Ecuații. Pregătirea pentru OGE. Proiect educațional „ecuații în teme OGE”

Toylonov Argymai și Toylonov Erkei

Educația matematică primită într-o școală cuprinzătoare este o componentă esențială a educației generale și a culturii generale a omului modern. Aproape tot ceea ce înconjoară omul modern este într-un fel legat de matematică. Și cele mai recente realizări în fizică, tehnologie și tehnologia de informație nu lăsați nicio îndoială că în viitor starea de lucruri va rămâne aceeași. Prin urmare, rezolvarea multor probleme practice se rezumă la rezolvare diverse tipuri ecuații pe care trebuie să înveți să le rezolvi.

Și din 2013, certificarea în matematică la sfârșitul școlii de bază se realizează sub forma OGE. La fel ca și examenul de stat unificat, examenul de stat unificat este conceput pentru a realiza certificarea nu numai în algebră, ci și în întregul curs de matematică al școlii de bază.

Cea mai mare parte a sarcinilor, într-un fel sau altul, se rezumă la elaborarea ecuațiilor și a soluțiilor acestora. Pentru a trece la studiul acestui subiect, a trebuit să răspundem la întrebările: „Ce tipuri de ecuații se găsesc în sarcinile OGE? ” și „Ce modalități există pentru a rezolva aceste ecuații?”

Astfel, este nevoie de a studia toate tipurile de ecuații care se găsesc în sarcinile OGE. Toate cele de mai sus determină

Scop Lucrarea este de a completa toate tipurile de ecuații găsite în sarcinile OGE după tip și de a analiza principalele metode de rezolvare a acestor ecuații.

Pentru a atinge acest obiectiv, am stabilit următoarele sarcini:

1) Explorați principalele resurse pentru pregătirea pentru examenele de stat principale.

2) Completați toate ecuațiile după tip.

3) Analizați metode de rezolvare a acestor ecuații.

4) Alcătuiește o colecție cu toate tipurile de ecuații și metode de rezolvare a acestora.

Obiectul de studiu: ecuații

Subiectul cercetării: ecuații în sarcinile OGE.

Descărcați:

Previzualizare:

Instituție de învățământ bugetar municipal

„Școala secundară Chibitskaya”

PROIECT DE FORMARE:

„ECUAȚII ÎN SARCINI OGE”

Toylonov Erkey

elevi de clasa a VIII-a

îndrumător: Nadejda Vladimirovna Toilonova, profesor de matematică.

Termen de implementare a proiectului:

de la 13.12.2017 la 13.02. 2018

INTRODUCERE

Educația matematică primită într-o școală cuprinzătoare este o componentă esențială a educației generale și a culturii generale a omului modern. Aproape tot ceea ce înconjoară omul modern este într-un fel legat de matematică. Iar progresele recente în fizică, inginerie și tehnologia informației nu lasă nicio îndoială că în viitor starea de lucruri va rămâne aceeași. Prin urmare, rezolvarea multor probleme practice se rezumă la rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații pe care trebuie să înveți cum să le rezolvi.

Și din 2013, certificarea în matematică la sfârșitul școlii de bază se realizează sub forma OGE. La fel ca și examenul de stat unificat, examenul de stat unificat este conceput pentru a realiza certificarea nu numai în algebră, ci și în întregul curs de matematică al școlii de bază.

Cea mai mare parte a sarcinilor, într-un fel sau altul, se rezumă la elaborarea ecuațiilor și a soluțiilor acestora. Pentru a trece la studiul acestui subiect, a trebuit să răspundem la întrebările: „Ce tipuri de ecuații se găsesc în sarcinile OGE? ” și „Ce modalități există pentru a rezolva aceste ecuații?”

Astfel, este nevoie de a studia toate tipurile de ecuații care se găsesc în sarcinile OGE. Toate cele de mai sus determinărelevanţa problemei muncii prestate.

Scop Lucrarea este de a completa toate tipurile de ecuații găsite în sarcinile OGE după tip și de a analiza principalele metode de rezolvare a acestor ecuații.

Pentru a atinge acest obiectiv, am stabilit următoarele sarcini:

1) Explorați principalele resurse pentru pregătirea pentru examenele de stat principale.

2) Completați toate ecuațiile după tip.

3) Analizați metode de rezolvare a acestor ecuații.

4) Alcătuiește o colecție cu toate tipurile de ecuații și metode de rezolvare a acestora.

Obiectul de studiu: ecuații

Subiectul cercetării:ecuații în sarcinile OGE.

Planul de lucru al proiectului:

1. Formularea temei proiectului.
2. Selectarea materialului din surse oficiale pe o anumită temă.
3. Prelucrarea și sistematizarea informațiilor.
4. Implementarea proiectului.
5. Proiectare proiect.
6. Protecția proiectului.

Problemă : aprofundați-vă înțelegerea ecuațiilor. Arătați principalele metode de rezolvare a ecuațiilor prezentate în sarcinile OGE din prima și a doua parte.

Această lucrare este o încercare de generalizare și sistematizare a materialului studiat și de a învăța altele noi. Proiectul include: ecuații liniare cu transferul de termeni dintr-o parte a ecuației în alta și folosind proprietățile ecuațiilor, precum și problemele rezolvate prin ecuație, toate tipurile de ecuații pătratice și metode de rezolvare a ecuațiilor raționale.

Matematica... dezvăluie ordinea, simetria și certitudinea,

iar acestea sunt cele mai importante tipuri de frumusețe.

Aristotel.

Context istoric

În acele vremuri îndepărtate, când înțelepții au început să se gândească la egalități care conțineau cantități necunoscute, probabil că nu existau monede sau portofele. Au existat însă grămezi, precum și oale și coșuri, care erau perfecte pentru rolul cache-urilor de depozitare care puteau ține un număr necunoscut de articole. „Căutăm o grămadă care, împreună cu două treimi, jumătate și o șapte, să facă 37...”, a învățat scribul egiptean Ahmes în mileniul II î.Hr. În vechile probleme de matematică din Mesopotamia, India, China, Grecia, cantitățile necunoscute exprimau numărul de păuni din grădină, numărul de tauri din turmă și totalitatea lucrurilor luate în considerare la împărțirea proprietății. Cărturari, funcționari și inițiați bine pregătiți în știința conturilor cunoștințe secrete Preoții au făcut față cu succes unor astfel de sarcini.

Surse care au ajuns la noi indică faptul că oamenii de știință antici dețineau unele tehnici generale rezolvarea problemelor cu cantități necunoscute. Cu toate acestea, nici o tabletă de papirus sau lut nu conține o descriere a acestor tehnici. Autorii au furnizat doar ocazional calculele lor numerice cu comentarii suple, cum ar fi: „Uite!”, „Fă asta!”, „Ai găsit-o pe cea potrivită”. În acest sens, excepția este „Aritmetica” a matematicianului grec Diophantus din Alexandria (secolul al III-lea) - o colecție de probleme pentru alcătuirea ecuațiilor cu o prezentare sistematică a soluțiilor acestora.

