Tanım. Yan kenar- bu, bir açının piramidin tepesinde yer aldığı ve karşı tarafın tabanın (çokgen) tarafıyla çakıştığı bir üçgendir.
Tanım. Yan kaburgalar- bunlar yan yüzlerin ortak kenarlarıdır. Bir piramidin çokgenin açı sayısı kadar kenarı vardır.
Tanım. Piramit yüksekliği- bu, piramidin tepesinden tabanına indirilen dikey bir çizgidir.
Tanım. Özlem- bu, piramidin tepesinden tabanın yan tarafına indirilen piramidin yan yüzüne diktir.
Tanım. Çapraz bölüm- bu, piramidin tepesinden ve tabanın köşegeninden geçen bir düzlemin piramidin bir bölümüdür.
Tanım. Doğru piramit tabanı düzgün bir çokgen olan ve yüksekliği tabanın merkezine düşen bir piramittir.
Piramidin hacmi ve yüzey alanı
Formül. Piramidin hacmi taban alanı ve yükseklik boyunca:
Piramidin özellikleri
Tüm yan kenarlar eşitse, piramidin tabanının etrafına bir daire çizilebilir ve tabanın merkezi dairenin merkezine denk gelir. Ayrıca üstten düşen dikey bir çizgi tabanın (daire) ortasından geçer.
Tüm yan kenarlar eşitse, taban düzlemine aynı açılarda eğimlidirler.
Yan kenarlar, taban düzlemi ile eşit açı oluşturduğunda veya piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabildiğinde eşittir.
Yan yüzler taban düzlemine aynı açıda eğimliyse, piramidin tabanına bir daire yazılabilir ve piramidin tepesi merkeze yansıtılır.
Yan yüzler taban düzlemine aynı açıyla eğimliyse, yan yüzlerin özleri eşittir.
Düzenli bir piramidin özellikleri
1. Piramidin tepesi tabanın tüm köşelerine eşit mesafededir.
2. Tüm yan kenarlar eşittir.
3. Tüm yan kaburgalar tabana eşit açılarda eğimlidir.
4. Tüm yan yüzlerin özleri eşittir.
5. Tüm yan yüzlerin alanları eşittir.
6. Tüm yüzler aynı dihedral (düz) açılara sahiptir.
7. Piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir. Çevreleyen kürenin merkezi, kenarların ortasından geçen diklerin kesişme noktası olacaktır.
8. Bir piramidin içine bir küre sığdırabilirsiniz. Yazılı kürenin merkezi, kenar ile taban arasındaki açıdan çıkan açıortayların kesişme noktası olacaktır.
9. Yazılı kürenin merkezi çevrelenen kürenin merkeziyle çakışıyorsa, tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamı π'ye eşit olur veya bunun tersi de geçerlidir, bir açı π/n'ye eşittir, burada n sayıdır Piramidin tabanındaki açılar.
Piramit ve küre arasındaki bağlantı
Piramidin tabanında, çevresinde bir dairenin tanımlanabileceği bir çokyüzlü olduğunda (gerekli ve yeterli bir koşul), bir piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir. Kürenin merkezi, piramidin yan kenarlarının orta noktalarından dik olarak geçen düzlemlerin kesişme noktası olacaktır.
Herhangi bir üçgen veya düzgün piramidin etrafında bir küre tanımlamak her zaman mümkündür.
Piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemleri bir noktada kesişiyorsa (gerekli ve yeterli bir koşul), bir piramidin içine bir küre yazılabilir. Bu nokta kürenin merkezi olacaktır.
Bir piramidin koni ile bağlantısı
Bir koninin, köşeleri çakışıyorsa ve koninin tabanı piramidin tabanına yazılmışsa, piramite yazılı olduğu söylenir.
Piramidin özleri birbirine eşitse, bir piramite bir koni yazılabilir.
Eğer köşeleri çakışıyorsa ve koninin tabanı piramidin tabanı etrafında çevreleniyorsa, bir koninin bir piramidin etrafında çevrelendiği söylenir.
Piramidin tüm yan kenarları birbirine eşitse, bir piramidin etrafında bir koni tanımlanabilir.
Piramit ile silindir arasındaki ilişki
Piramidin tepesi silindirin bir tabanında yer alıyorsa ve piramidin tabanı silindirin başka bir tabanında yazılıysa, silindire yazılı piramit denir.
Piramidin tabanı etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa, bir piramidin etrafında bir silindir de tanımlanabilir.
Bir tetrahedronun dört yüzü, dört köşesi ve altı kenarı vardır; burada herhangi iki kenar ortak köşelere sahip değildir ancak birbirine değmez.
Her köşe, üç yüz ve kenardan oluşur. üçgen açı.
