions dans le temps et dans l'espace.

L'indicateur moyen est une valeur commune, car il se forme dans les conditions normales, naturelles et générales d'existence d'un phénomène de masse spécifique, considéré dans son ensemble.

La propriété objective d'un processus ou d'un phénomène statistique se reflète dans la valeur moyenne.

Les valeurs individuelles de l'attribut statistique étudié sont différentes pour chaque unité de la population. La valeur moyenne des valeurs individuelles d'un type est un produit de nécessité, qui est le résultat de l'action combinée de toutes les unités de la population, se manifestant par une masse d'accidents répétés.

Certains phénomènes individuels ont des caractéristiques qui existent dans tous les phénomènes, mais en quantités différentes - c'est la taille ou l'âge d'une personne. D'autres signes d'un phénomène individuel sont qualitativement différents selon les phénomènes, c'est-à-dire qu'ils sont présents chez certains et non observés chez d'autres (un homme ne deviendra pas une femme). La valeur moyenne est calculée pour des caractéristiques qualitativement homogènes et différentes uniquement quantitativement, inhérentes à tous les phénomènes d'un ensemble donné.

La valeur moyenne reflète les valeurs de la caractéristique étudiée et est mesurée dans la même dimension que cette caractéristique.

La théorie du matérialisme dialectique enseigne que tout dans le monde change et évolue. Et aussi les caractéristiques caractérisées par les valeurs moyennes changent et, par conséquent, les moyennes elles-mêmes.

Dans la vie, il y a un processus continu de création de quelque chose de nouveau. Les porteurs d'une nouvelle qualité sont des objets uniques, puis le nombre de ces objets augmente et le nouveau devient une masse, typique.

La valeur moyenne caractérise la population étudiée selon une seule caractéristique. Pour une représentation complète et exhaustive de la population étudiée selon un certain nombre de caractéristiques spécifiques, il est nécessaire de disposer d'un système de valeurs moyennes permettant de décrire le phénomène sous différents angles.

Dans le traitement statistique du matériel, divers problèmes surviennent et doivent être résolus et, par conséquent, diverses valeurs moyennes sont utilisées dans la pratique statistique. Les statistiques mathématiques utilisent diverses moyennes, telles que : la moyenne arithmétique ; Moyenne géométrique; moyenne harmonique; carré moyen.

Pour appliquer l'un des types de moyenne ci-dessus, il est nécessaire d'analyser la population étudiée, de déterminer le contenu matériel du phénomène étudié, tout cela se fait sur la base de conclusions tirées du principe de signification des résultats lorsque peser ou additionner.

Dans l'étude des moyennes, les indicateurs et notations suivants sont utilisés.

Le signe par lequel la moyenne est trouvée s'appelle caractéristique moyenne et est noté x ; la valeur de la caractéristique moyenne pour toute unité d'une population statistique est appelée sa signification individuelle, ou options, et noté comme X 1 , X 2 , X 3 ,… X P. ; la fréquence est la répétabilité des valeurs individuelles d'une caractéristique, désignée par la lettre F.

Moyenne arithmétique

L'un des types de média les plus courants est moyenne arithmétique, qui est calculé lorsque le volume de la caractéristique moyennée est formé comme la somme de ses valeurs en unités individuelles de la population statistique étudiée.

Pour calculer la moyenne arithmétique, la somme de tous les niveaux de l'attribut est divisée par leur nombre.

Si certaines options se produisent plusieurs fois, alors la somme des niveaux de l'attribut peut être obtenue en multipliant chaque niveau par le nombre correspondant d'unités dans la population, puis en additionnant les produits résultants ; la moyenne arithmétique ainsi calculée est appelée la moyenne pondérée. moyenne arithmétique.

La formule de la moyenne arithmétique pondérée est la suivante :

où х je suis des options,

f i – fréquences ou poids.

Une moyenne pondérée doit être utilisée dans tous les cas où les options ont des nombres différents.

La moyenne arithmétique, pour ainsi dire, répartit également entre les objets individuels la valeur totale de l'attribut, qui varie en réalité pour chacun d'eux.

Le calcul des valeurs moyennes est effectué à partir de données regroupées sous forme de séries de distribution d'intervalles, lorsque les variantes de la caractéristique à partir de laquelle la moyenne est calculée sont présentées sous forme d'intervalles (de - à).

Propriétés de la moyenne arithmétique :

1) la moyenne arithmétique de la somme des valeurs variables est égale à la somme des valeurs moyennes arithmétiques : Si x i = y i +z i, alors

Cette propriété montre dans quels cas il est possible de résumer les valeurs moyennes.

2) la somme algébrique des écarts des valeurs individuelles d'une caractéristique variable par rapport à la moyenne est égale à zéro, puisque la somme des écarts dans un sens est compensée par la somme des écarts dans l'autre sens :

Cette règle démontre que la moyenne est la résultante.

