6.1. INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE

O medie este o formă de indicator statistic.

Valoarea medie este netezită individual caracteristicile unităților individuale ale populației, totuși principalul lucru este dezvăluit, de bază, tipică, care caracterizează totalitatea în ansamblu.

Valoarea medie - Acest generalizand indicator care caracterizează tipic nivel de caracteristică variabilă pe unitate din punct de vedere calitativ omogen agregate în condiții specifice de loc și timp.

Generalizarea un indicator este un indicator care caracterizează populația în ansamblu.

Omogen o mulţime este o mulţime ale cărei unităţi se formează sub influenţa unor cauze fundamentale comune şi a condiţiilor de dezvoltare care determină nivelul general al unei caracteristici date, caracteristică întregii populaţii studiate.

Valoarea medie calculată calitativ eterogen agregat, fictiv, nediscriminatoriu.

Condiții obligatorii pentru calcularea valorilor medii

• 1. Valoarea medie trebuie calculată pe baza:
  • a) o populație omogenă calitativ;
  • b) date masive fiabile;
  • c) date comparabile (pe teritoriu, timp, unități de măsură, metode de calcul etc.).
• 2. Valoarea medie generală trebuie în mod necesar să fie completată cu alte valori medii calculate pentru grupuri individuale, valorile individuale ale caracteristicii fiind mediate și mediile altor indicatori.

Respectarea acestor condiții ne va permite să obținem o descriere obiectivă a fenomenului și să luăm decizia corectă de management.

De exemplu, în 2015, salariul mediu lunar nominal acumulat în Federația Rusăîn economie în ansamblu s-a ridicat la 34.030 de ruble, inclusiv 15.758 de ruble. în producția de textile și îmbrăcăminte (acesta este cel mai mic salariu), 81.605 ruble. - în producţia de cocs şi produse petroliere (cele mai mari salarii).

În practica economică se folosesc diverse tipuri medii, care sunt împărțite în două grupe: medii de putere și medii structurale.

Medii de putere:

• 1) medie aritmetică;
• 2) medie armonică;
• 3) medie geometrică;
• 4) pătrat mediu;
• 5) cubic mediu etc.

Medii structurale: moda; median; quartile; decile etc. (va fi discutat în capitolul 7).

Alegerea unei formule specifice pentru calcularea valorii medii depinde de:

• 1) din formula semantica, aceste. esența caracteristicii medii, conținutul acesteia, relația cu indicatorul final (definitiv);
• 2) date disponibile cercetătorului;
• 3) gradul de variație (fluctuație) a caracteristicii care se face media.

Final (definire) indicator - acesta este un indicator, o valoare

care nu se va schimba dacă toate valorile individuale ale caracteristicii (Xj) sunt înlocuite cu valoarea medie a lui X.

Indicatorul definitoriu este fie în numărător, fie în numitorul formulei semantice.

Întrebare. Cum se creează o formulă semantică pentru calcularea mediei OV?

Sfaturi de la un statistician experimentat. Formula semantică (logică) pentru calcularea valorii medii din relativ indicatorii coincid

cu formula de calcul al relativ indicator.

Formula semantică procentul mediu de defecte coincide cu formula de calcul dimensiunea relativă a structurii(ponderea defectelor în volumul total de producție):

Există o anumită relație cantitativă între mediile puterii, care se numește Regula majorității:

Întrebare. Este posibil să înlocuiți o formulă pentru calcularea valorii medii cu alta și în ce caz?

Sfaturi de la un statistician experimentat. Dacă variabilitatea unui semn mic,

dacă valorile caracteristicii (X|) sunt apropiate unele de altele, atunci este mai complexă

valoarea medie poate fi înlocuită cu una mai simplă.

De exemplu, în loc de media geometrică, utilizați media aritmetică.

Acest capitol va examina două tipuri de medii: media aritmetică și media armonică.

Alte tipuri de medii vor fi studiate în următoarele capitole ale atelierului.

