Hipotenuză după catete și unghi. Soluție triunghi dreptunghic. Raporturi trigonometrice pentru a găsi catetul unui triunghi dreptunghic

Înainte de a găsi ipotenuza unui triunghi, trebuie să înțelegeți ce caracteristici are această figură. Să le luăm în considerare pe cele principale:

1. Într-un triunghi dreptunghic, ambele unghiuri ascuțite se adună până la 90º.
2. Un picior situat opus unui unghi de 30º va fi egal cu jumătate din dimensiunea ipotenuzei.
3. Dacă cateta este egală cu ½ din ipotenuză, atunci al doilea unghi va avea aceeași valoare - 30º.

Există mai multe moduri de a găsi ipotenuza într-un triunghi dreptunghic. Cel mai solutie simpla este un calcul prin picioare. Să presupunem că știți valorile catetelor laturilor A și B. Atunci teorema lui Pitagora vine în ajutor, spunându-ne că dacă pătram fiecare valoare a catetei și însumăm datele obținute, vom afla care este ipotenuza este egală cu. Deci trebuie doar să extragem valoarea rădăcinii pătrate:

De exemplu, dacă piciorul A = 3 cm și piciorul B = 4 cm, atunci calculul va arăta astfel:

Cum se găsește ipotenuza printr-un unghi?

O altă modalitate de a afla care este ipotenuza într-un triunghi dreptunghic este să calculezi printr-un unghi dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să derivăm valoarea prin formula sinusului. Să presupunem că știm dimensiunea piciorului (A) și valoarea unghiului opus (α). Apoi întreaga soluție este conținută într-o singură formulă: C=A/sin(α).

De exemplu, dacă lungimea catetei este de 40 cm și unghiul este de 45°, atunci lungimea ipotenuzei poate fi derivată după cum urmează:

Valoarea necesară poate fi determinată și prin cosinusul unui unghi dat. Să presupunem că știm valoarea unui picior (B) și a unui unghi ascuțit adiacent (α). Apoi, pentru a rezolva problema veți avea nevoie de o formulă: C=B/ cos(α).

De exemplu, dacă lungimea catetei este de 50 cm și unghiul este de 45°, atunci ipotenuza poate fi calculată după cum urmează:

Astfel, ne-am uitat la principalele modalități de a afla ipotenuza într-un triunghi. Când rezolvați o problemă, este important să vă concentrați asupra datelor disponibile, apoi găsirea cantității necunoscute va fi destul de simplă. Trebuie doar să cunoașteți câteva formule și procesul de rezolvare a problemelor va deveni simplu și plăcut.

Printre numeroasele calcule efectuate pentru a calcula diferite mărimi diferite se numără găsirea ipotenuzei unui triunghi. Amintiți-vă că un triunghi este un poliedru care are trei unghiuri. Mai jos sunt câteva moduri de a calcula ipotenuza diferitelor triunghiuri.

Mai întâi, să vedem cum să găsim ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Pentru cei care au uitat, un triunghi cu un unghi de 90 de grade se numește triunghi dreptunghic. Latura triunghiului situată pe latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză. În plus, este cea mai lungă latură a triunghiului. În funcție de valorile cunoscute, lungimea ipotenuzei se calculează astfel:

• Lungimile picioarelor sunt cunoscute. În acest caz, ipotenuza se calculează folosind teorema lui Pitagora, care arată astfel: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Dacă luăm în considerare un triunghi dreptunghic BKF, unde BK și KF sunt catete, iar FB este ipotenuza, atunci FB2= BK2+ KF2. Din cele de mai sus rezultă că atunci când se calculează lungimea ipotenuzei, fiecare dintre valorile catetelor trebuie să fie pătrată pe rând. Apoi adăugați numerele învățate și extrageți rădăcina pătrată din rezultat.

Luați în considerare un exemplu: dat un triunghi cu unghi drept. Un picior are 3 cm, celălalt are 4 cm. Aflați ipotenuza. Soluția arată așa.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Extrageți și obțineți FB=5cm.