3) si toutes les options d'une série sont augmentées ou diminuées du même nombre ?, la moyenne augmentera-t-elle ou diminuera-t-elle du même nombre ? :

4) si toutes les variantes de la série sont augmentées ou diminuées de A fois, alors la moyenne augmentera ou diminuera également de A fois :

5) la cinquième propriété de la moyenne nous montre qu'elle ne dépend pas de la taille des échelles, mais dépend du rapport entre elles. Non seulement les valeurs relatives, mais aussi les valeurs absolues peuvent être considérées comme des échelles.

Si toutes les fréquences de la série sont divisées ou multipliées par le même nombre d, alors la moyenne ne changera pas.

Moyenne harmonique. Afin de déterminer la moyenne arithmétique, il est nécessaire de disposer d'un certain nombre d'options et de fréquences, c'est-à-dire des valeurs X Et F.

Supposons que les valeurs individuelles de la caractéristique soient connues X et fonctionne X/, et fréquences F sont inconnus, alors pour calculer la moyenne, on note le produit = X/; où:

La moyenne sous cette forme est appelée moyenne pondérée harmonique et est notée x mal. en haut

En conséquence, la moyenne harmonique est identique à la moyenne arithmétique. Il est applicable lorsque les poids réels sont inconnus F, et l'œuvre est connue effets = z

Quand les travaux effets unités identiques ou égales (m = 1), on utilise la moyenne harmonique simple, calculée par la formule :

Où X– des options distinctes ;

n- nombre.

Moyenne géométrique

S'il existe n coefficients de croissance, alors la formule du coefficient moyen est :

C'est la formule de la moyenne géométrique.

La moyenne géométrique est égale à la racine de la puissance nà partir du produit des coefficients de croissance caractérisant le rapport de la valeur de chaque période ultérieure à la valeur de la précédente.

Si les valeurs exprimées sous forme de fonctions quadratiques font l'objet d'une moyenne, le carré moyen est utilisé. Par exemple, en utilisant la racine carrée moyenne, vous pouvez déterminer les diamètres des tuyaux, des roues, etc.

Le carré moyen simple est déterminé en prenant la racine carrée du quotient de la division de la somme des carrés des valeurs individuelles de l'attribut par leur nombre.

Le carré moyen pondéré est égal à :

Pour caractériser la structure d'une population statistique, on utilise des indicateurs appelés moyennes structurelles. Ceux-ci incluent le mode et la médiane.

Mode (M Ô ) - l'option la plus courante. Mode est la valeur de l'attribut qui correspond au point maximum de la courbe de distribution théorique.

La mode représente la signification la plus fréquente ou typique.

La mode est utilisée dans la pratique commerciale pour étudier la demande des consommateurs et enregistrer les prix.

Dans une série discrète, le mode est la variante ayant la fréquence la plus élevée. Dans une série de variations d'intervalle, le mode est considéré comme la variante centrale de l'intervalle, qui a la fréquence (particulaire) la plus élevée.

Dans l'intervalle, vous devez trouver la valeur de l'attribut qui est le mode.

Où X Ô– limite inférieure de l'intervalle modal ;

h– la valeur de l'intervalle modal ;

fm– fréquence de l'intervalle modal ;

ft-1 – fréquence de l'intervalle précédant celui modal ;

fm+1 – fréquence de l'intervalle suivant celui modal.

Le mode dépend de la taille des groupes et de la position exacte des limites des groupes.

Mode– le nombre qui apparaît en réalité le plus souvent (est une valeur définie), a en pratique l'application la plus large (le type d'acheteur le plus courant).

Médiane (M e est une quantité qui divise le nombre d'une série de variations ordonnées en deux parties égales : une partie a des valeurs de la caractéristique variable qui sont inférieures à la variante moyenne et l'autre a des valeurs plus grandes.

Médian est un élément supérieur ou égal et en même temps inférieur ou égal à la moitié des éléments restants de la série de distribution.

La propriété de la médiane est que la somme des écarts absolus des valeurs d'attribut par rapport à la médiane est inférieure à celle de toute autre valeur.

L'utilisation de la médiane vous permet d'obtenir des résultats plus précis que l'utilisation d'autres formes de moyennes.

L'ordre de recherche de la médiane dans une série de variations d'intervalles est le suivant : nous classons les valeurs individuelles de la caractéristique selon le classement ; nous déterminons les fréquences cumulées pour une série classée donnée ; En utilisant les données de fréquence accumulées, nous trouvons l'intervalle médian :

Où x moi– limite inférieure de l'intervalle médian ;

je Moi– la valeur de l'intervalle médian ;

f/2– demi-somme des fréquences de la série ;

S Moi-1 – la somme des fréquences accumulées précédant l'intervalle médian ;

F Moi– fréquence de l'intervalle médian.

La médiane divise le nombre d'une série en deux, c'est donc là que la fréquence accumulée est la moitié ou plus de la moitié de la somme totale des fréquences, et la fréquence précédente (accumulée) est inférieure à la moitié du nombre de la population.