Bir tetrahedronun tepe noktası ile karşı yüzün merkezini birleştiren parçaya ne ad verilir? tetrahedronun ortancası(GM).
Bimedyen Birbirine değmeyen karşıt kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına (KL) denir.
Bir tetrahedronun tüm bimedyenleri ve medyanları bir noktada (S) kesişir. Bu durumda bimedyanlar ikiye bölünür ve ortancalar üstten başlayarak 3:1 oranında bölünür.
Tanım. Akut açılı piramit- Apothem'in tabanın yan uzunluğunun yarısından fazla olduğu bir piramit.
Tanım. Geniş piramit- Apothem'in tabanın yan uzunluğunun yarısından daha az olduğu bir piramit.
Tanım. Düzenli tetrahedron- dört yüzün de eşkenar üçgen olduğu bir tetrahedron. Beş normal çokgenden biridir. Düzenli bir dörtyüzlüde, tüm dihedral açılar (yüzler arasında) ve üçyüzlü açılar (tepe noktasında) eşittir.
Tanım. Dikdörtgen tetrahedron tepedeki üç kenar arasında dik bir açı bulunan (kenarlar dik) tetrahedron olarak adlandırılır. Üç yüz formu dikdörtgen üçgen açı ve yüzler dik üçgenlerdir ve taban keyfi bir üçgendir. Herhangi bir yüzün özdeyişi, özünün düştüğü tabanın kenarının yarısına eşittir.
Tanım. İzohedral tetrahedron Tabanı düzgün üçgen olan, yan yüzleri birbirine eşit olana tetrahedron denir. Böyle bir tetrahedronun ikizkenar üçgen olan yüzleri vardır.
Tanım. Ortosentrik tetrahedron Yukarıdan karşı yüze indirilen tüm yüksekliklerin (diklerin) bir noktada kesiştiği tetrahedron denir.
Tanım. Yıldız piramidi tabanı yıldız olan çokyüzlüye denir.
Üçgen piramit tabanı düzgün bir üçgen olan bir çokyüzlüdür.
Böyle bir piramitte tabanın kenarları ile yanların kenarları birbirine eşittir. Buna göre yan yüzlerin alanı üç özdeş üçgenin alanlarının toplamından bulunur. Formülü kullanarak düzenli bir piramidin yan yüzey alanını bulabilirsiniz. Ve hesaplamayı birkaç kat daha hızlı yapabilirsiniz. Bunu yapmak için üçgen piramidin yan yüzeyinin alanı için formülü uygulamanız gerekir:
burada p, tüm kenarları b'ye eşit olan tabanın çevresidir, a, üstten bu tabana indirilen özdir. Üçgen piramidin alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.
Problem: Düzenli bir piramit verilsin. Tabandaki üçgenin kenarı b = 4 cm'dir. Piramidin öz değeri a = 7 cm'dir. Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Problemin koşullarına göre gerekli tüm elemanların uzunluklarını bildiğimiz için çevreyi bulacağız. Normal bir üçgende tüm kenarların eşit olduğunu ve bu nedenle çevrenin aşağıdaki formülle hesaplandığını hatırlıyoruz:
Verileri yerine koyalım ve değeri bulalım:
Artık çevreyi bildiğimize göre yan yüzey alanını hesaplayabiliriz: 
Hesaplamak için üçgen piramidin alanına ilişkin formülü uygulamak tam anlam, çokyüzlünün tabanının alanını bulmanız gerekiyor. Bunu yapmak için şu formülü kullanın: 
Üçgen piramidin tabanının alanı formülü farklı olabilir. Belirli bir rakam için herhangi bir parametre hesaplamasını kullanmak mümkündür, ancak çoğu zaman bu gerekli değildir. Üçgen bir piramidin tabanının alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.
Problem: Düzgün bir piramitte üçgenin tabandaki kenarı a = 6 cm'dir. Tabanın alanını hesaplayınız.
Hesaplamak için yalnızca piramidin tabanında bulunan normal üçgenin kenar uzunluğuna ihtiyacımız var. Verileri formülde yerine koyalım: 
Çoğu zaman bir polihedronun toplam alanını bulmanız gerekir. Bunu yapmak için yan yüzeyin ve tabanın alanını toplamanız gerekecektir. 
Üçgen piramidin alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.
Problem: Düzenli bir üçgen piramit verilsin. Taban tarafı b = 4 cm, öz uzunluğu a = 6 cm'dir. Piramidin toplam alanını bulun.
Öncelikle bilinen formülü kullanarak yan yüzeyin alanını bulalım. Çevresini hesaplayalım:
Verileri formülde değiştirin: 
Şimdi tabanın alanını bulalım: 
Tabanın ve yan yüzeyin alanını bilerek piramidin toplam alanını buluyoruz: 
Düzenli bir piramidin alanını hesaplarken tabanının düzgün bir üçgen olduğunu ve bu çokyüzlünün birçok elemanının birbirine eşit olduğunu unutmamalısınız.
Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken öğrencilerin cebir ve geometri bilgilerini sistematikleştirmeleri gerekir. Örneğin bir piramidin alanının nasıl hesaplanacağına dair bilinen tüm bilgileri birleştirmek istiyorum. Üstelik taban ve yan kenarlardan başlayarak tüm yüzey alanına kadar. Yan yüzlerdeki durum açıksa, bunlar üçgen olduğundan taban her zaman farklıdır.
Piramidin tabanının alanı nasıl bulunur?
Kesinlikle herhangi bir şekil olabilir: rastgele bir üçgenden n-gon'a kadar. Ve bu taban, açı sayısındaki farklılığa ek olarak düzenli bir şekil veya düzensiz bir şekil olabilir. Okul çocuklarını ilgilendiren Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde, temelde yalnızca doğru rakamlara sahip görevler vardır. Bu nedenle sadece onlardan bahsedeceğiz.
Düzenli üçgen
Yani eşkenar. Tüm kenarları eşit olan ve “a” harfiyle gösterilen. Bu durumda piramidin tabanının alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:
S = (a 2 * √3) / 4.
Kare
Alanını hesaplama formülü en basitidir, burada “a” yine kenardır:
Keyfi düzenli n-gon
Bir çokgenin kenarı aynı gösterime sahiptir. Açı sayısı için Latin harfi n kullanılır.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180°/n)).
Yanal ve toplam yüzey alanı hesaplanırken ne yapılmalı?
Çünkü temelinde yatıyor doğru şekil, o zaman piramidin tüm yüzleri eşit olur. Üstelik yan kenarları eşit olduğundan her biri ikizkenar üçgendir. Daha sonra piramidin yan alanını hesaplamak için aynı monomların toplamından oluşan bir formüle ihtiyacınız olacak. Terim sayısı tabanın kenar sayısına göre belirlenir.
Bir ikizkenar üçgenin alanı, taban ürününün yarısının yükseklik ile çarpıldığı formülle hesaplanır. Piramidin bu yüksekliğine apothem denir. Tanımı “A”dır. Yan yüzey alanı için genel formül:
S = ½ P*A, burada P piramidin tabanının çevresidir.
Tabanın kenarlarının bilinmediği ancak yan kenarların (c) ve tepe noktasındaki düz açının (α) verildiği durumlar vardır. Daha sonra piramidin yan alanını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir:
S = n/2 * in 2 sin α .
Görev No.1
Durum. Tabanının kenarı 4 cm ve özdeyişin değeri √3 cm ise piramidin toplam alanını bulun.
Çözüm. Tabanın çevresini hesaplayarak başlamanız gerekir. Bu düzgün bir üçgen olduğuna göre P = 3*4 = 12 cm. Özü bilindiğine göre tüm yan yüzeyin alanını hemen hesaplayabiliriz: ½*12*√3 = 6√3 cm2.
Tabandaki üçgen için şu alan değerini elde edersiniz: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm2.
Alanın tamamını belirlemek için sonuçta ortaya çıkan iki değeri eklemeniz gerekecektir: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm2.
Cevap. 10√3 cm2.
Sorun No. 2
Durum. Düzenli bir dörtgen piramit var. Taban tarafının uzunluğu 7 mm, yan kenar 16 mm'dir. Yüzey alanını bulmak gerekir.
Çözüm.Çokyüzlü dörtgen ve düzenli olduğundan tabanı karedir. Tabanın ve yan yüzlerin alanını öğrendikten sonra piramidin alanını hesaplayabileceksiniz. Yukarıda karenin formülü verilmiştir. Yan yüzler için ise üçgenin tüm kenarları bilinmektedir. Bu nedenle alanlarını hesaplamak için Heron formülünü kullanabilirsiniz.
İlk hesaplamalar basittir ve şu sayıya yol açar: 49 mm2. İkinci değer için yarı çevreyi hesaplamanız gerekecek: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Artık ikizkenar üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm2. Bu tür üçgenlerden yalnızca dört tane var, bu nedenle son sayıyı hesaplarken onu 4 ile çarpmanız gerekecek.
Görünüşe göre: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm2.
Cevap. İstenilen değer 267.576 mm2’dir.
Sorun No. 3
Durum. Düzenli bir dörtgen piramit için alanı hesaplamanız gerekir. Karenin kenar uzunluğu 6 cm, yüksekliği ise 4 cm olarak bilinmektedir.