Tabelul 6.1 prezintă formulele de bază pentru calcularea mediei aritmetice și a mediei armonice.

Tabelul 6.1

Calculul mediei aritmetice și al mediei armonice

Sfârşit

În practica calculelor economice, se folosește cel mai des media. aritmetică dimensiune.

Tabelul 6.2 descrie anumite proprietăți ale mediei aritmetice, care sunt utilizate pe scară largă pentru a controla și simplifica calculele.

Tabelul 6.2

Proprietățile mediei aritmetice

Proprietatea mediei aritmetice	Formula
1. Orice valoarea medie nu poate fi mai mică decât cea mai mică valoare a caracteristicii care se face media și mai mult cea mai mare valoareîn total
2. Dacă fiecare valoarea atributului este mărită sau micșorată cu același număr, apoi valoarea medie se va modifica în consecință
3. Dacă fiecare valoarea atributului este crescută sau micșorată de același număr de ori, apoi valoarea medie se va modifica în consecință
4. Dacă greutate toate opțiunile sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci valoarea medie nu se va modifica
Corolar: la calcularea mediei, greutatea specifică poate fi utilizată ca greutăți
5. Suma abaterilor opțiunilor individuale de la media lor este zero

Calculul valorii medii folosind metoda momentelor

Proprietățile mediei aritmetice fac posibilă simplificarea calculelor valorilor medii, în special pentru discret serie de variații, precum și pentru interval rânduri cu egali la intervale. Să ilustrăm acest lucru cu un exemplu.

Tabelul 6.3

Soluţie. Tabelul 6.3 prezintă o serie de variații de interval cu egal la intervale. Ca valoare a atributului (x), luăm mijlocul fiecărui interval (coloana 1).

Să fim de acord că lățimea intervalului deschis va fi egală cu lățimea intervalului închis adiacent acestuia.

Să calculăm producția medie a unei echipe de muncitori în modul obișnuit (nu simplificat):

Calculele sunt prezentate în coloanele 3, 4 din tabel. 6.3.

2. Calculați media condiționată (media opțiunilor transformate):

Calculele sunt prezentate în coloana 5 a tabelului. 6.3.

3. Să trecem de la media condiționată (x) la cea reală (x), pentru care vom efectua operațiile cu care le-am făcut în ordine inversă X

Rezultatul coincide cu calculul folosind metoda nesimplificată.

Sfaturi de la un statistician experimentat. Dacă seria variaţiei cu egal intervale, apoi coloanele 1 și 3 din tabel nu trebuie calculate. Imediat după coloana 2 (/-frecvențe) completăm coloana x." În centrul acestei coloane scriem 0. Mijlocul acestui interval va fi x 0, iar lățimea intervalului va fi h(Tabelul 6.4).

Tabelul 6.4

Calculul randamentului mediu folosind metoda momentelor

6.2. REZOLVAREA PROBLEMELOR TIPICE

Problema 6.1. Calculați media lunară salariile lucrătorii întreprinderii în anul curent conform tabelului. 6.5.

Soluţie. Calcularea valorii medii trebuie să înceapă cu scrierea unei formule semantice.

Semantic (.logic) formula salariului mediu:

Algoritmul (formula de calcul) pentru salariul mediu depinde de ce date statistice are la dispoziție cercetătorul.

Să luăm în considerare mai multe opțiuni.

eu optiunea. Dacă se știe că, în anul curent, fondul de salarii pentru lucrătorii întreprinderii pentru luna a fost de 2804 mii de ruble și 72 de persoane au lucrat la întreprindere, atunci salariul mediu poate fi calculat prin înlocuirea directă în formula semantică 6.2. datele pe care le cunoaștem despre fondul de salarii și numărul de angajați:

Concluzie.În acest an, lucrătorii întreprinderii au primit în medie 38,9 mii de ruble pe lună.

Opțiunea II. Sunt cunoscute date privind salariile și numărul de lucrători pentru atelierele individuale ale întreprinderii (Tabelul 6.5).