• Se cunosc catetul (BK) si unghiul adiacent acestuia, care este format din ipotenuza si acest catet. Cum se află ipotenuza unui triunghi? Să notăm unghiul cunoscut α. Conform proprietății care afirmă că raportul dintre lungimea catetei și lungimea ipotenuzei este egal cu cosinusul unghiului dintre acest catet și ipotenuză. Considerând un triunghi, acesta poate fi scris astfel: FB= BK*cos(α).
• Se cunosc piciorul (KF) și același unghi α, doar că acum va fi opus. Cum să găsiți ipotenuza în acest caz? Să ne întoarcem la aceleași proprietăți ale unui triunghi dreptunghic și să aflăm că raportul dintre lungimea catetei și lungimea ipotenuzei este egal cu sinusul unghiului opus catetului. Adică FB= KF * sin (α).

Să ne uităm la un exemplu. Având în vedere același triunghi dreptunghic BKF cu ipotenuză FB. Fie unghiul F egal cu 30 de grade, al doilea unghi B corespunde cu 60 de grade. Este cunoscut și piciorul BK, a cărui lungime corespunde la 8 cm Valoarea necesară poate fi calculată după cum urmează:

FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.

• Cunoscut (R), descris în jurul unui triunghi cu unghi drept. Cum să găsești ipotenuza când te gândești la o astfel de problemă? Din proprietatea unui cerc circumscris unui triunghi cu unghi drept, se știe că centrul unui astfel de cerc coincide cu punctul ipotenuzei, împărțindu-l la jumătate. Cu cuvinte simple, raza corespunde cu jumătate din ipotenuză. Prin urmare, ipotenuza este egală cu două raze. FB=2*R. Dacă vi se pune o problemă similară în care nu se cunoaște raza, ci mediana, atunci ar trebui să acordați atenție proprietății unui cerc circumscris unui triunghi cu unghi drept, care spune că raza este egală cu mediana desenată. la ipotenuză. Folosind toate aceste proprietăți, problema este rezolvată în același mod.

Dacă întrebarea este cum să găsiți ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel, atunci trebuie să treceți la aceeași teoremă a lui Pitagora. Dar, în primul rând, amintiți-vă că un triunghi isoscel este un triunghi care are două laturi identice. În cazul unui triunghi dreptunghic, laturile sunt egale. Avem FB2= BK2+ KF2, dar din moment ce BK= KF avem următoarele: FB2=2 BK2, FB= BK√2

După cum puteți vedea, cunoscând teorema lui Pitagora și proprietățile unui triunghi dreptunghic, rezolvarea problemelor în care este necesar să se calculeze lungimea ipotenuzei este foarte simplă. Dacă este dificil să vă amintiți toate proprietățile, învățați formule gata făcute, înlocuind valori cunoscute în care puteți calcula lungimea dorită a ipotenuzei.

Un triunghi este un număr geometric format din trei segmente care leagă trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă. Punctele care formează un triunghi se numesc punctele sale, iar segmentele sunt una lângă alta.

În funcție de tipul de triunghi (dreptunghiular, monocrom etc.), puteți calcula latura triunghiului în diferite moduri, în funcție de datele de intrare și de condițiile problemei.

Navigare rapidă pentru un articol

Pentru a calcula laturile unui triunghi dreptunghic se folosește teorema lui Pitagora, care afirmă că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Dacă etichetăm catetele ca „a” și „b” și ipotenuza ca „c”, atunci paginile pot fi găsite cu următoarele formule:

Dacă unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic (a și b) sunt cunoscute, laturile sale pot fi găsite cu următoarele formule:

Triunghi decupat

Un triunghi se numește triunghi echilateral în care ambele laturi sunt aceleași.

Cum se găsește ipotenuza în două catete

Dacă litera „a” este identică cu aceeași pagină, „b” este baza, „b” este unghiul opus bazei, „a” este unghiul adiacent pentru a calcula paginile se pot folosi următoarele formule:

Două colțuri și o latură

Dacă se cunosc o pagină (c) și două unghiuri (a și b) ale oricărui triunghi, se utilizează formula sinusului pentru a calcula paginile rămase:

Trebuie să găsiți a treia valoare y = 180 - (a + b) deoarece

suma tuturor unghiurilor unui triunghi este 180°;

Două laturi și un unghi

Dacă sunt cunoscute două laturi ale unui triunghi (a și b) și unghiul dintre ele (y), teorema cosinusului poate fi folosită pentru a calcula a treia latură.

Cum se determină perimetrul unui triunghi dreptunghic

Un triunghi triunghiular este un triunghi, dintre care unul are 90 de grade, iar celelalte două sunt acute. calcul perimetru astfel de triunghiîn funcţie de cantitatea de informaţii cunoscute despre aceasta.

Vei avea nevoie de el

• În funcție de caz, abilitățile 2 trei laturi ale triunghiului, precum și unul dintre unghiurile sale ascuțite.

instrucțiuni

primul Metoda 1: Dacă toate cele trei pagini sunt cunoscute triunghi Atunci, fie perpendicular sau netriunghiular, perimetrul se calculează astfel: P = A + B + C, acolo unde este posibil, c este ipotenuza; a și b sunt picioare.

al doilea Metoda 2.

Dacă un dreptunghi are doar două laturi, atunci folosind teorema lui Pitagora, triunghi poate fi calculat folosind formula: P = v (a2 + b2) + a + b sau P = v (c2 - b2) + b + c.

al treilea Metoda 3. Fie ipotenuza c şi colt ascutit? Având în vedere un triunghi dreptunghic, va fi posibil să găsim perimetrul astfel: P = (1 + sin?

Al patrulea Metoda 4. Se spune că în triunghiul dreptunghic lungimea unui catete este egală cu a și, dimpotrivă, are un unghi ascuțit. Apoi calculează perimetru Acest triunghi se va efectua după formula: P = a * (1 / tg?

1/fiu? + 1)

cincimi Metoda 5.

Calcul triunghi online

Lasă piciorul nostru să conducă și să fie inclus în el, atunci intervalul va fi calculat ca: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Videoclipuri asemănătoare

Teorema lui Pitagora este baza tuturor matematicii. Determină relația dintre laturile unui triunghi adevărat. Există acum 367 de dovezi ale acestei teoreme.

instrucțiuni

primul Formularea școlară clasică a teoremei lui Pitagora sună astfel: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

Pentru a găsi ipotenuza într-un triunghi dreptunghic de două Cateți, trebuie să recurgeți la pătrarea lungimii catetelor, să le adunați și să luați rădăcina pătrată a sumei. În formularea originală a afirmației sale, piața se bazează pe ipotenuză, care este egală cu suma pătratelor a 2 pătrate produse de Catete. Cu toate acestea, formularea algebrică modernă nu necesită introducerea unei reprezentări de domeniu.

al doilea De exemplu, un triunghi dreptunghic ale cărui catete au 7 cm și 8 cm.

Apoi, conform teoremei lui Pitagora, ipotenuza pătrată este egală cu R + S = 49 + 64 = 113 cm. Ipotenuza este egală cu rădăcina pătrată a lui 113.

Unghiurile unui triunghi dreptunghic

Rezultatul a fost un număr nefondat.

al treilea Dacă triunghiurile sunt catetele 3 și 4, atunci ipotenuza = 25 = 5. Când luați rădăcina pătrată, obțineți un număr natural. Numerele 3, 4, 5 formează un triplet Pygagorean, deoarece satisfac relația x? +Y? = Z, ceea ce este natural.

Alte exemple de triplet pitagoreic sunt: ​​6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

Al patruleaÎn acest caz, dacă picioarele sunt identice între ele, teorema lui Pitagora se transformă într-o ecuație mai primitivă. De exemplu, să presupunem că o astfel de mână este egală cu numărul A și ipotenuza este definită pentru C și apoi c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. În acest caz nu aveți nevoie de A.

cincimi Teorema lui Pitagora - caz special, care este mai mare decât teorema generală a cosinusului, care stabilește relația dintre cele trei laturi ale unui triunghi pentru orice unghi între două dintre ele.

Sfat 2: Cum să determinați ipotenuza pentru catete și unghiuri

Ipotenuza este latura dintr-un triunghi dreptunghic care este opus unghiului de 90 de grade.

instrucțiuni

primulÎn cazul cateterelor cunoscute, precum și unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic, ipotenuza poate avea o dimensiune egală cu raportul cateterului și cosinusul/sinusul acestui unghi, dacă unghiul a fost opus / e includ: H = C1 (sau C2) / sin, H = C1 (sau C2?) / cos?. Exemplu: Fie ABC un triunghi neregulat cu ipotenuza AB și unghi drept C.

Fie B 60 de grade și A 30 de grade. Lungimea tulpinii BC este de 8 cm Lungimea ipotenuzei AB trebuie găsită. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza una dintre metodele de mai sus: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Ipotenuza este cea mai lungă latură a unui dreptunghi triunghi. Este situat într-un unghi drept. Metoda de aflare a ipotenuzei unui dreptunghi triunghi in functie de sursa datelor.

instrucțiuni

primul Dacă picioarele tale sunt perpendiculare triunghi, apoi lungimea ipotenuzei dreptunghiului triunghi poate fi descoperit de un analog pitagoreian - pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimii catetelor: c2 = a2 + b2, unde a și b sunt lungimea catetelor dreptei triunghi .

al doilea Dacă unul dintre catete este cunoscut și la un unghi ascuțit, formula pentru găsirea ipotenuzei va depinde de prezența sau absența la un anumit unghi în raport cu catetul cunoscut - adiacent (piciorul este situat aproape), sau invers ( cazul opus este situat nego.V din unghiul specificat este egal cu fracția ipotenuzei catetei în unghi cosinus: a = a / cos E, pe de altă parte, ipotenuza este aceeași cu raportul unghiurilor sinusoidale: da = a / sin.

Videoclipuri asemănătoare

Sfaturi utile
Un triunghi unghiular ale cărui laturi sunt legate ca 3:4:5, numit delta egipteană datorită faptului că aceste figuri au fost utilizate pe scară largă de arhitecții Egiptului antic.

Acesta este, de asemenea, cel mai simplu exemplu de triunghiuri ale lui Jero, în care paginile și aria sunt reprezentate prin numere întregi.

Un triunghi se numește dreptunghi al cărui unghi este de 90°. Latura opusă colțului drept se numește ipotenuză, cealaltă se numește catete.

Dacă doriți să aflați cum este format un triunghi dreptunghic din unele proprietăți ale triunghiurilor regulate, și anume faptul că suma unghiurilor acute este de 90°, ceea ce este folosit, și faptul că lungimea catetului opus este jumătate din ipotenuză este de 30°.

Navigare rapidă pentru un articol

Triunghi decupat

Una dintre proprietățile unui triunghi egal este că cele două unghiuri ale sale sunt egale.

Pentru a calcula unghiul unui triunghi dreptunghic congruent, trebuie să știți că:

• Acest lucru nu este mai rău de 90°.
• Valorile unghiurilor ascuțite sunt determinate de formula: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, adică

  Unghiurile α și β sunt egale cu 45°.

Dacă valoare cunoscută unul dintre unghiurile ascuțite este cunoscut, celălalt poate fi găsit folosind formula: β = 180º-90º-α sau α = 180º-90º-β.

Acest raport este cel mai des folosit dacă unul dintre unghiuri este de 60° sau 30°.

Concepte cheie

Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este 180°.

Pentru că este un nivel, două rămân ascuțite.

Calculați triunghiul online

Dacă doriți să le găsiți, trebuie să știți că:

alte metode

Valorile unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghic pot fi calculate din medie - cu o linie dintr-un punct de pe partea opusă a triunghiului, iar înălțimea - linia este o perpendiculară trasă de la ipotenuză în unghi drept. .

Fie mediana să se extindă din colțul din dreapta până la mijlocul ipotenuzei și fie h înălțimea. În acest caz, rezultă că:

• sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sin α = h/b; sin β = h/a.

Două pagini

Dacă lungimile ipotenuzei și ale unuia dintre catete sunt cunoscute într-un triunghi dreptunghic sau pe ambele părți, atunci identitățile trigonometrice sunt utilizate pentru a determina valorile unghiurilor acute:

• α = arcsin (a/c), β = arcsin (b/c).
• α = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
• α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).

Lungimea unui triunghi dreptunghic

Aria și aria unui triunghi

perimetru

Circumferința oricărui triunghi este egală cu suma lungimilor celor trei laturi. Formula generală pentru găsirea unui triunghi triunghiular este:

unde P este circumferința triunghiului, a, b și c a laturilor sale.

Perimetrul unui triunghi egal poate fi găsită prin combinarea succesivă a lungimilor laturilor sale sau înmulțirea lungimii laturii cu 2 și adăugarea lungimii de bază la produs.

Formula generală pentru găsirea unui triunghi de echilibru va arăta astfel:

unde P este perimetrul unui triunghi egal, dar fie b, b este baza.

Perimetrul unui triunghi echilateral poate fi găsită combinând secvențial lungimile laturilor sale sau înmulțind lungimea oricărei pagini cu 3.

Formula generală pentru găsirea marginii triunghiurilor echilaterale va arăta astfel:

unde P este perimetrul unui triunghi echilateral, a este oricare dintre laturile sale.

regiune

Dacă doriți să măsurați aria unui triunghi, o puteți compara cu un paralelogram. Luați în considerare triunghiul ABC:

Dacă luăm același triunghi și îl fixăm astfel încât să obținem un paralelogram, obținem un paralelogram cu aceeași înălțime și bază ca acest triunghi:

În acest caz, latura comună a triunghiurilor este pliată împreună de-a lungul diagonalei paralelogramului turnat.

Din proprietățile unui paralelogram. Se știe că diagonalele unui paralelogram sunt întotdeauna împărțite în două triunghiuri egale, apoi suprafața fiecărui triunghi este egală cu jumătate din intervalul paralelogramului.

Deoarece aria unui paralelogram este aceeași cu produsul înălțimii bazei sale, aria triunghiului va fi egală cu jumătate din acest produs. Astfel, pentru ΔABC aria va fi aceeași

Acum considerăm un triunghi dreptunghic:

Două triunghiuri dreptunghiulare identice pot fi îndoite într-un dreptunghi dacă acesta se sprijină pe ele, care este unul altuia ipotenuză.

Deoarece suprafața dreptunghiului coincide cu suprafața laturilor adiacente, aria acestui triunghi este aceeași:

Din aceasta putem concluziona că suprafața oricărui triunghi dreptunghic este egală cu produsul catetelor împărțit la 2.

Din aceste exemple se poate concluziona că suprafața fiecărui triunghi este aceeași cu produsul lungimii, iar înălțimea se reduce la substrat împărțit la 2.

Formula generală pentru găsirea ariei unui triunghi ar arăta astfel:

unde S este aria triunghiului, dar baza acestuia, dar înălțimea scade în partea de jos a.

Primele sunt segmentele care sunt adiacente unghiului drept, iar ipotenuza este partea cea mai lungă a figurii și este situată opus unghiului de 90 de grade. Un triunghi pitagoreic este unul ale cărui laturi sunt egale cu numerele naturale; lungimile lor în acest caz se numesc „triplu pitagoreic”.

triunghi egiptean

Pentru ca generația actuală să recunoască geometria în forma în care este predată în școală acum, aceasta s-a dezvoltat de-a lungul mai multor secole. Punctul fundamental este considerat a fi teorema lui Pitagora. Laturile unui dreptunghiular sunt cunoscute în întreaga lume) sunt 3, 4, 5.

Puțini oameni nu sunt familiarizați cu expresia „ pantaloni pitagoreici egală în toate direcțiile”. Totuși, în realitate teorema sună așa: c 2 (pătratul ipotenuzei) = a 2 + b 2 (suma pătratelor catetelor).

Printre matematicieni, un triunghi cu laturile 3, 4, 5 (cm, m etc.) se numește „egiptean”. Lucrul interesant este că ceea ce este înscris în figură este egal cu unu. Numele a apărut în jurul secolului al V-lea î.Hr., când filozofii greci au călătorit în Egipt.

La construirea piramidelor, arhitecții și topografii au folosit raportul 3:4:5. Astfel de structuri s-au dovedit a fi proporționale, plăcute la vedere și spațioase și, de asemenea, s-au prăbușit rar.

Pentru a construi un unghi drept, constructorii au folosit o frânghie cu 12 noduri legate pe ea. În acest caz, probabilitatea de a construi un triunghi dreptunghic a crescut la 95%.

Semne de egalitate a cifrelor

• Un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic și o latură lungă, care sunt egale cu aceleași elemente din al doilea triunghi, sunt un semn incontestabil al egalității figurilor. Ținând cont de suma unghiurilor, este ușor de demonstrat că și al doilea unghi ascuțit este egal. Astfel, triunghiurile sunt identice după al doilea criteriu.
• Când suprapunem două figuri una peste alta, le rotim astfel încât, atunci când sunt combinate, să devină un triunghi isoscel. După proprietatea sa, laturile, sau mai bine zis ipotenuzele, sunt egale, precum și unghiurile de la bază, ceea ce înseamnă că aceste cifre sunt aceleași.

Pe baza primului semn, este foarte ușor să demonstrezi că triunghiurile sunt într-adevăr egale, principalul lucru este că cele două laturi mai mici (adică picioarele) sunt egale între ele.

Triunghiurile vor fi identice după al doilea criteriu, a cărui esență este egalitatea piciorului și unghiul ascuțit.

Proprietățile unui triunghi cu unghi drept

Înălțimea care este coborâtă din unghiul drept împarte figura în două părți egale.

Laturile unui triunghi dreptunghic și mediana acestuia pot fi ușor recunoscute după regula: mediana care este plasată pe ipotenuză este egală cu jumătate din aceasta. poate fi găsită atât prin formula lui Heron cât și prin afirmația că este egală cu jumătate din produsul picioarelor.

Într-un triunghi dreptunghic se aplică proprietățile unghiurilor de 30°, 45° și 60°.

• Cu un unghi de 30°, trebuie amintit că piciorul opus va fi egal cu 1/2 din latura cea mai mare.
• Dacă unghiul este de 45°, atunci și al doilea unghi ascuțit este de 45°. Acest lucru sugerează că triunghiul este isoscel și picioarele sale sunt aceleași.
• Proprietatea unui unghi de 60° este că al treilea unghi are o măsură de grad de 30°.

Zona poate fi descoperită cu ușurință folosind una dintre cele trei formule:

1. prin înălțimea și latura pe care coboară;
2. după formula lui Heron;
3. pe laturi si unghiul dintre ele.

Laturile unui triunghi dreptunghic, sau mai degrabă catetele, converg cu două altitudini. Pentru a găsi al treilea, este necesar să se ia în considerare triunghiul rezultat și apoi, folosind teorema lui Pitagora, să se calculeze lungimea necesară. Pe lângă această formulă, există și o relație între dublul ariei și lungimea ipotenuzei. Cea mai comună expresie în rândul studenților este prima, deoarece necesită mai puține calcule.

Teoreme aplicabile triunghiului dreptunghic

Geometria triunghiului dreptunghic implică utilizarea unor teoreme precum:

După ce studiază un subiect despre triunghiuri dreptunghiulare, elevii uită adesea toate informațiile despre ele. Inclusiv cum să găsiți ipotenuza, ca să nu mai vorbim despre ce este.

Și degeaba. Pentru că în viitor diagonala dreptunghiului se dovedește a fi chiar această ipotenuză și trebuie găsită. Sau diametrul unui cerc coincide cu cea mai mare latură a unui triunghi, unul dintre unghiurile căruia este drept. Și este imposibil să-l găsești fără această cunoaștere.

Există mai multe opțiuni pentru găsirea ipotenuzei unui triunghi. Alegerea metodei depinde de setul de date inițial din problema cantităților.

Metoda numărul 1: sunt date ambele părți

Aceasta este cea mai memorabilă metodă deoarece folosește teorema lui Pitagora. Doar uneori elevii uită că această formulă este folosită pentru a găsi pătratul ipotenuzei. Aceasta înseamnă că pentru a găsi latura în sine, va trebui să luați rădăcina pătrată. Prin urmare, formula pentru ipotenuză, care este de obicei notă cu litera „c”, va arăta astfel:

c = √ (a 2 + b 2), unde literele „a” și „b” reprezintă ambele catete ale unui triunghi dreptunghic.

Metoda numărul 2: se cunosc piciorul și unghiul adiacent acestuia

Pentru a afla cum să găsiți ipotenuza, va trebui să vă amintiți funcțiile trigonometrice. Și anume cosinus. Pentru comoditate, vom presupune că piciorul „a” și unghiul α adiacent acestuia sunt date.

Acum trebuie să ne amintim că cosinusul unghiului unui triunghi dreptunghic este egal cu raportul celor două laturi. Numătorul va conține valoarea catetei, iar numitorul va conține ipotenuza. Rezultă din aceasta că acesta din urmă poate fi calculat folosind formula:

c = a / cos α.

Metoda numărul 3: dat un picior și un unghi care se află opus

Pentru a nu ne confunda în formule, să introducem denumirea pentru acest unghi - β și să lăsăm latura aceeași „a”. În acest caz, veți avea nevoie de o altă funcție trigonometrică - sinus.