Çözüm. En kolay yol, formülü çevre ve apothem çarpımı ile kullanmaktır. İlk değeri bulmak kolaydır. İkincisi ise biraz daha karmaşık.
Pisagor teoremini hatırlamamız ve bunun piramidin yüksekliği ve hipotenüs olan apotem tarafından oluşturulduğunu dikkate almamız gerekecek. İkinci bacak, polihedronun yüksekliği ortasına düştüğü için karenin kenarının yarısına eşittir.
Aranan özdeyiş (hipotenüs) dik üçgen) √(3 2 + 4 2) = 5 (cm)'ye eşittir.
Artık gerekli değeri hesaplayabilirsiniz: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Cevap. 96cm2.
Sorun No. 4
Durum. Doğru tarafı verilmiştir. Tabanının kenarları 22 mm, yan kenarları 61 mm'dir. Bu çokyüzlünün yan yüzey alanı nedir?
Çözüm. Buradaki mantık, 2 numaralı görevde açıklananla aynıdır. Sadece tabanında kare olan bir piramit verildi ve şimdi altıgen oldu.
Öncelikle taban alanı yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanır: (6*22 2) / (4*tg (180°/6)) = 726/(tg30°) = 726√3 cm2.
Şimdi ikizkenar üçgenin yan yüzü olan yarı çevresini bulmanız gerekiyor. (22+61*2):2 = 72 cm Geriye her bir üçgenin alanını hesaplamak için Heron formülünü kullanmak ve ardından bunu altıyla çarpıp taban için elde edilen değere eklemek kalıyor.
Heron formülü kullanılarak yapılan hesaplamalar: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm2. Yan yüzey alanını verecek hesaplamalar: 660*6 = 3960 cm2. Tüm yüzeyi bulmak için bunları toplamaya devam ediyor: 5217,47≈5217 cm2.
Cevap. Taban 726√3 cm2, yan yüzey 3960 cm2, tüm alan 5217 cm2'dir.
Tabanı düzgün altıgen, kenarları düzgün üçgenlerden oluşan piramite denir. altıgen.
Bu çokyüzlünün birçok özelliği vardır:
- Tabanın tüm kenarları ve açıları birbirine eşittir;
- Piramidin tüm kenarları ve dihedral kömürleri de birbirine eşittir;
- Kenarları oluşturan üçgenler sırasıyla aynıdır, alanları, kenarları ve yükseklikleri aynıdır.
Düzenli bir altıgen piramidin alanını hesaplamak için altıgen bir piramidin yan yüzey alanı için standart formül kullanılır:
burada P tabanın çevresidir, a ise piramidin özünün uzunluğudur. Çoğu durumda yan alanı bu formülü kullanarak hesaplayabilirsiniz, ancak bazen başka bir yöntem de kullanabilirsiniz. Piramidin yan yüzleri eşit üçgenlerden oluştuğu için bir üçgenin alanını bulup kenar sayısıyla çarpabilirsiniz. Altıgen bir piramidin içinde 6 tane var ama hesaplama yaparken de bu yöntem kullanılabilir. Altıgen bir piramidin yan yüzey alanını hesaplama örneğini ele alalım.
Apotheminin a = 7 cm, tabanının kenarının b = 3 cm olduğu düzenli bir altıgen piramit verilsin. Çokyüzlünün yan yüzeyinin alanını hesaplayın.
Öncelikle tabanın çevresini bulalım. Piramit düzgün olduğundan tabanında düzgün bir altıgen bulunur. Bu, tüm kenarlarının eşit olduğu ve çevrenin aşağıdaki formülle hesaplandığı anlamına gelir:
Verileri formülde değiştirin:
Artık bulunan değeri temel formülde yerine koyarak yan yüzey alanını kolayca bulabiliriz: 
Ayrıca üs bölgesinin aranması da önemlidir. Altıgen bir piramidin tabanının alanı için formül, normal bir altıgenin özelliklerinden türetilmiştir: 
Önceki örnekteki koşulları temel alarak altıgen bir piramidin tabanının alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım. Bunlardan, tabanın b = 3 cm olduğunu biliyoruz. : 
Altıgen bir piramidin alanı için formül, taban alanı ve yan taramanın toplamıdır: 
Altıgen bir piramidin alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.
Tabanında kenarı b = 4 cm olan düzgün bir altıgenin yer aldığı bir piramit verilsin. Verilen çokyüzlünün öz değeri a = 6 cm'dir.
Toplam alanın taban ve yan tarama alanlarından oluştuğunu biliyoruz. O halde önce onları bulalım. Çevresini hesaplayalım:
Şimdi yan yüzey alanını bulalım: 
Daha sonra, normal altıgenin bulunduğu tabanın alanını hesaplıyoruz: 
Artık sonuçları toplayabiliriz: