Să fie definită o funcție cu o singură valoare într-un anumit domeniu și să fie punctele și să aparțină domeniului.

Definiţie. Dacă există o limită finită a raportului atunci când, conform oricărei legi, acesta tinde spre zero, atunci:

1) această limită se numește derivata unei functiiîntr-un punct și este indicată prin simbol

2) în acest caz funcția este apelată diferentiabil la punct.

Toate regulile și formulele de diferențiere a funcțiilor unei variabile reale rămân în vigoare pentru funcțiile unei variabile complexe.

Teorema. Pentru ca o functie sa fie diferentiabila intr-un punct , este necesar și suficient ca:

1) funcții reale și au fost diferențiabile la punctul *);

2) în acest moment au fost îndeplinite condițiile

, (4.2)

numit Condiții Cauchy-Riemann(C.-R.)sau d'Alembert-Euler.

Dacă sunt îndeplinite condițiile ( C.-R.) derivata unei funcții poate fi găsită folosind una dintre următoarele formule:

Să prezentăm două definiții care au o importanță fundamentală în teoria funcțiilor unei variabile complexe.

Definiţie.Funcţie numit analitice în domeniu, dacă este diferențiabilă în fiecare punct din această regiune.

Definiţie.Funcţie numit analitic la un moment dat, dacă este analitic într-o anumită vecinătate a punctului, i.e. dacă funcția este diferențiabilă nu numai într-un punct dat, ci și în vecinătatea ei.

Din definițiile de mai sus reiese clar că conceptele de analiticitate și diferențiabilitatea unei funcții într-un domeniu coincid, dar analiticitatea unei funcții într-un punct și diferențiabilitatea într-un punct sunt concepte diferite. Dacă o funcție este analitică într-un punct, atunci este cu siguranță diferențiabilă acolo, dar inversul poate să nu fie adevărat. O funcție poate fi diferențiabilă într-un punct, dar nu poate fi diferențiabilă în nicio vecinătate a acelui punct, caz în care nu va fi analitică în punctul în cauză.

Condiția pentru ca o funcție să fie analitică într-un domeniu este ca condițiile Cauchy-Riemann să fie îndeplinite pentru toate punctele din acest domeniu.

Relația dintre funcțiile analitice și cele armonice. Poate orice funcție a două variabile să servească drept parte reală și imaginară a unei funcții analitice?

Dacă funcția este analitică în domeniu, atunci funcțiile sunt armonice, adică satisfac ecuația lui Laplace.

Şi .

Cu toate acestea, dacă funcțiile sunt funcții armonice alese în mod arbitrar, atunci funcția , în general, nu va fi analitică, adică condițiile pentru acestea nu vor fi întotdeauna îndeplinite.

Puteți construi o funcție analitică dintr-o funcție armonică dată (de exemplu, ), ridicând altul astfel incat conditiile sa fie indeplinite. Condițiile (4.2) ne permit să determinăm o funcție necunoscută (de exemplu, ) prin cele două derivate parțiale ale sale sau, ceea ce este același, prin diferența sa totală. Găsirea unei funcţii armonice din diferenţialul ei este problema integrării diferenţialului total al unei funcţii de două variabile, cunoscută din analiza reală.

Sensul geometric al modulului și argumentul derivatului. Fie funcția diferențiabilă în domeniul și . Funcția va mapa un punct plan la un punct plan, o curbă care trece printr-un punct la o curbă care trece prin (Fig. 4.1).

Modulul derivat este limita raportului dintre distanța infinitezimală dintre punctele mapate și distanța infinitezimală dintre prototipurile lor și . Prin urmare, cantitatea poate fi considerată geometric ca un coeficient de întindere (dacă ) într-un punct la maparea unei regiuni într-o regiune, realizată de funcția

În fiecare punct al regiunii în fiecare direcție coeficientul de întindere va fi diferit. Pentru argumentul derivat, putem scrie

unde și sunt respectiv unghiurile și că vectorii și formează cu axa reală (Fig. 4.1). Fie unghiurile formate din tangente la curbă și în puncte și cu axa reală. Apoi pentru , a , prin urmare definește unghiul cu care tangenta la curba în punct trebuie rotită pentru a obține direcția la tangenta la curba în punctul .

Dacă luăm în considerare două curbe și , și , atunci unghiurile și (Fig. 4.1) dintre tangentele lor sunt, în general, inegale.

Definiţie. O mapare a unui domeniu la un domeniu având proprietățile dilatărilor constante () în orice direcție și conservarea (sau conservatorismul) unghiurilor dintre două curbe care se intersectează la un punct se numește conformă(asemănător în mic). Maparea efectuată de funcția analitică este conformă în toate punctele în care .

EXERCIȚII

55. Arătaţi că funcţia este diferenţiabilă şi analitică în întregul plan complex. Calculați derivata acesteia.

Soluţie. Să găsim și. Prin definiție avem . Prin urmare, .

, ,

Unde , .

După cum se poate observa, derivatele parțiale sunt continue pe tot planul, iar funcțiile și sunt diferențiabile în fiecare punct al planului. Condițiile sunt îndeplinite. În consecință, este diferențiabilă în fiecare punct al planului și, prin urmare, analitică pe întregul plan. Prin urmare, derivata poate fi găsită folosind una dintre formulele (4.3):

În fine, derivata poate fi găsită folosind regulile diferențierii formale: .

56. Aflați dacă funcția este analitică:

Soluţie. a) De atunci, de unde . După cum se poate observa, prima condiție (4.2) nu este îndeplinită pentru niciuna și . În consecință, funcția nu este diferențiabilă în niciun punct din plan și, prin urmare, nu este analitică.

b) Avem . Funcţie Şi sunt diferențiabile în fiecare punct al planului, deoarece derivatele lor parțiale sunt continue în tot planul. Dar condițiile nu sunt îndeplinite în niciun punct al planului, cu excepția punctului în care toate derivatele parțiale sunt egale cu zero. În consecință, funcția este diferențiabilă doar într-un punct, dar nu este analitică acolo, deoarece prin definiție diferențiabilitatea este necesară într-o vecinătate a acestui punct.

Astfel, funcția nu este analitică pentru nicio valoare. Din exemplul de mai sus este clar că analiticitatea unei funcții într-un punct este o cerință mai puternică decât diferențiabilitatea sa în acest punct.

57. Există o funcţie analitică pentru care ?

Soluţie. Să verificăm dacă funcția este armonic. În acest scop găsim

Şi . Din ultima relație rezultă că nu poate fi o parte reală, precum și o parte imaginară a unei funcții analitice.

58. Găsiți, dacă este posibil, o funcție analitică din partea ei reală .

Soluţie. Mai întâi să verificăm dacă funcția este armonic. Găsim, , , Şi . O funcție care este armonică pe întregul plan este asociată cu condițiile Cauchy-Riemann, . Din aceste condiții obținem, . Din prima ecuație a sistemului o găsim integrând peste , presupunând constantă.

unde trebuie determinată o funcție arbitrară. Să-l găsim de aici și echivalează-l cu expresia găsită anterior: . Obținem o ecuație diferențială pentru a determina funcția , unde

Deci, . Apoi, adică în acest punct are loc o rotație printr-un unghi și formând un unghi unul cu celălalt, respectiv sunt afișate în raze și formând un unghi între ele . Prin urmare, la un moment dat, conformitatea cartografierii este încălcată din cauza faptului că proprietatea conservatorismului unghiului este încălcată: unghiurile nu se păstrează, ci se triplează.

Sarcina principală a teoriei mapărilor conformale este de a construi o mapare conformă a unui domeniu dat pe un domeniu dat al planului variabilei w.

O mapare continuă a unei regiuni a spațiului euclidian bidimensional în spațiu euclidian bidimensional se numește conformă într-un punct dacă are proprietățile extensiilor constante și conservarea unghiurilor în acest punct. Proprietatea de constanță a dilatărilor într-un punct în timpul mapării este că raportul dintre distanța dintre imagini și punctele u la distanța dintre și tinde către o anumită limită atunci când tinde într-un mod arbitrar; numărul se numește coeficient de întindere într-un punct de sub maparea în cauză. Proprietatea de conservare (conservatorism) a unghiurilor într-un punct în timpul mapării este că orice pereche de curbe continue situate și care se intersectează într-un punct la un unghi b (adică, având tangente într-un punct care formează un unghi b între ele), sub maparea în cauză merge într-o pereche de curbe continue care se intersectează într-un punct la același unghi b. O mapare continuă a unui domeniu se numește conformă dacă este conformă în fiecare punct al domeniului.

Prin definiție, o mapare conformă a unui domeniu trebuie să fie continuă și conformă numai în punctele interne, iar dacă se vorbește despre o mapare conformă a unui domeniu închis, atunci, de regulă, ele înseamnă o mapare continuă a unui domeniu închis, conformă la punctele sale interne.

Mapările conforme ale unei regiuni din spațiul euclidian bidimensional în spațiul euclidian bidimensional pot fi considerate convenabil ca o mapare a unei regiuni din planul unei variabile complexe în planul unei variabile complexe; în consecință, maparea este o funcție cu valori complexe a unei variabile complexe. Mai mult, dacă la un punct maparea păstrează unghiurile, atunci unghiurile curbilinii cu un vârf cu această mapare fie își păstrează valoarea și semnul absolut, fie își păstrează valoarea absolută, schimbând semnul în opus. În primul caz spunem că maparea într-un punct este o mapare conformă de primul fel, în al doilea - o mapare conformă de al doilea fel. Dacă o funcție definește o mapare conformă de al doilea fel într-un punct, atunci funcția complexă conjugată w= definește o mapare conformă de primul fel într-un punct și invers. Prin urmare, sunt studiate doar mapările conformale de primul fel și acestea sunt de obicei menționate atunci când vorbim despre o mapare conformă, fără a specifica felul lor. Dacă maparea este conformă într-un punct, atunci la există o limită finită a relației, adică există o derivată. Este adevărat și contrariul. Astfel, dacă există, atunci fiecare vector infinitezimal cu originea într-un punct este transformat atunci când este afișat folosind o funcție liniară, i.e. se întinde cu un factor, se rotește cu un unghi arg și se deplasează în paralel cu un vector.

În teoria mapărilor conforme plate și a aplicațiilor sale, întrebarea fundamentală este posibilitatea de a mapa univalent și conform unui domeniu dat pe altul, iar în aplicațiile practice problema posibilității de a face acest lucru folosind funcții relativ simple. Prima problemă, pentru cazul domeniilor pur și simplu conectate ale căror limite nu sunt goale și nu degenerează în puncte, este rezolvată în sens pozitiv prin teorema de mapare conformă a lui Riemann. A doua problemă pentru unele zone de tip special este rezolvată prin utilizarea funcțiilor elementare ale unei variabile complexe.

Principii de bază ale teoriei mapărilor conformale privind maparea unei regiuni la alta

teorema lui Riemann. Fie o regiune pur și simplu conectată a planului complex extins a cărei graniță conține cel puțin două puncte. Apoi:

• 1) există o funcție analitică care se mapează în mod conform cu cercul unității
• 2) această funcție poate fi selectată astfel încât să fie îndeplinite condițiile

unde punctele date sunt numărul real dat. În acest caz, funcția este determinată unic de condițiile (1).

Două regiuni pur și simplu conectate, fiecare cu cel puțin două puncte de limită, pot fi mapate conform de la una la alta. O poziție teoretică importantă care caracterizează comportamentul unei mapări conforme în apropierea graniței unui domeniu este următorul principiu de corespondență a graniței.

Teorema 1. Fie și să fie domenii conexe pur și simplu mărginite de contururi netede simple pe bucăți și, iar funcția să mapeze univalent și conform unui domeniu pe un domeniu. Apoi:

• 1) funcția are o extindere continuă până la limita regiunii, i.e. se poate defini în continuare în punctele conturului că rezultatul este o funcție care este continuă în închidere;
• 2) funcția, care este definită în continuare la graniță, mapează conturul unu-la-unu pe contur și în așa fel încât o ocolire pozitivă a conturului să corespundă unei ocoliri pozitive a conturului.

Teorema 2. Fie ca funcția să fie analitică într-un domeniu simplu conexat delimitat de un contur neted pe bucăți și continuă în închiderea acestui domeniu. Dacă o funcție efectuează o mapare unu-la-unu a unui contur pe un contur simplu, neted pe bucăți, atunci ea mapează regiunea conform și univalent pe regiunea delimitată de contur, iar o traversare a conturului în direcția pozitivă corespunde cu o parcurgere a conturului tot în sens pozitiv.

Pentru a demonstra teorema este suficient să arătăm că

• 1) pentru fiecare punct există doar unul astfel încât, i.e. funcția are doar un zero în domeniul său de aplicare;
• 2) pentru fiecare punct nu există niciun punct astfel încât i.e. funcția nu ia nicio valoare

Să demonstrăm prima afirmație. Conform condițiilor teoremei, funcția nu dispare pe contur, deoarece când punctul cade pe contur, dar se află și nu poate aparține. Aceasta înseamnă, conform principiului argumentului, numărul de zerouri ale funcției din regiune este egal cu

Deoarece punctul se află în zona limitată de contur, atunci semnul plus corespunde direcției pozitive de parcurgere a conturului. O valoare negativă în acest caz este imposibilă, deoarece indică prezența în regiunea polilor funcției și, prin condiție, este analitică în Prin urmare, ecuația din regiune are o singură soluție.

Să luăm în considerare a doua afirmație. Dacă punctul este situat în exteriorul conturului, atunci ecuația nu are soluții în regiune și asta înseamnă că orice punct intern al regiunii, sub o mapare conformă și univalentă, merge la punctul intern al regiunii. Q.E.D.

Observația 1. Teoremele 1 și 2 sunt valabile și pentru regiuni și planul complex extins delimitat de contururi netede simple pe bucăți și.

Teorema 3 (principiul conservării domeniului) Dacă o funcție este analitică într-un domeniu și nu este constantă, atunci imaginea domeniului este de asemenea un domeniu.

Pentru a demonstra teorema, este necesar să arătăm că mulțimea este conectată liniar și deschisă. Deoarece maparea, din cauza analiticității, este o mapare continuă, atunci imaginea oricărei mulțimi conectate liniar sub această mapare este o mulțime conectată liniar. Prin urmare, este o mulțime conexă liniar.

Să demonstrăm acum că setul deschis, i.e. orice punct intră împreună cu ceva din vecinătatea lui. Fie una dintre imaginile inverse ale unui punct. Dacă, atunci, conform teoremei funcției inverse, într-o anumită vecinătate a unui punct este definită o funcție care este funcția inversă a lui k, în consecință, toate punctele din această vecinătate sunt imagini sub mapare și îi aparține în întregime. Dacă, atunci ajungem la aceeași concluzie pe baza teoremei (Despre funcția inversă).

Teorema 4 (principiul modulului maxim). Dacă o funcție este analitică într-un domeniu, iar modulul ei atinge un maxim local la un moment dat, atunci este constantă în.

Vom efectua dovada prin contradicție. Lăsați-l să fie. Pentru un punct, alegem un cartier arbitrar care aparține în întregime regiunii și presupunem că nu este constant în cartierul luat în considerare. Conform principiului conservării regiunii, imaginea unui cerc atunci când este afișată este o regiune. Aceasta înseamnă că toate punctele dintr-o anumită vecinătate a unui punct sunt imagini ale punctelor dintr-un cerc. În acest cartier alegem un punct pentru care (dacă, atunci putem lua

iar dacă, atunci orice punct din vecinătatea indicată poate fi luat drept punct). Pentru acest punct avem > Deoarece vecinătatea punctului poate fi aleasă să aibă o rază arbitrar mică, concluzionăm că punctul nu este un punct maxim local al funcției.

Deci, dacă o funcție nu este constantă în vecinătatea unui punct, atunci ea nu are un maxim în punctul respectiv. Dacă atinge un maxim într-un punct din regiune, atunci funcția este constantă într-o vecinătate a punctului, adică. la. Conform teoremei privind unicitatea unei funcții analitice, funcțiile analitice și coincid în domeniu. Cu alte cuvinte, funcția este constantă la.

Teorema 5. Dacă o funcție este analitică într-un domeniu mărginit și continuă la închiderea acestui domeniu, atunci funcția atinge cea mai mare valoare la limita domeniului.

Într-adevăr, dacă o funcție este constantă în, atunci în virtutea continuității este constantă în și afirmația teoremei este evidentă.

Dacă nu este constantă în, atunci, conform teoremei 4, funcția nu poate atinge cea mai mare valoare în regiune, deoarece altfel ar avea un punct maxim local. Dar, fiind continuu pe un set limitat inchis, atinge cea mai mare valoare pe acest set: acest lucru se poate intampla doar la limita regiunii.

Teorema 6. Dacă o funcție este analitică într-un domeniu, nu are zerouri și modulul ei atinge un minim local în , atunci este constantă în acest domeniu.

Teorema 7 (lema Schwartz). Dacă o funcție analitică într-un cerc îndeplinește condițiile, atunci și, z. Mai mult, egalitatea sau este posibilă cel puțin într-un punct z 0 numai când

Dovada. Datorită faptului că punctul este zero al funcției, această funcție poate fi reprezentată sub forma unde este funcția analitică în, și. Considerați un cerc delimitat de un cerc. Funcția este analitică în și continuă în. Prin urmare, conform teoremei 5, atinge cea mai mare valoare la graniță. În acest caz, întrucât conform condițiilor teoremei. Prin urmare, peste tot în avem.

Să presupunem că inegalitatea este valabilă la un moment dat. Să alegem r<1 так, что. Тогда и, следовательно, . Получили противоречие, которое показывает, что на самом деле всюду в. В частности, в.

Dacă, atunci funcția atinge un maxim într-un punct egal cu unu. În mod similar, egalitatea înseamnă că atinge un maxim într-un punct egal cu unu. În ambele cazuri, conform principiului modulului maxim, funcția este constantă și. Prin urmare, și.

Teorema 8. Fie funcția armonică într-un domeniu mărginit și continuă în închiderea acestui domeniu. Dacă nu este constantă, atunci își atinge valorile maxime și minime doar la limita acestei regiuni.

CONFORMAL MAPPING (transformare conformă), o mapare a unei regiuni (în plan sau în spațiu) la o altă regiune, păstrând unghiurile dintre curbe. Cele mai simple exemple de mapare conformă sunt transformările de similaritate și rotațiile (transformări ortogonale).

Harta conformă este utilizată în cartografie atunci când este necesar să se înfățișeze o parte a suprafeței globului într-un plan (hartă), păstrând în același timp valorile tuturor unghiurilor; exemple de astfel de mapări conforme sunt proiecția stereografică și proiecția Mercator (vezi proiecțiile hărților). Un loc special este ocupat de mapările conforme ale unor regiuni ale planului pe altele; teoria lor are aplicații semnificative în mecanica aero- și fluidelor, electrostatică și teoria elasticității. Soluția la multe probleme importante se obține cu ușurință atunci când zona pentru care se pune problema are o formă destul de simplă (de exemplu, un cerc sau semiplan). Dacă problema este pusă pentru un domeniu mai complex, atunci se dovedește a fi suficient să mapați conform celui mai simplu domeniu pe cel dat pentru a obține o soluție la noua problemă dintr-o soluție cunoscută. Acesta este exact calea pe care a urmat-o N. E. Jukovski atunci când a creat teoria aripii unui avion.

Nu toate regiunile planului admit mapări conforme una pe cealaltă. De exemplu, un inel circular delimitat de cercuri concentrice nu poate fi mapat conform unui inel cu un raport de rază diferit. Cu toate acestea, oricare două regiuni, fiecare dintre ele mărginită de o singură curbă (regiuni pur și simplu conectate), pot fi mapate conform una pe cealaltă (teorema lui Riemann). În ceea ce privește zonele mărginite de mai multe curbe, o astfel de zonă poate fi întotdeauna mapată conform pe o zonă delimitată de același număr de segmente de linie dreaptă paralele (teorema lui Hilbert) sau cercuri (teorema lui Köbe), dar dimensiunile și pozițiile relative ale acestor segmente de dreaptă sau cercurile nu pot fi setate în mod arbitrar.

Dacă introducem variabile complexe z și w în planul original și al imaginii, atunci variabila w, considerată în maparea conformă ca o funcție a lui z, este fie o funcție analitică, fie un complex de funcții conjugat cu cea analitică. Dimpotrivă, orice funcție care este analitică într-un domeniu dat și ia valori diferite în diferite puncte ale domeniului (o astfel de funcție se numește univalentă) mapează în mod conform acest domeniu pe un alt domeniu. Prin urmare, studiul mapărilor conformale ale regiunilor plane se reduce la studiul funcțiilor analitice univalente.

Orice mapare conformă a regiunilor tridimensionale transformă sferele și planurile în sfere și plane și se reduce fie la o transformare de similaritate, fie la o transformare de inversare și o transformare de similaritate efectuate secvențial (teorema lui Liouville). Prin urmare, mapările conformale ale regiunilor tridimensionale (și în general multidimensionale) nu au o importanță atât de mare și aplicații atât de diverse precum mapările conformale ale regiunilor bidimensionale.

Teoria cartografierii conformale a început cu L. Euler (1777), care a descoperit legătura dintre funcțiile unei variabile complexe și problema cartografierii conforme a părților unei sfere pe un plan (pentru construirea hărților geografice). Studiul problemei generale de cartografiere conformă a unei suprafețe pe alta l-a condus pe K. Gauss (1822) la dezvoltarea teoriei generale a suprafețelor. B. Riemann (1851) a formulat condițiile în care este posibilă o mapare conformă a unei regiuni a planului pe alta, dar abordarea pe care a schițat-o a fost fundamentată abia la începutul secolului XX (A. Poincaré și C. Carathéodory). Studiile lui N. E. Zhukovsky și S. A. Chaplygin, care au deschis un câmp larg de aplicații ale cartografierii conformale în aero- și hidromecanică, au servit ca un stimul puternic pentru dezvoltarea teoriei cartografierii conformale ca o ramură mare a teoriei funcțiilor analitice.

Lit.: Goluzin G.M. Teoria geometrică a funcţiilor unei variabile complexe. a 2-a ed. M., 1966; Markushevich A.I. Teoria funcțiilor analitice. a 2-a ed. M., 1968. T. 2; Lavrentyev M.A., Shabat B.V. Metode ale teoriei funcțiilor unei variabile complexe. a 6-a ed. M., 2002.

Aici vom vorbi mai detaliat despre metodele geometrice ale teoriei funcțiilor analitice și generalizate, pe care le vom folosi cel mai mult în aplicații.

§ 10. Problema Riemann

Această problemă principală a valorii la limită a teoriei mapărilor conformale a fost deja discutată în capitolul anterior. Constă în construirea unei mapări conforme a unei regiuni la alta.

Existenta si unicitatea. Să începem cu observația că este suficient să învățăm cum să mapați o regiune arbitrară pur și simplu conectată conform unui cerc și apoi putem mapa oricare două astfel de regiuni conform una pe cealaltă.

Această remarcă se bazează pe două proprietăți simple ale hărților conformale: 1) inversul unei hărți conforme și 2) o hartă complexă compusă din două hărți conforme (adică, harta) sunt din nou hărți conforme. Proprietățile sunt clare din definiția unei mapări conforme ca o transformare analitică unu-la-unu și din regulile de diferențiere a funcțiilor inverse și complexe.

Având aceste proprietăți, nu este deloc greu de fundamentat observația făcută: dacă funcțiile mapează conform respectiv domeniile pe unitate.

cerc apoi funcția va fi afișată

Problema lui Riemann a fost finalizată la începutul acestui secol. S-a dovedit că orice regiune pur și simplu conectată a cărei graniță constă din mai mult de un punct poate fi mapată conform pe cercul unitar. Aceasta este celebra teoremă a lui Riemann, pe care a formulat-o încă din 1851, susținută de considerații fizice, dar nu a demonstrat-o (mai precis, demonstrația sa a avut un decalaj semnificativ).

Să ne ocupăm de întrebarea cât de definită este problema Riemann, câte soluții are pentru domenii date. Conform remarcii, pentru a rezolva această întrebare este suficient să aflăm în câte moduri se poate mapa conform cercul unității. în sine. Este ușor de verificat că pentru orice complex și orice număr real funcția

mapează cercul în mod conform pe el însuși (într-adevăr, cu avem și, prin urmare, adică (1) transformă cercul unitar în sine; în plus, este unul la unu, deoarece ecuația (1) este rezolvabilă în mod unic în ceea ce privește și duce punctul a al cercului în centrul său). Maparea (1) depinde de trei parametri reali - două coordonate ale punctului a, care merge în centrul cercului și numărul 0, a cărui modificare înseamnă rotația cercului față de centru.

Se poate dovedi că formula (1) conține toate mapările conforme ale discului unității pe sine. Aceasta înseamnă că arbitrariul în rezolvarea problemei Riemann este epuizat de trei parametri reali:

maparea conformă a unei regiuni la alta este determinată în mod unic dacă specificăm corespondența a trei perechi de puncte de limită (poziția unui punct pe graniță este specificată de un parametru) sau corespondența unei perechi de puncte interne (doi parametri) și o altă pereche de puncte de limită (un parametru). Asemenea condiții care determină în mod unic maparea - se numesc condiții de normalizare - pot lua forme diferite, dar de fiecare dată aceste condiții trebuie să determine trei parametri.

Exemple. Să indicăm câteva exemple simple de mapări conforme.

1) Maparea aspectului cercului pe el însuși. Funcția (1) poate fi considerată și ca cartografierea exteriorului, adică a zonei pe ea însăși; este nevoie de un punct numit simetric la infinit în raport cu cercul unitar

2) Semiplanul superior al cercului este, de asemenea, afișat printr-o funcție liniară fracțională:

aici a este un punct arbitrar al semiplanului superior, acesta este transferat la maparea (2) la centrul cercului; punctul cercului spre care se îndreaptă punctul infinit al planului (limita laturii drepte a lui (2) cu este evident egală cu ).

În fig. Figura 22 arată în ce se transformă liniile drepte h - acestea sunt cercuri tangente la unitatea din punct

3) Exteriorul unui cerc unitar este mapat pe exteriorul unui segment prin așa-numita funcție Jukovski

În acest caz, cercurile se transformă în elipse cu semiaxe și cu focare ±1, iar razele în arce de hiperbole ortogonale cu elipsele (Fig. 23).

4) Dunga de pe un cerc unitar este afișată de funcție

În acest caz, segmentele verticale drepte și orizontale se transformă în „meridiane” și „paralele” (Fig. 24).

5) Semiplanul superior cu un segment circular aruncat pe semiplanul superior în timpul normalizării este afișat de funcția

unde a și a sunt parametrii segmentului (Fig. 25), iar c este o constantă reală (rețineți că condițiile noastre de normalizare specifică doar doi parametri reali, deci al treilea rămâne arbitrar).

Această formulă este prea greoaie pentru aplicații. Pentru a și a mici, folosind primii termeni ai expansiunilor Taylor, acesta poate fi înlocuit cu formula aproximativă

De asemenea, se poate observa că, până la comenzi mici mai mari, dă aria din segmentul ejectat, prin urmare (6) poate fi rescris sub forma

6) Un cerc cu o mică gaură aruncată pe cerc este, de asemenea, afișat printr-o funcție de înregistrare destul de greoaie. O formulă aproximativă pentru o astfel de mapare, cu condiția ca aria găurii ejectate să fie mică, poate fi scrisă după cum urmează:

aici este partea superioară a găurii sau (cu aceeași precizie) celălalt punct al acesteia.

7) Aceeași formulă aproximativă pentru maparea unei benzi cu o gaură ejectată cu o zonă mică c pe bandă are forma

unde a este abscisa unuia dintre punctele găurii; tangentă hiperbolică.

Flux în canal. Capacitatea de a rezolva problema Riemann determină succesul rezolvării unor probleme hidrodinamice. Vom ilustra acest lucru folosind exemple clasice de probleme de curgere constantă a unui fluid incompresibil ideal dincolo de corpurile. Va trebui, desigur, să presupunem că corpurile sunt sub formă de cilindri infiniti (cu linii de ghidare arbitrare) pentru a utiliza schema de mișcare plană.

Să presupunem că trebuie să găsim un flux într-un canal cu pereți perpendiculari pe un anumit plan și să îl intersectăm de-a lungul a două curbe infinite fără puncte comune (Fig. 26), iar vitezele curgerii sunt paralele cu acest plan și sunt deloc aceleași. perpendiculare pe acesta. Câmpul de viteză din canal este descris de un câmp plat într-o bandă limitată de curbe

După cum am văzut în capitolul anterior, ipoteza despre absența surselor și a vârtejurilor în flux conduce la concluzia despre existența unui potențial complex - analitic în funcție Găsirea unui flux înseamnă găsirea acestei funcții.

Fluxul trebuie să curgă în jurul pereților canalului, adică fiecare dintre curbe trebuie să fie o linie de curent, ceea ce oferă starea la limită a problemei. Putem întreba

de asemenea, debitul care, după cum se arată în ultimul capitol, este egal cu

unde y este o linie cu capete, adică orice secțiune transversală a fluxului. Deoarece suntem interesați de potențialul până la un termen constant, putem presupune că pe G.

În această formulare, problema este încă foarte incertă. De exemplu, pentru cazul în care este o bandă dreaptă, soluția sa este orice funcție

Pentru orice număr real și întreg (partea imaginară dispare la Pentru a enunța problema mai clar, va trebui să presupunem că lățimea benzii rămâne limitată la infinit, să impunem anumite condiții de netezime și să luăm în considerare numai curgeri cu viteză limitată la infinit. Se poate se dovedește că pentru aceste restricții suplimentare, soluția problemei va fi doar o mapare conformă a domeniului pe o bandă cu normalizare. Această mapare este determinată până la un termen constant (real), care nu este esențial, adică fluxul problema este rezolvată în mod unic în restricțiile acceptate. Soluția sa se reduce astfel la rezolvarea problemei Riemann.

teza

1.1 Conceptul de cartografiere conformă și principalele sale proprietăți

O mapare unu-la-unu care are proprietatea de a păstra unghiurile în mărime și direcție și proprietatea de constanță a dilatărilor micilor vecinătăți ale punctelor mapate se numește mapare conformă.

Pentru a asigura o reflecție unu-la-unu, sunt identificate zonele de univalență a funcției. Un domeniu D se numește domeniu de univalență al funcției f(z) dacă.

Proprietățile de bază ale mapărilor conforme:

1) constanța întinderii. Liniara într-un punct este aceeași pentru toate curbele care trec prin acel punct și este egală;

2) conservarea unghiurilor. Toate curbele dintr-un punct se rotesc prin același unghi, egal.

Funcția afișează puncte pe planul z (sau suprafața Riemann). La fiecare punct z, astfel încât f(z) este analitic (adică determinat și diferențiabil în mod unic într-o vecinătate a acestui punct) și maparea este conformă, adică. unghiul dintre două curbe care trec prin punctul z se transformă într-un unghi egal ca mărime și direcție de referință între două curbe corespunzătoare din plan.

Un triunghi infinitezimal lângă un astfel de punct z este mapat într-un triunghi infinitezimal similar - planul; fiecare latură a triunghiului este întinsă în raport și rotită cu un unghi. Coeficientul de distorsiune (raportul local al zonelor mici) în timpul cartografierii este determinat de jacobianul cartografierii

în fiecare punct z în care maparea este conformă.