Tabelul 6.5

Salarizarea și numărul de lucrători în atelierele individuale ale întreprinderii pe lună

Soluţie. Formula semantică (logică) a salariului mediu nu s-a schimbat (formula 6.2). Totuși, nici numărătorul, nici numitorul formulei semantice direct necunoscute, dar pot fi calculate folosind datele din tabel. 6.5.

Să alegem simboluri(Tabelul 6.6).

Pentru a calcula numărătorul formulei semantice - „Fondul de salarii al lucrătorilor întreprinderii”, este necesar tuturor atelierul întreprinderii, înmulțiți salariile muncitorilor (X) cu numărul de muncitori (/), apoi, obțineți fondul de salarii pentru fiecare atelier (Xf), adună valorile acestora, calculând astfel fondul de salarii pentru întreprindere în ansamblu:

Rezultatele calculelor sunt prezentate în tabel. 6.6.

Tabelul 6.6

Calculul salariului mediu al lucrătorilor întreprinderii pe lună (media ponderată aritmetică)

Atunci salariul mediu pentru întreprindere (X) va fi egal cu:

Salariul mediu a fost calculat folosind formula medie aritmetică ponderat.

Întrebare. Cu ce ​​precizie ar trebui calculată valoarea medie?

Sfaturi de la un statistician experimentat. Gradul de acuratețe în calcularea valorii medii ar trebui să fie mai mare decât gradul de acuratețe al indicatorilor mediați, mai ales atunci când valorile lor sunt mici.

În cazul nostru, salariile pentru atelierele individuale ale întreprinderii sunt calculate cu o precizie de până la un număr întreg (32; 48; 39), iar salariul mediu este calculat cu un grad mai mare de precizie, până la o zecime dintr-un număr. (38,9).

Întrebare. Este posibil să se verifice corectitudinea calculului valorii medii?

Sfaturi de la un statistician experimentat.Orice valoarea medie trebuie să fie mai mare decât valoarea minimă și mai mică decât valoarea maximă a caracteristicii care se face media (proprietatea oricărei valori medii):

În cazul nostru, această cerință este îndeplinită:

În consecință, nu a existat o eroare gravă în calcule.

Concluzie.În acest an, salariul mediu al lucrătorilor întreprinderii pe lună a fost de 38,9 mii de ruble. Cele mai mari salarii au fost în atelierul nr. 2 - 48 mii de ruble de persoană, cele mai mici în atelierul nr. 1 - 32 mii de ruble de persoană.

Întrebare. Ce formulă ar trebui utilizată pentru a calcula valoarea medie, dacă numai numitor formula semantică, dar numărătorul nu este cunoscut, dar poate fi calculat?

Sfaturi de la un statistician experimentat. Doar dacă se cunoaște numitor formula semantică, iar numărătorul nu este cunoscut, dar poate fi calculată valoarea medie se calculează folosind formula medie aritmetică ponderat:

varianta III. Sunt cunoscute datele privind salariile și fondul de salarii ale lucrătorilor pentru atelierele individuale ale întreprinderii pentru luna respectivă (Tabelul 6.7).

Tabelul 6.7

Salarizarea și numărul de lucrători în atelierele individuale ale întreprinderii pe lună

Soluţie. Formula semantică (logică) pentru salariul mediu rămâne aceeași (6.2).

Totuși, nici numărătorul, nici numitorul formulei semantice direct necunoscut. Dar ele pot fi calculate conform datelor din tabel. 6.7.

Pentru a calcula numitorul formulei semantice - „Numărul de lucrători ai întreprinderii”, este necesar tuturor atelierul de împărțire a fondului de salarii ( M) după numărul de lucrători (X) și adăugați datele rezultate:

Rezultatele calculelor sunt prezentate în tabel. 6.8.

Tabelul 6.8

Calculul salariului mediu lunar al lucrătorilor întreprinderii (media armonică ponderată)

Calculul a fost realizat folosind formula mediei armonice ponderate.