Cu toate acestea, primul manual pentru rezolvarea problemelor care a devenit cunoscut pe scară largă a fost lucrarea savantului de la Bagdad din secolul al IX-lea. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Cuvântul „al-jabr” din denumirea arabă a acestui tratat - „Kitab al-jaber wal-mukabala” („Cartea restaurării și a opoziției”) - s-a transformat de-a lungul timpului în binecunoscutul cuvânt „algebră”, iar lucrarea al-Khwarizmi însuși a servit punctul de plecare în dezvoltarea științei rezolvării ecuațiilor.

Deci care este ecuația?

Există o ecuație a drepturilor, o ecuație a timpului (traducerea timpului solar adevărat în timp solar mediu, acceptată în societate și în știință; astr.), etc.

În matematică este o egalitate matematică care conține una sau mai multe mărimi necunoscute și care își păstrează valabilitatea numai pentru anumite valori ale acestor mărimi necunoscute.

În ecuațiile cu o variabilă, necunoscutul este de obicei notat cu litera " X". Valoarea lui "x" „, îndeplinind aceste condiții, se numește rădăcina ecuației.

Există ecuații diferite specie:

ax + b = 0. - Ecuație liniară.
ax 2 + bx + c = 0. - Ecuație cuadratică.
ax 4 + bx 2 + c = 0. - Ecuație biquadratică.

– Ecuație rațională.

– Ecuație irațională.
Există așa cevamodalități de rezolvare a ecuațiilor Cum: algebric, aritmetic și geometric. Să luăm în considerare metoda algebrică.

Rezolvați ecuația- aceasta este să găsim astfel de valori ale lui X care, atunci când sunt substituite în expresia originală, ne vor oferi egalitatea corectă sau vor demonstra că nu există soluții. Rezolvarea ecuațiilor, deși dificilă, este incitantă. La urma urmei, este cu adevărat surprinzător când un întreg flux de numere depinde de un număr necunoscut.

În ecuații pentru a găsi necunoscutul, trebuie să transformați și să simplificați expresia originală. Și astfel încât la schimbare aspect esența expresiei nu s-a schimbat. Astfel de transformări se numesc identice sau echivalente.

Capitolul 1 Rezolvarea ecuațiilor

1.1 Rezolvarea ecuațiilor liniare.

Acum ne vom uita la soluțiile ecuațiilor liniare. Amintiți-vă că o ecuație de formăse numește ecuație liniară sau ecuație de gradul întâi deoarece cu variabila " X » gradul superior este de gradul I.

Soluția ecuației liniare este foarte simplă:

Exemplul 1: Rezolvați ecuația 3 x +3=5 x

O ecuație liniară este rezolvată prin transferarea termenilor care conțin necunoscute în partea stângă a semnului egal, coeficienți liberi în partea dreaptă a semnului egal:

3 x – 5 x = – 3

2 x=-3

x =1,5

Se numește valoarea variabilei care transformă ecuația într-o egalitate adevărată rădăcina ecuației.

Dupa verificare obtinem:

Deci 1,5 este rădăcina ecuației.

Răspuns: 1.5.

Rezolvarea ecuațiilor prin metoda transferului de termeni dintr-o parte a ecuației în alta, în care semnul termenilor se schimbă în opus și este folosit proprietăți ecuații - ambele părți ale unei ecuații pot fi înmulțite (împărțite) cu același număr sau expresie diferită de zero, pot fi luate în considerare la rezolvarea următoarelor ecuații.

Exemplul 2. Rezolvați ecuațiile:

a) 6 x +1=− 4 x ; b) 8+7 x =9 x +4; c) 4(x −8)=− 5.

Soluţie.

a) Utilizând metoda de transfer rezolvăm

6 x + 4 x = ─1;

10 x=─ 1;

x=─ 1:10;

x=─ 0,1.

Examinare:

Răspuns: –0,1

b) Similar cu exemplul anterior, rezolvăm folosind metoda de transfer:

Raspuns: 2.

c) În această ecuație, este necesar să se deschidă parantezele, aplicând proprietatea distributivă a înmulțirii față de operația de adunare.

Răspuns: 6,75.

1.2 Ecuații pătratice

Ecuația formei numită ecuație pătratică, unde o - coeficientul senior, b – coeficient mediu, с – termen liber.

În funcție de șanse a, b și c – ecuația poate fi completă sau incompletă, dată sau nu.

1.2.1 Ecuații patratice incomplete

Să luăm în considerare modalități de a rezolva ecuații patratice incomplete:

1) Să începem să înțelegem soluția primului tip de ecuații pătratice incomplete pentru c=0 . Ecuații patratice incomplete de formă a x 2 +b x=0 vă permite să decidețimetoda factorizării. În special, metoda de bracketing.

Evident, putem, situat în partea stângă a ecuației, pentru care este suficient să scoatem factorul comun din paranteze x . Acest lucru ne permite să trecem de la ecuația pătratică incompletă inițială la o ecuație echivalentă de forma: x·(a·x+b)=0.

Și această ecuație este echivalentă cu combinația a două ecuații x=0 sau a x+b=0 , dintre care ultimul este liniar și are rădăcină x=− .

a x 2 +b x=0 are două rădăcini

x=0 și x=− .

2) Acum să ne uităm la modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete, în care coeficientul b egal cu zero, și c≠0 , adică ecuații de formă a x 2 +c=0 . Știm că mutarea unui termen dintr-o parte a ecuației în cealaltă cu semnul opus, precum și împărțirea ambelor părți ale ecuației la un număr diferit de zero, dă o ecuație echivalentă. Prin urmare, putem efectua următoarele transformări echivalente ale ecuației pătratice incomplete a x 2 +c=0 :

• transfer de la în partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 =−c ,
• și împărțiți ambele părți la a, primim.

Ecuația rezultată ne permite să tragem concluzii despre rădăcinile sale.

Dacă numărul – este negativ, atunci ecuația nu are rădăcini. Această afirmație rezultă din faptul că pătratul oricărui număr este un număr nenegativ.

Dacă este un număr pozitiv, atunci situația cu rădăcinile ecuației este diferită. În acest caz, trebuie să vă amintiți că există o rădăcină a ecuației, este un număr. Rădăcina ecuației se calculează conform următoarei scheme:

Se știe că înlocuirea în ecuație în loc de x rădăcinile sale transformă ecuația într-o egalitate adevărată.

Să rezumam informațiile din acest paragraf. Ecuație pătratică incompletă a x 2 +c=0 este echivalentă cu ecuația, care

3) Rezolvari de ecuatii patratice incomplete in care coeficientii b și c sunt egale cu zero, adică cu ecuații de forma a x 2 =0. Ecuația a x 2 =0 urmează x 2 =0 , care se obține din original prin împărțirea ambelor părți la un număr diferit de zero o . Evident, rădăcina ecuației x 2 =0 este zero, deoarece 0 2 =0 . Această ecuație nu are alte rădăcini.

Deci, ecuația pătratică incompletă a x 2 =0 are o singură rădăcină x=0.

Exemplul 3. Rezolvați ecuațiile: a) x 2 =5x, dacă ecuația are mai multe rădăcini, atunci indicați-o pe cea mai mică dintre ele în răspunsul dvs;

b), dacă ecuația are mai multe rădăcini, atunci indicați cea mai mare dintre ele în răspunsul dvs;

c) x 2 −9=0, dacă ecuația are mai multe rădăcini, atunci indicați-l pe cea mai mică dintre ele în răspunsul dvs.

Soluţie.

Am obținut o ecuație pătratică incompletă pentru care nu există termen liber. Rezolvăm folosind metoda bracketing.

U Ecuația se poate face cu două rădăcini, dintre care cea mai mică este 0.

Raspuns: 0.

b) . Similar cu exemplul anterior, folosim metoda bracketing

Răspunsul trebuie să indice cea mai mare dintre rădăcini. Acesta este numărul 2.

Raspuns: 2.

V) . Această ecuație este o ecuație pătratică incompletă care nu are un coeficient mediu.

Cea mai mică dintre aceste rădăcini este numărul – 3.

Răspuns: -3.

1.2.2 Ecuații patratice complete.

1. Formula de bază discriminantă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Există o formulă de rădăcină.

Să-l notăm formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice pas cu pas:

1) D=b 2 −4 a c - așa-zis.

a) dacă D

b) dacă D>0, atunci ecuațianu are o singură rădăcină:

c) dacă D nu are două rădăcini:

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

În practică, atunci când rezolvați ecuații pătratice, puteți utiliza imediat formula rădăcinii pentru a calcula valorile acestora. Dar acest lucru este mai mult legat de găsirea rădăcinilor complexe.

Cu toate acestea, într-un curs de algebră școlară vorbim de obicei nu despre complex, ci despre rădăcinile reale ale unei ecuații pătratice. În acest caz, este recomandabil, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, să găsiți mai întâi discriminantul, să vă asigurați că acesta este nenegativ (în caz contrar, putem concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), și abia apoi calculați valorile rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus ne permite să scriemalgoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice. Pentru a rezolva o ecuație pătratică a x 2 +b x+c=0 , aveți nevoie de:

• conform formulei discriminante D=b 2 −4 a c calculați valoarea acestuia;
• concluzionați că o ecuație pătratică nu are rădăcini reale dacă discriminantul este negativ;
• calculați singura rădăcină a ecuației folosind formula dacă D=0;
• găsiți două rădăcini reale ale unei ecuații pătratice folosind formula rădăcinii dacă discriminantul este pozitiv.

2. Discriminant, a doua formulă pentru rădăcinile unei ecuații pătratice (cu un al doilea coeficient par).

Pentru a rezolva ecuații pătratice de forma, cu un coeficient uniform b=2k exista o alta formula.

Să înregistrăm unul nou formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice la:

1) D’=k 2 −a c - așa-zisdiscriminant al unei ecuații pătratice.

a) dacă D’ nu are rădăcini reale;

b) dacă D’>0, atunci ecuațianu are o singură rădăcină:

c) dacă D’ nu are două rădăcini:

Exemplul 4. Rezolvați ecuația 2x 2 −3x+1=0.. Dacă ecuația are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

Soluţie. În primul caz, avem următorii coeficienți ai ecuației pătratice: a=2 , b=-3 și c=1 D=b 2 −4·a·c=(-3) 2 −4·2·1=9-8=1 . Din moment ce 1>0

Avem Avem două rădăcini, dintre care cea mai mare este numărul 1.

Raspuns: 1.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația x 2 −21=4x.

Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

Soluţie. Prin analogie cu exemplul anterior, mutăm 4h în partea stângă a semnului egal și obținem:

În acest caz avem următorii coeficienți ai ecuației pătratice: a=1 , k=-2 și c=−21 . Conform algoritmului, mai întâi trebuie să calculați discriminantul D’=k 2 −a·c=(-2) 2 −1·(−21)=4+21=25 . Numărul 25>0 , adică discriminantul este mai mare decât zero, atunci ecuația pătratică are două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcină

Raspuns: 7.

1.2.3 Metode particulare de rezolvare a ecuaţiilor pătratice.

1) Relația dintre rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. teorema lui Vieta.

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice exprimă rădăcinile ecuației prin coeficienții săi. Pe baza formulei rădăcinii, puteți obține alte relații între rădăcini și coeficienți.

Cea mai cunoscută și aplicabilă formulă se numește Teorema lui Vieta.

Teorema: Fie - rădăcinile ecuației pătratice date. Atunci produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber, iar suma rădăcinilor este egală cu valoarea opusă a celui de-al doilea coeficient:

Folosind formulele deja scrise, puteți obține o serie de alte conexiuni între rădăcinile și coeficienții ecuației pătratice. De exemplu, puteți exprima suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice în termeni de coeficienți.

Exemplul 6. a) Rezolvați ecuația x 2

b) Rezolvați ecuația x 2

c) Rezolvați ecuația x 2

Soluţie.

a) Rezolvați ecuația x 2 −6x+5=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

Alegerea celei mai mici dintre rădăcini

Raspuns: 1

b) Rezolvați ecuația x 2 +7x+10=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

Aplicând teorema lui Vieta, scriem formule pentru rădăcini

Raționând logic, concluzionăm că. Alegerea celei mai mari dintre rădăcini

Răspuns: ─2.

c) Rezolvați ecuația x 2 ─5x─14=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

Aplicând teorema lui Vieta, scriem formule pentru rădăcini

Raționând logic, concluzionăm că. Alegerea celei mai mici dintre rădăcini

Răspuns: ─2.

1.3 Ecuații raționale

Dacă vi se oferă o ecuație cu fracții de formăcu o variabilă în numărător sau numitor, atunci o astfel de expresie se numește ecuație rațională. O ecuație rațională este orice ecuație care include cel puțin o expresie rațională. Ecuațiile raționale se rezolvă în același mod ca orice ecuație: se efectuează aceleași operații pe ambele părți ale ecuației până când variabila este izolată pe o parte a ecuației. Cu toate acestea, există 2 metode de rezolvare a ecuațiilor raționale.

1) Înmulțirea încrucișată.Dacă este necesar, rescrieți ecuația dată astfel încât să existe câte o fracție (o expresie rațională) pe fiecare parte; numai atunci poți folosi metoda înmulțirii încrucișate.

Înmulțiți numărătorul fracției din stânga cu numitorul fracției din dreapta. Repetați acest lucru cu numărătorul fracției din dreapta și numitorul fracției din stânga.

• Înmulțirea încrucișată se bazează pe principii algebrice de bază. În expresiile raționale și alte fracții, puteți scăpa de numărător înmulțind în mod corespunzător numărătorii și numitorii celor două fracții.
• Echivalează expresiile rezultate și simplifică-le.
• Rezolvați ecuația rezultată, adică găsiți „x”. Dacă „x” este de ambele părți ale ecuației, izolați-l pe o parte a ecuației.

2) Cel mai mic numitor comun (LCD) este folosit pentru a simplifica această ecuație.Această metodă este utilizată atunci când nu puteți scrie o ecuație dată cu o expresie rațională de fiecare parte a ecuației (și folosiți metoda de înmulțire încrucișată). Această metodă este folosită atunci când vi se oferă o ecuație rațională cu 3 sau mai multe fracții (în cazul a două fracții, este mai bine să utilizați înmulțirea încrucișată).

• Găsiți cel mai mic numitor comun al fracțiilor (sau cel mai mic multiplu comun).NOZ este cel mai mic număr care este divizibil egal cu fiecare numitor.
• Înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul fiecărei fracții cu un număr egal cu rezultatul împărțirii NOC la numitorul corespunzător al fiecărei fracții.
• Găsiți x. Acum că ați redus fracțiile la un numitor comun, puteți scăpa de numitor. Pentru a face acest lucru, înmulțiți fiecare parte a ecuației cu numitorul comun. Apoi rezolvați ecuația rezultată, adică găsiți „x”. Pentru a face acest lucru, izolați variabila pe o parte a ecuației.