Ca și în exemplul anterior, sinusul este egal cu raportul catetei la ipotenuză. Formula pentru această metodă arată astfel:

c = a / sin β.

Pentru a nu vă încurca în funcțiile trigonometrice, vă puteți aminti un mnemonic simplu: dacă problema tratează pr O unghi opus, atunci trebuie să-l utilizați cu Și bine, dacă - oh pr Și culcat, apoi să O sinusurilor. Ar trebui să fiți atenți la primele vocale din cuvintele cheie. Ei formează perechi o-i sau și despre.

Metoda numărul 4: de-a lungul razei cercului circumscris

Acum, pentru a afla cum să găsiți ipotenuza, va trebui să vă amintiți proprietatea cercului care este circumscris în jurul unui triunghi dreptunghic. Se citește după cum urmează. Centrul cercului coincide cu mijlocul ipotenuzei. Altfel spus, cea mai lungă latură a unui triunghi dreptunghic este egală cu diagonala cercului. Adică dublul razei. Formula pentru această problemă va arăta astfel:

c = 2 * r, unde litera r indică raza cunoscută.

Asta este tot moduri posibile Cum se află ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Pentru fiecare sarcină specifică, trebuie să utilizați metoda care este cea mai potrivită pentru setul de date.

Exemplu de sarcină nr. 1

Condiție: într-un triunghi dreptunghic, medianele sunt trase de ambele părți. Lungimea celui desenat pe latura mai mare este √52. Cealaltă mediană are lungimea de √73. Trebuie să calculați ipotenuza.

Deoarece medianele sunt desenate într-un triunghi, ele împart catetele în două segmente egale. Pentru comoditatea raționamentului și a căutării pentru a găsi ipotenuza, trebuie să introduceți mai multe notații. Lăsați ambele jumătăți ale piciorului mai mare să fie desemnate cu litera „x”, iar cealaltă cu „y”.

Acum trebuie să luăm în considerare două triunghiuri dreptunghiulare ale căror ipotenuze sunt mediane cunoscute. Pentru ei trebuie să scrieți de două ori formula teoremei lui Pitagora:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Aceste două ecuații formează un sistem cu două necunoscute. După ce le-am rezolvat, va fi ușor să găsiți catetele triunghiului original și din ele ipotenuza acestuia.

Mai întâi trebuie să ridici totul la a doua putere. Se dovedește:

4y 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

Din a doua ecuație este clar că y 2 = 73 - 4x 2. Această expresie trebuie înlocuită în prima și calculată „x”:

4(73 - 4x 2) + x 2 = 52.

După conversie:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 sau 15x 2 = 240.

Din ultima expresie x = √16 = 4.

Acum puteți calcula „y”:

y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.

Conform condițiilor, se dovedește că catetele triunghiului inițial sunt egale cu 6 și 8. Aceasta înseamnă că puteți utiliza formula din prima metodă și puteți găsi ipotenuza:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Răspuns: ipotenuza este egală cu 10.

Exemplu de sarcină nr. 2

Condiție: calculați diagonala desenată într-un dreptunghi cu latura mai scurtă egală cu 41. Dacă se știe că împarte unghiul în cele care sunt legate ca 2 la 1.

În această problemă, diagonala unui dreptunghi este cea mai lungă latură dintr-un triunghi de 90º. Deci totul se reduce la modul de a găsi ipotenuza.

Problema este legata de unghiuri. Aceasta înseamnă că va trebui să utilizați una dintre formulele care conține funcții trigonometrice. Mai întâi trebuie să determinați dimensiunea unuia dintre unghiurile acute.

Fie ca cel mai mic dintre unghiurile discutate în condiție să fie desemnat α. Atunci unghiul drept care este împărțit la diagonală va fi egal cu 3α. Notația matematică pentru aceasta arată astfel:

Din această ecuație este ușor de determinat α. Va fi egal cu 30º. Mai mult, se va afla opus laturii mai mici a dreptunghiului. Prin urmare, veți avea nevoie de formula descrisă în metoda nr. 3.

Ipotenuza este egală cu raportul catetei la sinusul unghiului opus, adică:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Răspuns: ipotenuza este 82.