Cours 5. Valeurs moyennes

Le concept de moyenne en statistiques

Moyenne arithmétique et ses propriétés

Autres types de moyennes de puissance

Mode et médiane

Quartiles et déciles

Les valeurs moyennes sont largement utilisées en statistiques. Les valeurs moyennes caractérisent les indicateurs de qualité Activités commerciales: coûts de distribution, profit, rentabilité, etc.

Moyenne- C'est l'une des techniques de généralisation courantes. Une compréhension correcte de l'essence de la moyenne détermine son importance particulière dans une économie de marché, lorsque la moyenne, à travers l'individuel et le hasard, nous permet d'identifier le général et le nécessaire, d'identifier la tendance des modèles de développement économique.

valeur moyenne- ce sont des indicateurs généralisants dans lesquels s'expriment les effets des conditions générales et des schémas du phénomène étudié.

valeur moyenne (en statistiques) – un indicateur général caractérisant la taille ou le niveau typique des phénomènes sociaux par unité de population, toutes choses étant égales par ailleurs.

En utilisant la méthode des moyennes, on peut résoudre les problèmes suivants : objectifs principaux:

1. Caractéristiques du niveau de développement des phénomènes.

2. Comparaison de deux niveaux ou plus.

3. Etude des interrelations des phénomènes socio-économiques.

4. Analyse de la localisation des phénomènes socio-économiques dans l'espace.

Les moyennes statistiques sont calculées sur la base de données de masse issues d'observations de masse correctement organisées statistiquement (continues et sélectives). Cependant, la moyenne statistique sera objective et typique si elle est calculée à partir de données de masse pour une population qualitativement homogène (phénomènes de masse). Par exemple, si l’on calcule le salaire moyen dans les coopératives et les entreprises publiques et que l’on étend le résultat à l’ensemble de la population, alors la moyenne est fictive, puisqu’elle est calculée pour une population hétérogène, et une telle moyenne perd tout son sens.

À l'aide de la moyenne, les différences dans la valeur d'une caractéristique qui surviennent pour une raison ou une autre dans certaines unités d'observation sont atténuées. Par exemple, la productivité moyenne d'un vendeur dépend de nombreuses raisons : qualification, ancienneté, âge, forme de service, santé, etc.

L'essence de la moyenne réside dans le fait qu'elle annule les écarts des valeurs caractéristiques des unités individuelles de la population provoqués par l'action de facteurs aléatoires et prend en compte les changements provoqués par l'action des principaux facteurs. Cela permet à la moyenne de refléter le niveau typique du trait et de faire abstraction des caractéristiques individuelles inhérentes aux unités individuelles.

La valeur moyenne est le reflet des valeurs de la caractéristique étudiée, elle est donc mesurée dans la même dimension que cette caractéristique.

Chaque valeur moyenne caractérise la population étudiée selon une caractéristique quelconque. Afin d'obtenir une compréhension complète et globale de la population étudiée selon un certain nombre de caractéristiques essentielles, il est généralement nécessaire de disposer d'un système de valeurs moyennes permettant de décrire le phénomène sous différents angles.

Il existe différentes moyennes :

Moyenne arithmétique ;

Moyenne géométrique;

Moyenne harmonique;

Carré moyen;

Chronologique moyen.

valeur moyenne- il s'agit d'un indicateur général d'une population statistique qui élimine les différences individuelles dans les valeurs des grandeurs statistiques, permettant de comparer différentes populations entre elles.

Existe 2 cours valeurs moyennes : et .

Les moyennes structurelles incluent mode Et médian, mais le plus souvent utilisé moyennes de puissance divers types.

Moyennes de puissance

Les moyennes de puissance peuvent être simple Et pondéré.

Moyenne simple calculé s'il y en a deux ou plus non groupé grandeurs statistiques disposées dans un ordre aléatoire selon la formule générale suivante :

Moyenne pondérée calculé par groupé valeurs statistiques utilisant la formule générale suivante :

Où X sont les valeurs des valeurs statistiques individuelles ou le milieu des intervalles de regroupement ;
m est un exposant dont la valeur détermine ce qui suit types de moyennes de puissance:
à m = -1 ;
à m = 0 ;
quand m = 1 ;
à m = 2 ;
à m = 3.

En utilisant des formules générales de moyennes simples et pondérées pour différents exposants m, nous obtenons des formules particulières de chaque type, qui seront discutées en détail ci-dessous.

Moyenne arithmétique

Moyenne arithmétique- c'est la valeur moyenne la plus couramment utilisée, obtenue en substituant m=1 dans la formule générale. Moyenne arithmétique simple a la forme suivante :

Où X sont les valeurs des grandeurs pour lesquelles la valeur moyenne doit être calculée ; N est le nombre total de valeurs X (le nombre d'unités dans la population étudiée).

Par exemple, un étudiant a réussi 4 examens et a obtenu les notes suivantes : 3, 4, 4 et 5. Calculons la note moyenne à l'aide de la formule de moyenne arithmétique simple : (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.

Moyenne arithmétique pondéré a la forme suivante :

Où f est le nombre de quantités ayant la même valeur X (fréquence).

Par exemple, un étudiant a réussi 4 examens et a obtenu les notes suivantes : 3, 4, 4 et 5. Calculons la note moyenne à l'aide de la formule de la moyenne arithmétique pondérée : (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4.

Si les valeurs X sont spécifiées sous forme d'intervalles, alors les milieux des intervalles X sont utilisés pour les calculs, qui sont définis comme la demi-somme des limites supérieure et inférieure de l'intervalle. Et si l'intervalle X n'a ​​pas de limite inférieure ou supérieure (intervalle ouvert), alors pour le trouver, utilisez la plage (la différence entre la limite supérieure et inférieure) de l'intervalle X adjacent.

Par exemple, une entreprise compte 10 salariés avec jusqu'à 3 ans d'expérience, 20 avec 3 à 5 ans d'expérience, 5 salariés avec plus de 5 ans d'expérience. On calcule ensuite l'ancienneté moyenne des salariés à l'aide de la formule de la moyenne arithmétique pondérée, en prenant comme X le milieu des intervalles d'ancienneté (2, 4 et 6 ans) :
(2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 ans.

La moyenne arithmétique est utilisée le plus souvent, mais il arrive parfois qu'il soit nécessaire d'utiliser d'autres types de moyennes. Examinons de tels cas plus en détail.

Moyenne harmonique

Moyenne harmonique est utilisé lorsque les données sources ne contiennent pas de fréquences f pour les valeurs X individuelles, mais sont présentées comme leur produit Xf. Ayant désigné Xf=w, on exprime f=w/X, et, en substituant ces notations dans la formule de la moyenne arithmétique pondérée, on obtient la formule de la moyenne harmonique pondérée :

Ainsi, la moyenne harmonique pondérée est utilisée lorsque les fréquences f sont inconnues et que w=Xf est connu. Dans les cas où tous w = 1, c'est-à-dire que les valeurs individuelles de X se produisent une fois, la formule du premier harmonique moyen est appliquée :

Par exemple, une voiture se déplaçait d’un point A à un point B à une vitesse de 90 km/h et revenait à une vitesse de 110 km/h. Pour déterminer la vitesse moyenne, on applique la formule de l'harmonique moyenne simple, puisque dans l'exemple la distance w 1 = w 2 est donnée (la distance du point A au point B est la même que de B à A), qui est égal au produit de la vitesse (X) et du temps ( f). Vitesse moyenne = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 km/h.

Moyenne géométrique

Moyenne géométrique utilisé pour déterminer les changements relatifs moyens, comme indiqué dans la rubrique Série dynamique. La moyenne géométrique donne le résultat de moyenne le plus précis si la tâche consiste à trouver une valeur de X qui serait équidistante des valeurs maximale et minimale de X.

Par exemple, entre 2005 et 2008 indice d'inflation en Russie, c'était : en 2005 - 1 109 ; en 2006 : 1 090 ; en 2007 : 1 119 ; en 2008 - 1 133. L'indice d'inflation étant une variation relative (indice dynamique), la valeur moyenne doit être calculée à l'aide de la moyenne géométrique : (1,109*1,090*1,119*1,133)^(1/4) = 1,1126, c'est-à-dire pour la période allant de 2005. jusqu'en 2008, les prix ont augmenté en moyenne de 11,26 % par an. Un calcul erroné utilisant la moyenne arithmétique donnerait un résultat erroné de 11,28 %.

Carré moyen

Carré moyen utilisé dans les cas où les valeurs initiales de X peuvent être à la fois positives et négatives, par exemple lors du calcul des écarts moyens.

La principale application de la moyenne quadratique est de mesurer la variation des valeurs X, ce qui sera discuté.

Cube moyen

Cube moyen est extrêmement rarement utilisé, par exemple lors du calcul des indices de pauvreté pour les pays en développement (TIN-1) et pour les pays développés (TIN-2), proposés et calculés par l'ONU.

Moyennes structurelles

Aux plus fréquemment utilisés moyenne structurelle inclure et .

Mode statistique

Mode statistique est la valeur de X la plus fréquemment répétée dans une population statistique.

Si X est donné discrètement, alors le mode est déterminé sans calcul comme la valeur de la caractéristique avec la fréquence la plus élevée. Dans une population statistique, il existe 2 modes ou plus, on considère alors bimodal(s'il y a deux modes) ou multimodal(s'il y a plus de deux modes), ce qui indique l'hétérogénéité de la population.

Par exemple, l'entreprise emploie 16 personnes : 4 d'entre elles ont 1 an d'expérience, 3 personnes ont 2 ans d'expérience, 5 ont 3 ans d'expérience et 4 personnes ont 4 ans d'expérience. Ainsi, expérience modale Mo = 3 ans, puisque la fréquence de cette valeur est maximale (f = 5).