Exemplul 7. Rezolvați ecuațiile: a); b) c) .

Soluţie.

O) . Folosim metoda înmulțirii încrucișate.

Deschidem parantezele și dăm termeni similari.

a obținut o ecuație liniară cu o necunoscută

Răspuns: ─10.

b) , la fel ca exemplul anterior, aplicăm metoda înmulțirii încrucișate.

Răspuns: ─1.9.

V) , folosim metoda celui mai mic numitor comun (LCD).

În acest exemplu, numitorul comun ar fi 12.

Raspuns: 5.

Capitolul 2 Ecuații complexe

Ecuațiile aparținând categoriei de ecuații complexe pot combina diverse metode și tehnici de rezolvare. Dar, într-un fel sau altul, toate ecuațiile prin metoda raționamentului logic și acțiunilor echivalente conduc la ecuații care au fost studiate anterior.

Exemplul 7. Rezolvați ecuația ( x +3) 2 =(x +8) 2 .

Soluţie. Folosind formulele de înmulțire abreviate, vom deschide parantezele:

Transferăm toți termenii dincolo de semnul egal și aducem pe alții similari,

Răspuns: 5.5.

Exemplul 8. Rezolvați ecuațiile: a)(− 5 x +3)(− x +6)=0, b) (x +2)(− x +6)=0.

Soluţie.

a)(− 5 x +3)(− x +6)=0; Să deschidem parantezele și să prezentăm termeni similari

am obținut o ecuație pătratică completă, pe care o vom rezolva prin prima formulă discriminantă

ecuația are două rădăcini

Răspuns: 0,6 și 6.

b) (x +2)(− x +6)=0, pentru această ecuație vom face raționament logic (produsul este egal cu zero când unul dintre factori este egal cu zero). Mijloace

Răspuns: ─2 și 6.

Exemplul 9. Rezolvați ecuațiile:, b).

Soluţie. Să găsim cel mai mic numitor comun

Să scriem în ordinea descrescătoare a gradelor variabilei

; a obţinut o ecuaţie pătratică completă cu un al doilea coeficient par

Ecuația are două rădăcini reale

Raspuns: .

b) . Raționamentul este similar cu a). Găsirea unui NPD

Deschidem parantezele și prezentăm termeni similari

rezolvați ecuația pătratică completă prin formula generală

Raspuns: .

Exemplul 10. Rezolvați ecuațiile:

Soluţie.

O) , Observăm că în partea stângă, expresia dintre paranteze reprezintă formula de înmulțire prescurtată, mai precis pătratul sumei a două expresii. Să-l transformăm

; mutați termenii acestei ecuații într-o parte

hai să-l scoatem din paranteze

Produsul este zero atunci când unul dintre factori este zero. Mijloace,

Răspuns: ─2, ─1 și 1.

b) Raționăm în același mod ca de exemplu a)

, prin teorema lui Vieta

Răspuns:

Exemplul 11. Rezolvați ecuațiile a)

Soluţie.

O) ; [pe partea stângă și dreaptă ale ecuației puteți folosi metoda de a scoate paranteze, iar în partea stângă vom scoate, iar în partea dreaptă punem numărul 16.]

[să mutam totul într-o parte și să aplicăm din nou metoda de bracketing. Vom elimina factorul comun]

[produsul este zero când unul dintre factori este zero.]

Răspuns:

b) . [Această ecuație este similară cu ecuația a). Prin urmare, în acest caz, aplicăm metoda de grupare]

Răspuns:

Exemplul 12. Rezolvați ecuația=0.

Soluţie.

0 [ecuație biquadratică. Rezolvată prin schimbarea metodei variabilei].

0; [Aplicând teorema lui Vieta obținem rădăcinile]

. [întoarceți la variabilele anterioare]

Răspuns:

Exemplul 13. Rezolvați ecuația

Soluţie. [ecuație biquadratică, scăpăm de puterile pare folosind semne de modul.]

[am primit două ecuații pătratice, pe care le rezolvăm folosind formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice]

nicio ecuație a rădăcinilor reale nu are două rădăcini

Răspuns:

Exemplul 14. Rezolvați ecuația

Soluţie.

ODZ:

[transferă toți termenii ecuației în partea stângă și aduceți termeni similari]

[am obținut ecuația pătratică redusă, care se rezolvă ușor folosind teorema lui Vieta]

Numărul – 1 nu satisface ODZ a ecuației date, deci nu poate fi rădăcina acestei ecuații. Aceasta înseamnă că doar numărul 7 este rădăcina.

Raspuns: 7.

Exemplul 15. Rezolvați ecuația

Soluţie.

Suma pătratelor a două expresii poate fi egală cu zero numai dacă expresiile sunt egale cu zero în același timp. Anume

[Rezolvăm fiecare ecuație separat]

Prin teorema lui Vieta

Coincidența rădăcinilor egală cu –5 va fi rădăcina ecuației.

Răspuns: - 5.

CONCLUZIE

Rezumând rezultatele muncii depuse, putem concluziona: ecuațiile joacă un rol imens în dezvoltarea matematicii. Am sistematizat cunoștințele acumulate și am rezumat materialul acoperit. Aceste cunoștințe ne pot pregăti pentru examenele viitoare.

Munca noastră face posibil să aruncăm o privire diferită asupra sarcinilor pe care ni le pune matematica.

• la finalul proiectului, am sistematizat și generalizat metodele de rezolvare a ecuațiilor studiate anterior;
• sa familiarizat cu noi moduri de rezolvare a ecuatiilor si proprietati ale ecuatiilor;

• Am analizat toate tipurile de ecuații care sunt în sarcinile OGE atât în ​​prima parte, cât și în a doua parte.
• Am creat o colecție metodologică „Ecuații în sarcini OGE”.

Credem că ne-am atins scopul stabilit pentru noi - să luăm în considerare toate tipurile de ecuații în sarcinile examenului principal de stat la matematică.