Maparea conformă transformă liniile într-o familie de traiectorii ortogonale în planul w.

Regiunea planului z mapată pe întregul plan w de către funcția f(z) se numește regiunea fundamentală a funcției f(z).

Punctele în care sunt numite puncte critice de cartografiere.

O mapare care păstrează mărimea, dar nu direcția, a unghiului dintre două curbe se numește o mapare izogonală sau conformă de al doilea fel.

O mapare este conformă într-un punct la infinit dacă funcția mapează conform originii la planul -.

Două curbe se intersectează la un unghi într-un punct dacă transformarea le transformă în două curbe care se intersectează la un unghi într-un punct.

În mod similar, mapează un punct conform unui punct .

Grupuri de matrice algebrice

Fie și să fie spații liniare aritmetice ale coloanelor de înălțime și, respectiv. Să fie, în continuare, o matrice de mărime. Să definim o mapare setând pentru oriunde sunt coloanele matricei. Pentru ca sunt inalti...

Biectori în grupuri finite

Definiţie. Fie --- un grup și --- o clasă de grupuri. Dacă și, atunci --- este un subgrup al grupului. Definiţie. Un -subgrup maxim al unui grup este un -subgrup al unui grup care nu este conținut într-un -subgrup mai mare. Definiţie...

Câmpuri vectoriale

Definiția unui rotor al unui câmp vectorial: Un rotor sau un vortex al unui câmp vectorial este un vector cu proprietăți de bază ale unui rotor: -- aceasta este o mărime vectorială care este o caracteristică diferențială (adică, punct) unui câmp vectorial. ...

Geometria exterioară a suprafețelor cu un tip constant de puncte

Suprafețele șeii, într-un anumit sens, sunt opuse în proprietățile suprafețelor convexe. La fel ca suprafețele convexe, ele pot fi definite pur geometric...

Teorema chineză a restului și corolarele sale

În această secțiune ne vom uita la numere întregi și le vom desemna folosind litere latine. Să luăm un număr natural fix arbitrar p și să luăm în considerare resturile atunci când împărțim diferite numere întregi la p...

Fundamentele matematice ale sistemului de clase reziduale

Să luăm un număr natural fix arbitrar p și să luăm în considerare resturile atunci când împărțim diferite numere întregi la p. Când luăm în considerare proprietățile acestor resturi și se efectuează operații asupra lor, este convenabil să se introducă conceptul de comparație modulo...

Modelarea matematică a obiectelor tehnice

Un model este o imagine fizică sau abstractă a unui obiect modelat, convenabilă pentru cercetare și care permite afișarea adecvată a proprietăților și caracteristicilor fizice ale obiectului care sunt de interes pentru cercetător...

Integrală definită

1. Valoarea unei integrale definite nu depinde de desemnarea variabilei de integrare: . 2. O integrală determinată cu aceleași limite de integrare este egală cu zero: 3. Dacă, atunci, prin definiție, punem 4...

Aplicarea practică a formulelor de cuadratura cu greutăți Chebyshev-Hermite

Să fie specificată o funcție de greutate uniformă pe întreaga axă.

(1.1) Diferențiând succesiv această funcție, aflăm (1.2) Este ușor de demonstrat prin inducție că derivata de ordin n a funcției (1.1) este produsul acestei funcții de un polinom de grad n...

Un poligon sferic este o parte a unei sfere delimitată de arce de cercuri mari, semicercuri mai mici, ale căror capete sunt punctele de intersecție ale acestor cercuri mari, luate în ordine secvențială...

Rezolvarea problemei unui fluid ideal care curge în jurul unui cilindru circular în cuaternioni

Cuaternionii au fost introduși în matematică de William Rowan Hamilton 1]. Sunt un instrument bun pentru rezolvarea multor probleme legate de spațiul tridimensional și iau în considerare caracteristicile acestuia...

Modelare Statistică

Pentru ca o evaluare să aibă valoare practică, trebuie să aibă următoarele proprietăți. 1. O estimare a unui parametru se numește imparțial dacă așteptarea sa matematică este egală cu parametrul estimat, adică. M= .(22.1) Dacă egalitatea (22...

Funcții trigonometrice

Cicloid

Definiția unui cicloid, introdusă mai devreme, nu i-a mulțumit niciodată pe oamenii de știință: la urma urmei, se bazează pe concepte mecanice - viteză, adăugare de mișcări etc...

Vom avea nevoie de două fapte din . 1. Pentru oricine există un DF unic. 2. Dacă, atunci mulțimea este un singur element. Dacă, atunci există familii continue, cu un singur parametru (adică pentru și (simbolul indică o convergență slabă)) și DF, cum ar fi...