Examinare:

Întrebare. Ce formulă ar trebui utilizată pentru a calcula valoarea medie dacă numai numărător formula semantică, dar numitorul nu este cunoscut, dar poate fi calculat?

Sfaturi de la un statistician experimentat. Doar dacă se cunoaște numărător formula semantică, iar numitorul nu este cunoscut, dar se poate calcula media se calculează folosind formula medie armonic ponderat:

varianta IV. Este posibil ca datele despre fondul de salarii și nici despre numărul de lucrători să nu fie cunoscute și să nu poată fi calculate. Cu toate acestea, informațiile despre salarii sunt cunoscute pentru fiecare atelier al întreprinderii, adică. sunt date valorile caracteristicii medii (xj) (Tabelul 6.9).

Tabelul 6.9

Salariile lucrătorilor întreprinderii pe lună

Soluţie.În acest caz, salariul mediu se calculează folosind formula medie aritmetică simplă pe baza datelor salariale (fără a lua în considerare informațiile privind numărul de lucrători):

Examinare:

Întrebare. Dar ce formulă poate calcula valoarea medie dacă știm fiind mediate doar valorile caracteristiciiîn unități individuale ale populației?

Sfaturi de la un statistician experimentat Dacă nu se cunoaște nici numărătorul, nici numitorul formulei semantice, dar valorile caracteristicii medii sunt cunoscute pentru unitățile individuale ale populației, valoarea medie este calculată folosind formula medie. aritmetică simplă:

După cum vedem, salariile sunt calculate folosind formula medie aritmetică simpluși media aritmetică ponderat, nu coincid cantitativ:

Sfaturi de la un statistician experimentat. Media aritmetică ponderat dă întotdeauna un rezultat mai precis decât media aritmetică simplu,întrucât ia în considerare mai mulţi factori care determină valoarea valorii medii.

În cazul nostru, media aritmetică simplu ia în considerare doar repartizarea salariilor în atelierele individuale și media aritmetică ponderat De asemenea, ia în considerare numărul de lucrători care primesc fiecare valoare salarială.

Problema 6.2. ÎN Anul trecut, biletele la concertele de muzică de orgă puteau fi cumpărate pentru 800, 1000 și 1200 de ruble. ÎN Anul acesta, prețul biletelor a crescut cu 100 de ruble.

Soluţie.

1. Calculați prețul mediu al biletului în trecut an.

Formula semnificativă pentru prețul mediu:

Deoarece nu cunoaștem nici numărătorul, nici numitorul formulei semantice, dar cunoaștem valorile caracteristicii de mediere (preț), putem folosi doar formula medie aritmetică simplu".

Examinare:

Concluzie. Anul trecut, biletele pentru concertele de muzică de orgă au fost vândute pentru o medie de 967 de ruble pe piesă.

2. Calculați prețul mediu al biletului în curent an.

Examinare:

Pentru simplificare calculele fără a-și pierde acuratețea, folosim proprietatea valorii medii (Tabelul 6.2, proprietatea 2):

Daca in anul curent preturile sunt Toate biletele au fost majorate cu 100 de ruble, apoi medie prețul în acest an va fi de 100 de ruble. Mai mult anul trecut pret mediu:

Concluzie. Anul acesta, biletele la concertele de muzică de orgă se vor vinde cu o medie de 1.067 de ruble per bucată.

Sfaturi de la un statistician experimentat. Dacă fiecare valoarea caracteristicii (X) crește (descrește) cu același număr, apoi valoarea valorii medii crește (descrește) cu același număr.

Problema 6.3. Calculați prețul mediu al biletelor pentru concertele de muzică de orgă dacă știți că anul trecut 33% din bilete au fost vândute la un preț de 1200 de ruble, 57% - la 900 de ruble. și 10% - 800 de ruble fiecare.