Si X est donné à intervalles égaux, alors l'intervalle modal est d'abord défini comme l'intervalle avec la fréquence la plus élevée f. Dans cet intervalle, la valeur conditionnelle du mode se trouve à l'aide de la formule :

Où Mo est la mode ;
X NMo – limite inférieure de l'intervalle modal ;
h Mo est la plage de l'intervalle modal (la différence entre ses limites supérieure et inférieure) ;
f Mo – fréquence de l'intervalle modal ;
f Mo-1 – fréquence de l'intervalle précédant celui modal ;
f Mo+1 – fréquence de l'intervalle suivant celui modal.

Par exemple, une entreprise compte 10 salariés avec jusqu'à 3 ans d'expérience, 20 avec 3 à 5 ans d'expérience, 5 salariés avec plus de 5 ans d'expérience. Calculons l'expérience de travail modale dans l'intervalle modal de 3 à 5 ans : Mo = 3 + 2*(20-10)/(2*20-10-5) = 3,8 (années).

Si la plage d'intervalles h est différente, alors au lieu des fréquences f, il est nécessaire d'utiliser des densités d'intervalle, calculées en divisant les fréquences f par la plage de l'intervalle h.

Médiane statistique

Médiane statistique– c'est la valeur de la quantité X, qui divise une population statistique ordonnée par ordre croissant ou décroissant en 2 parties égales. En conséquence, une moitié a une valeur supérieure à la médiane et l’autre moitié a une valeur inférieure à la médiane.

Si X est donné discrètement, puis pour déterminer la médiane, toutes les valeurs sont numérotées de 0 à N Dans l'ordre croissant, alors la médiane pour un nombre pair N se situera au milieu entre X avec les nombres 0,5N et (0,5N+1), et pour un nombre impair N elle correspondra à la valeur de X avec le nombre 0,5(N+1) .

Par exemple, il existe des données sur l'âge des étudiants à temps partiel dans un groupe de 10 personnes - X : 18, 19, 19, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 30 ans. Ces données sont déjà classées par ordre croissant, et leur nombre N=10 est pair, donc la médiane sera comprise entre X avec les nombres 0,5*10=5 et (0,5*10+1)=6, qui correspondent aux valeurs X 5 = 21 et X 6 =23, alors la médiane : Me = (21+23)/2 = 22 (années).

Si X est donné sous la forme intervalles égaux, puis l'intervalle médian est d'abord déterminé (l'intervalle dans lequel se termine une moitié des fréquences f et commence l'autre moitié), dans lequel la valeur conditionnelle de la médiane est trouvée à l'aide de la formule :

Où Moi est la médiane ;
X НМе – limite inférieure de l'intervalle médian ;
h Ме – la plage de l'intervalle médian (la différence entre ses limites supérieure et inférieure) ;
f Ме – fréquence de l'intervalle médian;
f Ме-1 – somme des fréquences des intervalles précédant la médiane.

Dans l'exemple évoqué précédemment, lors du calcul de l'ancienneté modale (l'entreprise compte 10 salariés avec jusqu'à 3 ans d'expérience, 20 avec 3 à 5 ans d'expérience, 5 salariés avec plus de 5 ans d'expérience), on calcule la médiane la durée du service. La moitié du nombre total de travailleurs est (10+20+5)/2 = 17,5 et se situe dans l'intervalle de 3 à 5 ans, et dans le premier intervalle jusqu'à 3 ans, il n'y a que 10 travailleurs, et dans les deux premiers - (10+20) =30, ce qui est supérieur à 17,5, signifie que l'intervalle de 3 à 5 ans est la médiane. A l'intérieur, nous déterminons la valeur conditionnelle de la médiane : Me = 3+2*(0,5*30-10)/20 = 3,5 (années).

Tout comme dans le cas du mode, lors de la détermination de la médiane, si la plage des intervalles h est différente, alors au lieu des fréquences f, il est nécessaire d'utiliser des densités d'intervalle, calculées en divisant les fréquences f par la plage de l'intervalle h.

Indicateurs de variations

Variation est la différence entre les valeurs des valeurs X pour les unités individuelles de la population statistique. Pour étudier la force de variation, les éléments suivants sont calculés indicateurs de variation: , , , , .

Plage de variation

Plage de variation est la différence entre les valeurs maximales et minimales de X disponibles dans la population statistique étudiée :

L'inconvénient de H est qu'il affiche uniquement la différence maximale des valeurs X et ne peut pas mesurer la force de variation dans l'ensemble de la population.

Déviation linéaire moyenne

Déviation linéaire moyenne est le module moyen des écarts des valeurs X par rapport à la moyenne arithmétique. Il peut être calculé à l'aide de la formule de la moyenne arithmétique simple- on a :

Par exemple, un étudiant a réussi 4 examens et a obtenu les notes suivantes : 3, 4, 4 et 5. = 4. Calculons l'écart linéaire moyen simple : L = (|3-4|+|4-4|+|4 -4|+|5-4|)/4 = 0,5.