Lista literaturii folosite:

1. B.V. Gnedenko „Matematica în lumea modernă" „Iluminismul” de la Moscova 1980

2. Da.I. Perelman „Algebră distractivă”. Moscova „Știință” 1978

6. http://tutorial.math.lamar.edu

7. http://www.regentsprep.org

8. http://www.fipi.ru

Anexa 1

Ecuații liniare

1. Găsiți rădăcina ecuației

2. Găsiți rădăcina ecuației

3. Găsiți rădăcina ecuației

Anexa 2

Ecuații patratice incomplete

1. Rezolvați ecuația x 2 =5x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

2. Rezolvați ecuația 2x 2 =8x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

3. Rezolvați ecuația 3x 2 =9x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

4. Rezolvați ecuația 4x 2 =20x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

5. Rezolvați ecuația 5x 2 =35x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

6. Rezolvați ecuația 6x 2 =36x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

7. Rezolvați ecuația 7x 2 =42x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

8. Rezolvați ecuația 8x 2 =72x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

9. Rezolvați ecuația 9x 2 =54x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

10. Rezolvați ecuația 10x2 =80x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

11. Rezolvați ecuația 5x2 −10x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

12. Rezolvați ecuația 3x2 −9x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

13. Rezolvați ecuația 4x2 −16x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

14. Rezolvați ecuația 5x2 +15x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

15. Rezolvați ecuația 3x2 +18x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

16. Rezolvați ecuația 6x2 +24x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

17. Rezolvați ecuația 4x2 −20x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

18. Rezolvați ecuația 5x2 +20x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

19. Rezolvați ecuația 7x2 −14x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

20. Rezolvați ecuația 3x2 +12x=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

21. Rezolvați ecuația x2 −9=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

22. Rezolvați ecuația x2 −121=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

23. Rezolvați ecuația x2 −16=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

24. Rezolvați ecuația x2 −25=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

25. Rezolvați ecuația x2 −49=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

26. Rezolvați ecuația x2 −81=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

27. Rezolvați ecuația x2 −4=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

28. Rezolvați ecuația x2 −64=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

29. Rezolvați ecuația x2 −36=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

30. Rezolvați ecuația x2 −144=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

31. Rezolvați ecuația x2 −9=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

32. Rezolvați ecuația x2 −121=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

33. Rezolvați ecuația x2 −16=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

34. Rezolvați ecuația x2 −25=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

35. Rezolvați ecuația x2 −49=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

36. Rezolvați ecuația x2 −81=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

37. Rezolvați ecuația x2 −4=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

38. Rezolvați ecuația x2 −64=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

39. Rezolvați ecuația x2 −36=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

40. Rezolvați ecuația x2 −144=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

Anexa 3

Completează ecuațiile pătratice

1. Rezolvați ecuația x2 +3x=10. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

2. Rezolvați ecuația x2 +7x=18. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

3. Rezolvați ecuația x2 +2x=15. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

4. Rezolvați ecuația x2 −6x=16. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

5. Rezolvați ecuația x2 −3x=18. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

6. Rezolvați ecuația x2 −18=7x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

7. Rezolvați ecuația x2 +4x=21. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

8. Rezolvați ecuația x2 −21=4x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

9. Rezolvați ecuația x2 −15=2x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

10. Rezolvați ecuația x2 −5x=14. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

11. Rezolvați ecuația x2 +6=5x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

12. Rezolvați ecuația x2 +4=5x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

13. Rezolvați ecuația x2 −x=12. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

14. Rezolvați ecuația x2 +4x=5. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

15. Rezolvați ecuația x2 −7x=8. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

16. Rezolvați ecuația x2 +7=8x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

17. Rezolvați ecuația x2 +18=9x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

18. Rezolvați ecuația x2 +10=7x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

19. Rezolvați ecuația x2 −20=x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

20. Rezolvați ecuația x2 −35=2x. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

21. Rezolvați ecuația 2x2 −3x+1=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

22. Rezolvați ecuația 5x2 +4x−1=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

23. Rezolvați ecuația 2x2 +5x−7=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

24. Rezolvați ecuația 5x2 −12x+7=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

25. Rezolvați ecuația 5x2 −9x+4=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

26. Rezolvați ecuația 8x2 −12x+4=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

27. Rezolvați ecuația 8x2 −10x+2=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

28. Rezolvați ecuația 6x2 −9x+3=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

29. Rezolvați ecuația 5x2 +9x+4=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

30. Rezolvați ecuația 5x2 +8x+3=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

31. Rezolvați ecuația x2 −6x+5=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

32. Rezolvați ecuația x2 −7x+10=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

33. Rezolvați ecuația x2 −9x+18=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

34. Rezolvați ecuația x2 −10x+24=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

35. Rezolvați ecuația x2 −11x+30=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

36. Rezolvați ecuația x2 −8x+12=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

37. Rezolvați ecuația x2 −10x+21=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

38. Rezolvați ecuația x2 −9x+8=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

39. Rezolvați ecuația x2 −11x+18=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

40. Rezolvați ecuația x2 −12x+20=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

Anexa 4.

Ecuații raționale.

1. Găsiți rădăcina ecuației

2. Găsiți rădăcina ecuației

3. Găsiți rădăcina ecuației

4. Găsiți rădăcina ecuației

5. Găsiți rădăcina ecuației

6. Găsiți rădăcina ecuației.

7. Găsiți rădăcina ecuației

8. Găsiți rădăcina ecuației

9. Găsiți rădăcina ecuației.

10. Găsiți rădăcina ecuației

11. Găsiți rădăcina ecuației.

12. Găsiți rădăcina ecuației

13. Aflați rădăcina ecuației

14. Găsiți rădăcina ecuației

15. Găsiți rădăcina ecuației

16. Găsiți rădăcina ecuației

17. Aflați rădăcina ecuației

18. Aflați rădăcina ecuației

19. Găsiți rădăcina ecuației

20. Aflați rădăcina ecuației

21. Aflați rădăcina ecuației

22. Aflați rădăcina ecuației

23. Aflați rădăcina ecuației

Anexa 5

Ecuații complexe.

1. Găsiți rădăcina ecuației (x+3)2 =(x+8)2 .

2. Aflați rădăcina ecuației (x−5)2 =(x+10)2 .

3. Găsiți rădăcina ecuației (x+9)2 =(x+6)2 .

4. Găsiți rădăcina ecuației (x+10)2 =(x−9)2 .

5. Găsiți rădăcina ecuației (x−5)2 =(x−8)2 .

6. Găsiți rădăcina ecuației.

7.Găsiți rădăcina ecuației.

8. Găsiți rădăcina ecuației.

9. Găsiți rădăcina ecuației.

10. Găsiți rădăcina ecuației.

11. Rezolvați ecuația (x+2)(− x+6)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

12. Rezolvați ecuația (x+3)(− x−2)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

13. Rezolvați ecuația (x−11)(− x+9)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

14. Rezolvați ecuația (x−1)(− x−4)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

15. Rezolvați ecuația (x−2)(− x−1)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

16. Rezolvați ecuația (x+20)(− x+10)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

17. Rezolvați ecuația (x−2)(− x−3)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

18. Rezolvați ecuația (x−7)(− x+2)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

19. Rezolvați ecuația (x−5)(− x−10)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

20. Rezolvați ecuația (x+10)(− x−8)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

21. Rezolvați ecuația (− 5x+3)(− x+6)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

22. Rezolvați ecuația (− 2x+1)(− 2x−7)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

23. Rezolvați ecuația (− x−4)(3x+3)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

24. Rezolvați ecuația (x−6)(4x−6)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

25. Rezolvați ecuația (− 5x−3)(2x−1)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

26. Rezolvați ecuația (x−2)(− 2x−3)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

27. Rezolvați ecuația (5x+2)(− x−4)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

28. Rezolvați ecuația (x−6)(− 5x−9)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

29. Rezolvați ecuația (6x−3)(− x+3)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mare ca răspuns.

30. Rezolvați ecuația (5x−2)(− x+3)=0. Dacă o ecuație are mai multe rădăcini, notează rădăcina mai mică ca răspuns.

31. Rezolvați ecuația

32. Rezolvați ecuația

33. Rezolvați ecuația

34. Rezolvați ecuația

35. Rezolvați ecuația

36. Rezolvați ecuația

37. Rezolvați ecuația

38. Rezolvați ecuația

39. Rezolvați ecuația

40 Rezolvați ecuația

41. Rezolvați ecuația x(x2 +2x+1)=2(x+1).

42. Rezolvați ecuația (x−1)(x2 +4x+4)=4(x+2).

43. Rezolvați ecuația x(x2 +6x+9)=4(x+3).

44. Rezolvați ecuația (x−1)(x2 +8x+16)=6(x+4).

45. Rezolvați ecuația x(x2 +2x+1)=6(x+1).

46. ​​​​Rezolvați ecuația (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

47. Rezolvați ecuația (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

48. Rezolvați ecuația x(x2 +4x+4)=3(x+2).

49. Rezolvați ecuația (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

50. Rezolvați ecuația (x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

51. Rezolvați ecuația (x+2)4 −4(x+2)2 −5=0.

52. Rezolvați ecuația (x+1)4 +(x+1)2 −6=0.

53. Rezolvați ecuația (x+3)4 +2(x+3)2 −8=0.

54. Rezolvați ecuația (x−1)4 −2(x−1)2 −3=0.

55. Rezolvați ecuația (x−2)4 −(x−2)2 −6=0.

56. Rezolvați ecuația (x−3)4 −3(x−3)2 −10=0.

57. Rezolvați ecuația (x+4)4 −6(x+4)2 −7=0.
58. Rezolvați ecuația (x−4)4 −4(x−4)2 −21=0.

59. Rezolvați ecuația (x+2)4 +(x+2)2 −12=0.

60. Rezolvați ecuația (x−2)4 +3(x−2)2 −10=0.

61. Rezolvați ecuația x3 +3x2 =16x+48.

62. Rezolvați ecuația x3 +4x2 =4x+16.

63. Rezolvați ecuația x3 +6x2 =4x+24.

64. Rezolvați ecuația x3 +6x2 =9x+54.

65. Rezolvați ecuația x3 +3x2 =4x+12.

66. Rezolvați ecuația x3 +2x2 =9x+18.

67. Rezolvați ecuația x3 +7x2 =4x+28.

68. Rezolvați ecuația x3 +4x2 =9x+36.

69. Rezolvați ecuația x3 +5x2 =4x+20.

70. Rezolvați ecuația x3 +5x2 =9x+45.

71. Rezolvați ecuația x3 +3x2 −x−3=0.

72. Rezolvați ecuația x3 +4x2 −4x−16=0.

73. Rezolvați ecuația x3 +5x2 −x−5=0.

74. Rezolvați ecuația x3 +2x2 −x−2=0.

75. Rezolvați ecuația x3 +3x2 −4x−12=0.

76. Rezolvați ecuația x3 +2x2 −9x−18=0.

77. Rezolvați ecuația x3 +4x2 −x−4=0.

78. Rezolvați ecuația x3 +4x2 −9x−36=0.

79. Rezolvați ecuația x3 +5x2 −4x−20=0.
80. Rezolvați ecuația x3 +5x2 −9x−45=0.

81. Rezolvați ecuația x4 =(x−20)2 .

82. Rezolvați ecuația x4 =(2x−15)2 .

83. Rezolvați ecuația x4 =(3x−10)2 .

84. Rezolvați ecuația x4 =(4x−5)2 .

85. Rezolvați ecuația x4 =(x−12)2 .

86. Rezolvați ecuația x4 =(2x−8)2 .

87. Rezolvați ecuația x4 =(3x−4)2 .

88. Rezolvați ecuația x4 =(x−6)2 .

89. Rezolvați ecuația x4 =(2x−3)2 .

90. Rezolvați ecuația x4 =(x−2)2 .

91. Rezolvați ecuația

92. Rezolvați ecuația

93. Rezolvați ecuația

94. Rezolvați ecuația

95. Rezolvați ecuația

96. Rezolvați ecuația

97. Rezolvați ecuația

98. Rezolvați ecuația

99. Rezolvați ecuația

100. Rezolvați ecuația

101. Rezolvați ecuația.

102. Rezolvați ecuația

103. Rezolvați ecuația

104. Rezolvați ecuația

105. Rezolvați ecuația

106. Rezolvați ecuația

107. Rezolvați ecuația

108. Rezolvați ecuația

109. Rezolvați ecuația

110. Rezolvați ecuația

REZOLVAREA ECUATIILOR

pregătirea pentru OGE

clasa a 9-a

pregătit de profesorul de matematică GBOU scoala nr. 14 din districtul Nevsky din Sankt Petersburg Putrova Marina Nikolaevna

Completați propozițiile:

1). Ecuația este...

2). Rădăcina ecuației este...

3). Rezolvarea unei ecuații înseamnă...

I. Rezolvați ecuațiile oral:

• 1). 6x + 18=0
• 2). 2x + 5=0
• 3). 5x – 3=0
• 4). -3x + 9=0
• 5). -5x + 1=0
• 6). -2х – 10=0
• 7). 6x – 7=5x
• 8). 9x + 6=10x
• 9). 5x - 12=8x

Care dintre următoarele ecuații nu are soluții:

O). 2x – 14 = x + 7

b). 2x - 14 = 2(x – 7)

V). x – 7 = 2x + 14

G). 2x- 14 = 2x + 7?

Care ecuație are infinite de soluții:

O). 4x – 12 = x – 12

b). 4x – 12 = 4x + 12

V). 4(x – 3) = 4x – 12

G). 4(x – 3) = x – 10?

ECUATII DE GEN

kx + b = 0

SE NUMEȘTE LINEARE.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor liniare :

1). mutați termenii care conțin necunoscutul în partea stângă, iar termenii care nu conțin necunoscutul în partea dreaptă (semnul termenului transferat este inversat);

2). aduceți membri similari;

3).împărțiți ambele părți ale ecuației la coeficientul necunoscutului dacă acesta nu este egal cu zero.

Rezolvați ecuații în caiete :

Grupa II: Nr 697 p.63

x-1 +(x+2) = -4(-5-x)-5

Grupa I:

№ 681 pagina 63

6(4x)+3x=3

grupa III: Nr. 767 p. 67

(x + 6) 2 + (x + 3) 2 = 2 x 2

Ecuația formei

Ah 2 + bх + c =0,

unde a≠0, b, c – orice numere reale se numesc pătrat.

Ecuații incomplete:

Ah 2 + bх =0 (c=0),

Ah 2 + c =0 (b=0).

II. Rezolvați verbal ecuații pătratice, indicând dacă sunt complete sau incomplete:

1). 5x 2 + 15x=0

2). -X 2 +2x = 0

3). X 2 -25=0

4). -X 2 +9 =0

5). -X 2 - 16 =0

6). X 2 - 8x + 15=0

7 ) . X 2 + 5x + 6=0

8). X 2 + x - 12 =0

9).(-x-5)(-x+ 6)=0

ÎNTREBĂRI:

1). Ce proprietate a ecuațiilor a fost folosită pentru a rezolva ecuații patratice incomplete?

2). Ce metode de factorizare a unui polinom au fost folosite pentru a rezolva ecuații pătratice incomplete?

3). Care este algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice complete ?

1). Produsul a doi factori este egal cu zero, dacă unul dintre ei este egal cu zero, al doilea nu își pierde sensul: ab = 0 , Dacă a = 0 sau b = 0 .