Si les données sources X sont regroupées (il existe des fréquences f), alors l'écart linéaire moyen est calculé à l'aide de la formule de la moyenne arithmétique pondéré- on a :

Reprenons l'exemple d'un étudiant qui a réussi 4 examens et obtenu les notes suivantes : 3, 4, 4 et 5. = 4 et = 0,5. Calculons l'écart linéaire moyen pondéré : L = (|3-4|*1+|4-4|*2+|5-4|*1)/4 = 0,5.

Coefficient de variation linéaire

Coefficient de variation linéaire est le rapport de l'écart linéaire moyen à la moyenne arithmétique :

Grâce au coefficient de variation linéaire, vous pouvez comparer la variation de différentes populations car, contrairement à l'écart linéaire moyen, sa valeur ne dépend pas des unités de mesure X.

Dans l'exemple considéré concernant un étudiant ayant réussi 4 examens et obtenu les notes suivantes : 3, 4, 4 et 5, le coefficient de variation linéaire sera de 0,5/4 = 0,125 ou 12,5 %.

Dispersion

Dispersion est le carré moyen des écarts des valeurs X par rapport à la moyenne arithmétique. La dispersion peut être calculée à l'aide de la formule de la moyenne arithmétique simple- on a écart simple:

Dans l'exemple qui nous est déjà familier d'un étudiant qui a réussi 4 examens et obtenu des notes : 3, 4, 4 et 5, = 4. Alors la variance est simple D = ((3-4) 2 +(4-4) 2 +(4- 4) 2 +(5-4) 2)/4 = 0,5.

Si les données originales X sont regroupées (il existe des fréquences f), alors la variance est calculée à l'aide de la formule de la moyenne arithmétique pondéré- on a variance pondérée:

Dans l'exemple considéré concernant un étudiant ayant réussi 4 examens et obtenu les notes suivantes : 3, 4, 4 et 5, on calcule la variance pondérée : D = ((3-4) 2 *1+(4-4) 2 *2+(5 -4) 2 *1)/4 = 0,5.

Si vous transformez la formule de variance (ouvrez les parenthèses au numérateur, divisez terme par terme par le dénominateur et donnez-en des similaires), alors vous pouvez obtenir une autre formule pour la calculer comme la différence entre les carrés moyens et la moyenne carrée :

C'est encore plus facile à trouver écart-type, si la variance est pré-calculée comme sa racine carrée :

Dans l'exemple concernant l'élève, dans lequel ci-dessus, on retrouve l'écart type comme racine carrée de celui-ci : .

Coefficient de variation quadratique

Coefficient de variation quadratique est la mesure de variation relative la plus populaire :

Valeur du critère Le coefficient quadratique de variation V est de 0,333 ou 33,3 %, c'est-à-dire que si V est inférieur ou égal à 0,333, la variation est considérée comme faible, et si elle est supérieure à 0,333, elle est considérée comme forte. En cas de forte variation, la population statistique étudiée est considérée hétérogène, et la valeur moyenne est atypique et il ne peut pas être utilisé comme indicateur général de cette population.

Dans l'exemple d'un étudiant, dans lequel ci-dessus, on retrouve le coefficient de variation quadratique V = 0,707/4 = 0,177, qui est inférieur à la valeur du critère de 0,333, ce qui signifie que la variation est faible et égale à 17,7 %.

Thème 4

Questions principales : 1. Valeurs statistiques absolues.

2. Types de quantités statistiques absolues.

3. Valeurs relatives.

4. Types de quantités relatives.

5. Valeur moyenne. Types de moyennes.

6. Moyenne arithmétique.

7. Moyenne harmonique.

8. Moyenne géométrique.

9. Carré moyen et cube moyen.

10. Moyennes structurelles.

11. Relations entre la moyenne arithmétique, la médiane et le mode dans les distributions statistiques.

1.Valeurs statistiques absolues. Pour refléter la taille et le volume des phénomènes, des valeurs absolues sont utilisées dans les statistiques. La valeur absolue (A.V.) est obtenue à la suite d'un résumé du matériel statistique. UN V. s'expriment en différentes unités mesures - naturel, coût (monétaire), conditionnel, main d'œuvre.

1) Les unités de mesure naturelles caractérisent l'ampleur et la taille des phénomènes étudiés. Ils sont exprimés en mètres, tonnes, litres, etc. Les unités naturelles ne peuvent se résumer que pour des produits homogènes ; on ne peut pas additionner des tonnes d'acier avec des mètres de tissu.

2) Les unités de coût sont utilisées pour évaluer de nombreux indicateurs statistiques en termes monétaires : taille du chiffre d'affaires du commerce de détail, PIB, revenu personnel, etc.

3) Conditionnel. Dans certains cas, tous les types de produits homogènes ne peuvent pas être résumés. Vous ne pouvez pas additionner le savon (car il a un pourcentage de matière grasse différent), le carburant ( teneur en calories différente) etc. U.e.i. utilisé pour prendre en compte des produits homogènes de diverses variétés. Par exemple, les conserves sont produites dans des bocaux de différentes capacités. On les compte donc en milliers de pots conventionnels. Le poids net du produit est de 400 grammes pour une canette classique.

4) Unités de mesure du travail – heures-homme, jours-homme, etc. Utilisé pour mesurer les ressources en main-d'œuvre et les coûts de main-d'œuvre.

2.Types de quantités statistiques absolues. En guise d'expression :

1) Individuel - A.V., caractérisant la taille d'une caractéristique dans des unités individuelles de la population (par exemple, le salaire d'un employé individuel, la taille de la superficie ensemencée d'une exploitation particulière). Ils sont obtenus directement dans le cadre du processus d'observation statistique et sont enregistrés dans les documents comptables primaires.

2) Total A.V. – exprimer la valeur de l'une ou l'autre caractéristique de toutes les unités de la population étudiée ou de ses groupes individuels et sont obtenus à la suite de la synthèse d'A.V. (salaire selon l'entreprise).

UN V. sont toujours des nombres nommés. Ils sont exprimés dans certaines unités de mesure (kg, pcs., tonnes, ha, m, etc.).

Dans les activités pratiques en l'absence information nécessaire les valeurs absolues sont obtenues par calcul, par exemple, basé sur le couplage bilan :

où est le stock en début de période ; – les recettes de la période ; – les dépenses de la période ; – stock en fin de période.

Les valeurs statistiques absolues sont largement utilisées dans l'analyse et la prévision de l'état et du développement des phénomènes de la vie sociale.

Basé sur A.V. calculer des quantités relatives.

3.Valeurs relatives (R.V.). Ils sont obtenus en divisant une quantité par une autre. Le numérateur du rapport est la valeur comparée, on l'appelle actuel ou rapport quantité, le dénominateur du rapport est appelé base de comparaison ou base de comparaison.

Si la base de comparaison est de 100, alors O.V. exprimé en (%), si la base de comparaison est 1 000 – ppm (‰), 10 000 – en prodécimille (‰0).

Les quantités comparées peuvent être du même nom ou différentes. Si l'on compare des valeurs du même nom, elles sont exprimées en coefficients, pourcentages, ppm. Lors de la comparaison de différentes valeurs, les noms des valeurs relatives sont formés à partir des noms des valeurs comparées : densité de population - personnes/km 2, rendement - c/ha, etc.

4.Types de valeurs relatives (indicateurs).

1) objectif du plan - GPZ ;

2) mise en œuvre du plan - OPVP ;

3) haut-parleurs (OPD);

4) structures (d);

5) intensité et niveau de développement ;

6) coordination (OPK) ;

7) comparaisons (OPS).

1) OPZ- sert à la planification. Il est calculé par le rapport du niveau prévu pour la période à venir (P) au niveau de l'indicateur atteint dans la période précédente () :

2) OPVP– sert à comparer les résultats effectivement obtenus avec ceux précédemment prévus.

– le niveau atteint dans la période en cours ; - planifier pour la même période.

3) OPD– caractérise l'évolution du niveau d'un phénomène économique au fil du temps et est obtenu en divisant le niveau d'un attribut pour une certaine période ou un certain moment par le niveau du même indicateur au cours de la période ou du moment précédent. D'une autre manière, on les appelle taux de croissance. Calculé en coefficients ou %.

4) d– caractériser la composition de la population étudiée, les parts, la proportion d'éléments de la population dans résultat global et représentent le rapport d'une partie des unités de population () au nombre total d'unités de population () :

5) Intensité et niveau de développement– caractériser le degré de saturation ou de développement Ce phénomène dans un certain environnement, sont nommés et peuvent être exprimés sous plusieurs ratios, %, ‰ et d'autres formes.

6) industrie de la défense– caractérise le rapport des parties de la population étudiée à l'une d'entre elles, prise comme base de comparaison. Ils montrent combien de fois une partie d'une population est plus grande qu'une autre, ou combien d'unités d'une partie sont égales à 1, 10, 100, 1 000 unités d'une autre partie. Ces valeurs relatives peuvent être calculées aussi bien par des indicateurs absolus que par des indicateurs structurels.

7) OPS– caractériser les relations de mêmes indicateurs absolus ou relatifs correspondant à une même période ou un même instant, mais relatifs à des objets ou des territoires différents.

5.Valeur moyenne. Types de moyennes.

Définition: La valeur moyenne en statistique est un indicateur général qui caractérise le niveau typique d'un phénomène dans des conditions spécifiques de lieu et de temps, reflétant la valeur d'une caractéristique variable par unité d'une population qualitativement homogène.

Types de moyennes : 1) arithmétique ;

2) harmonique ;

3) géométrique ;

4) quadratique ;

5) cubique.

Toutes ces moyennes appartiennent à la classe des moyennes de puissance et sont réunies par la formule générale (pour différentes valeurs m):

où est la valeur moyenne du phénomène étudié ;

– indicateur de diplôme moyen ;

– valeur actuelle de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne ;

– nombre de signes.