2). Înlocuind un multiplicator comun și

o 2 -b 2 =(a – b)(a + b) - formula pentru diferența de pătrate.

3). Ecuația pătratică completă ah 2 + bx + c = o.

D=b 2 – 4ac dacă D0, 2 rădăcini;

D = 0, 1 rădăcină;

X 1,2 =

REZOLVA ECUATIILE :

Grupa I: Nr. 802 p. 71 X 2 - 5x- 36 =0

Grupa II: Nr. 810 p. 71 3x 2 - x + 21=5x 2

grupa III: X 4 -5x 2 - 36 =0

III. REZOLVA ECUATIILE :

Grupa I și II: Nr. 860 = 0

grupa III: =0

Cum se numesc astfel de ecuații? Ce proprietate este folosită pentru a le rezolva?

O ecuație rațională este o ecuație de formă

O fracție este egală cu zero dacă numărătorul este zero și numitorul nu este zero. =0, dacă a = 0, b≠0.

Scurtă istorie a matematicii

• Matematicienii au fost capabili să rezolve ecuații patratice și liniare Egiptul antic.

• Omul de știință medieval persan Al-Khorezmi (secolul al IX-lea) a introdus pentru prima dată algebra ca știință independentă despre metodele generale de rezolvare a ecuațiilor liniare și pătratice și a dat o clasificare a acestor ecuații.

• O nouă mare descoperire în matematică este asociată cu numele omului de știință francez Francois Vieta (secolul al XVI-lea). El a fost cel care a introdus literele în algebră. El este responsabil pentru celebra teoremă asupra rădăcinilor ecuațiilor pătratice.

• Și datorăm tradiția desemnării unor cantități necunoscute cu ultimele litere ale alfabetului latin (x, y, z) unui alt matematician francez - Rene Descartes (XVII).

Al-Khwarizmi

Francois Viet

Rene Descartes

Teme pentru acasă

Lucrul cu site-uri web :

- Deschide banca Sarcini OGE (matematică) http://85.142.162.126/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0 ;

- „Voi rezolva OGE” de D. Gushchin https://oge.sdamgia.ru/ ;

- Site-ul lui A. Larin (opțiunea 119) http://alexlarin.net/ .

Tutoriale:

- Manualul Yu.M Kolyagin „Algebra clasa a IX-a”, M., „Iluminismul”, 2014, p. 308-310;

- „3000 de sarcini” sub. editat de I.V. Yashchenko, M., „Examen”, 2017, pp.59-74.

Completați propozițiile: 1). Ecuația este... 2). Rădăcina ecuației este... 3). Rezolvarea unei ecuații înseamnă...

I. Rezolvaţi verbal ecuaţiile: 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 6 x + 18=0 2 x + 5=0 5 x – 3=0 -3 x + 9=0 -5 x + 1=0 -2 x – 10=0 6 x – 7=5 x 9 x + 6 =10 x 5 x - 12=8 x

Care dintre următoarele ecuații nu are soluții: a). 2 x – 14 = x + 7 b). 2 x - 14 = 2(x – 7) c). x – 7 = 2 x + 14 g). 2 x- 14 = 2 x + 7?

Care dintre ecuații are infinite de soluții: a). 4 x – 12 = x – 12 b). 4 x – 12 = 4 x + 12 c). 4(x – 3) = 4 x – 12 g). 4(x – 3) = x – 10?

ECUATIILE DE FORMA kx + b = 0, unde k, b sunt numere date, SUNT NUMITE LINEARE. Algoritm pentru rezolvarea ecuaţiilor liniare: 1). paranteze deschise 2). mutați termenii care conțin necunoscutul în partea stângă, iar termenii care nu conțin necunoscutul în partea dreaptă (semnul termenului transferat este inversat); 3). aduceți membri similari; 4). împărțiți ambele părți ale ecuației la coeficientul necunoscutului dacă acesta nu este egal cu zero.

Rezolvați în caiete Grupa I: Nr. 681 p. 63 6(4 -x)+3 x=3 Grupa III: Nr. 767 p. 67 (x + 3)2 = 2 x 2 ecuații : grupa II: Nr. 697 p. 63 x-1 +(x+2) = -4(-5 -x)-5

O ecuație de forma aх2 + bх + c =0, unde a≠ 0, b, c sunt numere reale, se numește pătratică. Ecuații incomplete: aх2 + bх =0 (c=0), aх2 + c =0 (b=0).

II. Rezolvați verbal ecuații pătratice, indicând dacă sunt complete sau incomplete: 1). x2 + 15 x=0 2). -x2 +2 x = 0 3). x2 -25=0 4). -x2 +9 =0 5). -x2 - 16 =0 6). x2 - 8 x + 15=0 7). x2 + 5 x + 6=0 8). x2 + x - 12 =0 9). (-x-5)(-x+ 6)=0 10). x2 -4 x +4 =0

ÎNTREBĂRI: 1). Ce proprietate a ecuațiilor a fost folosită pentru a rezolva ecuații patratice incomplete? 2). Ce metode de factorizare a unui polinom au fost folosite pentru a rezolva ecuații pătratice incomplete? 3). Care este algoritmul pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice complete?

1). Produsul a doi factori este egal cu zero, dacă unul dintre ei este egal cu zero, al doilea nu își pierde sensul: ab = 0 dacă a = 0 sau b = 0. 2). Înlocuirea unui factor comun și a 2 - b 2 =(a – b)(a + b) este formula pentru diferența de pătrate. 3). Ecuația pătratică completă ax2 + bx + c = o. D=b 2 – 4 ac, dacă D>0, 2 rădăcini; D = 0, 1 rădăcină; D

Teoremă inversă teoremei lui Vieta: Dacă numerele a, b, c, x 1 și x 2 sunt astfel încât x 1 x 2 = x 1 + x 2 = și x 2 sunt rădăcinile ecuației a x 2 + bx + c = 0

REZOLVA ECUATIILE: Grupa I: Nr. 802 pagina 71 x2 - 5 x- 36 =0 Grupa II: Nr. 810 pagina 71 3 x2 - x + 21=5 x2 Grupa III: x4 -5 x2 - 36 =0

III. REZOLVA ECUATIILE: Grupa I si II: Nr. 860 Grupa III: =0 =0 Cum se numesc astfel de ecuatii? Ce proprietate este folosită pentru a le rezolva?

O ecuație rațională este o ecuație de forma =0. O fracție este zero dacă numărătorul este zero și numitorul nu este zero. =0, dacă a = 0, b≠ 0.

Pe scurt din istoria matematicii Matematicienii Egiptului Antic au fost capabili să rezolve ecuații patratice și liniare. Omul de știință medieval persan Al-Khorezmi (secolul al IX-lea) a introdus pentru prima dată algebra ca știință independentă despre metodele generale de rezolvare a ecuațiilor liniare și pătratice și a dat o clasificare a acestor ecuații. O nouă mare descoperire în matematică este asociată cu numele omului de știință francez Francois Vieta (secolul al XVI-lea). El a fost cel care a introdus literele în algebră. El este autorul celebrei teoreme privind rădăcinile ecuațiilor pătratice. Și datorăm tradiția desemnării unor cantități necunoscute cu ultimele litere ale alfabetului latin (x, y, z) unui alt matematician francez - Rene Descartes (XVII).

Teme Lucru cu site-uri: - Banca deschisă de sarcini OGE (matematică) http: //85. 142. 162. 126/os/xmodules/qprint/index. php? proj=DE 0 E 276 E 49 7 AB 3784 C 3 FC 4 CC 20248 DC 0 ; - „Voi rezolva OGE” de D. Gushchin https: //oge. sdamgia. ru/ ; - Site-ul lui A. Larin (opțiunea 119) http: //alexlarin. net/. Manuale: - Yu M. Kolyagin manual „Algebră clasa a IX-a”, M., „Iluminism”, 2014, p. 308 -310; - „3000 de sarcini” sub. editat de I. V. Yashchenko, M., „Examen”, 2017, p. 5974.

Informaţii pentru părinţi Sistemul de pregătire pentru OGE la matematică 1). Repetarea însoțitoare în lecțiile 2). Revizuirea finală la sfârșitul anului 3). Cursuri opționale (sâmbăta) 4). Sistemul temelor pentru acasă - lucrând cu site-urile voi REZOLVA OGE, OPEN BANK FIPI, SITE A. LARINA. 5). Consultații individuale (lunea)

A patra sarcină din modulul de algebră testează cunoștințele despre utilizarea puterilor și a expresiilor radicale.

La finalizarea sarcinii nr. 4 a OGE la matematică, nu sunt testate doar abilitățile de calculare și transformare a expresiilor numerice, ci și capacitatea de a transforma expresii algebrice. Poate fi necesar să efectuați operații cu puteri cu exponent întreg, cu polinoame și transformări identice ale expresiilor raționale.

În conformitate cu materialele examenului principal, pot exista sarcini care necesită efectuarea de transformări identice ale expresiilor raționale, factorizarea polinoamelor, utilizarea procentelor și proporțiilor și teste de divizibilitate.

Răspunsul la sarcina 4 este unul dintre numerele 1; 2; 3; 4 corespunzător numărului răspunsului propus la sarcină.

Teoria pentru sarcina nr. 4

Din material teoretic vom avea nevoie Reguli de manipulare a gradelor:

Reguli de lucru cu expresii radicale:

În versiunile mele analizate, sunt prezentate aceste reguli - în analiza primei versiuni a celei de-a treia sarcini sunt prezentate regulile de manipulare a gradelor, iar în a doua și a treia versiune sunt analizate exemple de lucru cu expresii radicale.

Analiza opțiunilor tipice pentru sarcina nr. 4 OGE în matematică

Prima versiune a sarcinii

Care dintre următoarele expresii pentru orice valoare a lui n este egală cu produsul 121 11 n?

1. 121n
2. 11n+2
3. 11 2n
4. 11n+3

Soluţie:

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să rețineți următoarele reguli de manipulare a gradelor :

• Când sunt înmulțite, puterile se adună
• când se adună grade se scad
• Când ridicați o putere la o putere, puterile sunt înmulțite
• la extragerea rădăcinii, gradele sunt împărțite

În plus, pentru a-l rezolva este necesar să se reprezinte 121 ca o putere a lui 11, care este exact 11 2.

121 11 n = 11 2 11 n

Ținând cont de regula înmulțirii, adunăm gradele:

11 2 11 n = 11 n+2

Prin urmare, al doilea răspuns ni se potrivește.

A doua versiune a sarcinii

Care dintre următoarele expresii are cea mai mare valoare?

1. 2√11
2. 2√10

Soluţie:

Pentru a rezolva această sarcină, trebuie să reduceți toate expresiile la aspectul general- prezentați expresii sub formă de expresii radicale:

Mutați 3 la rădăcină:

3√5 = √(3² 5) = √(9 5) = √45

Mutați 2 la rădăcină:

2√11 = √(2² 11) = √(4 11) =√44

Mutați 2 la rădăcină:

2√10 = √(2² 10) = √(4 10) =√40

Punem la patrat 6,5:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Să ne uităm la toate opțiunile rezultate:

1. 3√5 = √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

Prin urmare, răspunsul corect este primul

A treia versiune a sarcinii

Care dintre aceste numere este rațional?

1. √810
2. √8,1
3. √0,81
4. toate aceste numere sunt iraționale

Soluţie:

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să procedați după cum urmează:

În primul rând, să ne dăm seama de puterea cărui număr este luat în considerare în acest exemplu - acesta este numărul 9, deoarece pătratul său este 81 și acesta este deja oarecum similar cu expresiile din răspunsuri. În continuare, să ne uităm la formele numărului 9 - acestea pot fi:

Luați în considerare fiecare dintre ele:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Prin urmare, numărul √0,81 este rațional, în timp ce numerele rămase

deși asemănătoare cu forma 9 pătrată, nu sunt raționale.

Astfel, răspunsul corect este al treilea.

A patra versiune a sarcinii

La cererea unui abonat al comunității mele A dispărut Diana, iată o analiză a următoarei sarcini nr. 4:

Care dintre numerele de mai jos este valoarea expresiei?

Soluţie:

Rețineți că numitorul conține o diferență (4 - √14), de care trebuie să scăpăm. Cum să faci asta?

Pentru a face acest lucru, amintiți-vă formula pentru înmulțirea prescurtată, și anume diferența de pătrate! Pentru a o aplica corect în această sarcină, trebuie să vă amintiți regulile de manipulare a fracțiilor. În acest caz, amintiți-vă că fracția nu se schimbă dacă numărătorul și numitorul sunt înmulțite cu același număr sau expresie. Pentru diferența de pătrate, ne lipsește expresia (4 + √14), ceea ce înseamnă că înmulțim numărătorul și numitorul cu ea.

După aceasta, obținem 4 + √14 la numărător și diferența de pătrate la numitor: 4² - (√14)². După aceasta, numitorul este ușor de calculat:

În total, acțiunile noastre arată astfel:

A cincea versiune a sarcinii (versiunea demo a OGE 2017)

Care expresie este un număr rațional?

1. √6-3
2. √3 √5
3. (√5)²
4. (√6-3)²

Soluţie:

În această sarcină, abilitățile noastre în operațiuni cu numere iraționale sunt testate.

Să ne uităm la fiecare opțiune de răspuns din soluție:

√6 în sine este un număr irațional pentru a rezolva astfel de probleme, este suficient să rețineți că puteți extrage rațional rădăcina din pătratele numerelor naturale, de exemplu, 4, 9, 16, 25...

Când scădeți dintr-un număr irațional orice alt număr în afară de el însuși, acesta va duce din nou la un număr irațional, astfel, în această versiune, se obține un număr irațional.

Când înmulțim rădăcinile, putem extrage rădăcina din produsul expresiilor radicale, adică:

√3 √5 = √(3 5) = √15

Dar √15 este irațional, deci acest răspuns nu este adecvat.

Când pătratăm o rădăcină pătrată, obținem pur și simplu o expresie radicală (mai precis, o expresie radicală modulo, dar în cazul unui număr, ca în această versiune, acest lucru nu contează), prin urmare:

Această opțiune de răspuns ni se potrivește.

Această expresie reprezintă continuarea punctului 1, dar dacă √6-3 este un număr irațional, atunci nu poate fi convertit într-un număr rațional prin nicio operație cunoscută de noi.