En fonction de la valeur de l'exposant m, on distingue les types de moyennes de puissance suivants :

à – moyenne harmonique ;

à – moyenne géométrique;

à – moyenne arithmétique ;

à – racine quadratique moyenne ;

à – cube moyen .

Lorsque vous utilisez les mêmes données, plus m est grand, plus la valeur moyenne est grande :

– la règle de majorité des moyennes.

Le type de moyenne est choisi dans chaque cas à travers une analyse spécifique de la population étudiée ; il est déterminé par le contenu matériel du phénomène étudié.

6.Moyenne arithmétique.

a) Moyenne arithmétique simple est utilisé dans les cas où le volume d'une caractéristique variable pour l'ensemble de la population est la somme des valeurs des caractéristiques de ses unités individuelles (la plus courante).

Il est souvent nécessaire de calculer la moyenne à l'aide de moyennes de groupe ou de moyennes de parties individuelles de la population (moyennes partielles), c'est-à-dire la moyenne des moyennes. Par exemple, Durée moyenne L'espérance de vie des citoyens d'un pays est la moyenne des espérances de vie moyennes des différentes régions d'un pays donné.

La moyenne des valeurs moyennes est calculée à l'aide de la formule suivante en comptant :

où est le nombre d'unités dans chaque groupe.

Propriétés des valeurs moyennes :

1. Si toutes les valeurs individuelles d'une caractéristique sont réduites (augmentées) d'un facteur, alors la valeur moyenne de la nouvelle caractéristique diminuera (augmentera) en conséquence d'un facteur.

2. Si les variantes de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne sont réduites (augmentées) de , alors la moyenne arithmétique diminuera (augmentera) en conséquence du même nombre.

3. Si les poids de toutes les options moyennées diminuent (augmentent) d'un facteur, alors la moyenne arithmétique ne changera pas.

4. La somme des écarts par rapport à la moyenne est nulle.

7.Moyenne harmonique. Utilisé dans les cas où les fréquences des options individuelles ne sont pas connues X agrégats, et leurs travaux sont présentés. Notons ce produit par , on obtient alors la formule de la moyenne pondérée harmonique :

est une forme transformée et lui est identique. Au lieu de cela, vous pouvez toujours calculer , mais pour ce faire, vous devez déterminer les poids des valeurs individuelles de l'attribut caché dans les poids de la moyenne harmonique.

Dans les cas où le poids de chaque option est égal à un, le moyenne harmonique simple:

où sont des variantes individuelles de la caractéristique inverse, apparaissant une fois,

– nombre d'options.

Si les moyennes harmoniques sont données pour deux parties de la population (nombre et ), alors la moyenne harmonique globale pour l'ensemble de la population peut être représentée comme une moyenne harmonique pondérée des moyennes de groupe :

8.Moyenne géométrique. Il est utilisé lorsque les valeurs individuelles de l'attribut sont caractérisées par le coefficient de croissance moyen (il s'agit, en règle générale, de valeurs de dynamique relative, construites sous forme de valeurs en chaîne, en tant que rapport au niveau précédent de chaque niveau dans la série dynamique). Calculé par la formule :

– nombre d'options; - signe de l'œuvre.

Il est le plus largement utilisé pour déterminer le taux de variation moyen des séries chronologiques, ainsi que des séries de distribution (nous examinerons son utilisation plus tard).

9.Carré moyen et cube moyen.

– utilisé pour calculer la taille moyenne des côtés de n sections carrées, diamètres de tuyaux, etc.

Définition:Mode () – la valeur d'une variable aléatoire qui apparaît avec la plus grande probabilité dans une série de variations discrètes – l'option qui a la fréquence la plus élevée.

Largement utilisé pour étudier la demande des clients, enregistrer les prix, etc.

Formule de calcul :

où est la limite inférieure de l'intervalle modal ;

– fréquences dans l’intervalle modal modal, précédent et suivant (respectivement).

L'intervalle modal est déterminé par la fréquence la plus élevée.

Définition:La médiane est une option qui se situe au milieu de la série de variations.

Divise la série en deux parties égales (par le nombre d'unités) - avec des valeurs d'attribut inférieures à la médiane et avec des valeurs d'attribut supérieures à la médiane.

En règle générale, le mode et la médiane diffèrent de la valeur moyenne et ne coïncident avec elle que dans le cas d'une distribution de fréquence symétrique de la série de variations. Ainsi, le rapport du mode, de la médiane et de la moyenne arithmétique permet d'évaluer l'asymétrie de la série de distribution.

Le mode et la médiane sont généralement complémentaires de la moyenne de la population et sont utilisés en statistiques mathématiques pour analyser la forme des séries de distribution.

Semblables à la médiane, les valeurs d'une caractéristique sont calculées en divisant la population en quatre parties égales (par le nombre d'unités) - quartiles, en cinq - quintiles, en dix - déciles, en cent - centiles.