Soluţie. Nu știm nici numărătorul, nici numitorul formulei semantice și este imposibil să le calculăm în funcție de condițiile problemei:

Totuși, determinați medie prețul biletelor este posibil dacă utilizați proprietatea valorii medii (Tabelul 6.2): ​​​​dacă ponderile (J) toată lumea valori caracteristice ( X) înmulțiți sau împărțiți cu același număr, valoarea medie nu se va modifica.

Prin urmare,

Concluzie. Anul trecut, biletele la concertele de muzică de orgă au fost vândute pentru o medie de 989 de ruble pe piesă.

Explicați de ce pret mediu biletele din problemele 6.2 și 6.3 nu se potrivesc.

Sfaturi de la un statistician experimentat. Greutățile specifice pot fi utilizate ca greutăți (/). Valoarea medie nu se va modifica.

Să calculăm valoarea medie în interval variațională

Problema 6.4. Conform tabelului 6.10 Calculați producția medie a lucrătorilor echipei pe tură, indicând tipul de medie.

Tabelul 6.10

Distribuția lucrătorilor echipajului pe producție

Soluţie. Pentru a calcula producția medie a lucrătorilor unei echipe pe tură, folosim următoarea formulă:

În funcție de condițiile problemei, cunoaștem numitorul formulei semantice (numărul de muncitori din brigadă), dar numărătorul (producția de producție a lucrătorilor brigăzii pe schimb) nu este, dar poate fi găsit prin înmulțirea producției de muncitori pentru fiecare grup cu numărul de lucrători. Prin urmare, este necesar să se aplice formula medie aritmetică ponderată:

Cu toate acestea, datele despre producția lucrătorilor sunt prezentate în formular intervale, aceste. nu știm în mod concret câte unități de producție au fost produse fiecare lucrător. Știm doar că fiecare muncitor este primul grupuri a lansat mai puțin de 10 produse, al doilea - de la 10 la 16 produse etc. Ce valoare ar trebui luată ca valoare de producție din fiecare interval?

Sfaturi de la un statistician experimentat. Dacă datele sunt prezentate în formular interval serie, apoi ca valoare a caracteristicii (X) luăm mijloc fiecare interval.

Primul interval „până la 10” este deschis, deoarece nu are limită inferioară. În primul rând, să „închidem” acest interval, conditionat definindu-i limita inferioară.

Întrebare. Cum se închide un interval deschis?

Sfaturi de la un statistician experimentat. Magnitudinea deschide intervalul se presupune a fi egal cu vecine există un interval închis cu ea.

Valoarea intervalului închis adiacent „10-16” este 6=16-10, prin urmare, limita inferioară a primului interval va fi 4 = 10-6 Deci primul interval este „4-10”.

Ultimul interval „22 și mai sus” este de asemenea deschis. El nu are top frontiere. Valoarea intervalului închis adiacent este 6 = 22 - 16, prin urmare, limita superioară a intervalului deschis va fi 22 + 6 = 28. Ultimul interval: „22-28”.

Să formalizăm soluția în tabel. 6.11.

Calculăm mijlocul intervalului pentru fiecare grup folosind formula medie aritmetică simplă. De exemplu, pentru primul grup (primul interval):

Tabelul 6.11

Calculul producției medii a lucrătorilor pe baza datelor de interval

rând

Formula semnificativă pentru producția medie:

Pe baza formulei semantice și a datelor pe care le avem, vom calcula salariul mediu folosind formula medie aritmetică ponderată:

Examinare:

Concluzie. Echipele de lucru au produs în medie 16 produse pe tură.

6.3. SARCINI PENTRU MUNCĂ INDEPENDENTĂ

Deștept și capabil este cel care întreabă când se îndoiește de ceva.

Lee Shin-in

Sarcina 6.1. Scrieți o formulă logică (semantică) pentru a calcula următorii indicatori:

• 1) randamentul mediu de cartofi;
• 2) procentul mediu de finalizare a planului;
• 3) salariul mediu un muncitor;
• 4) procentul mediu de produse premium;
• 5) costul mediu pe unitatea de producție;
• 6) prețul mediu al mărfurilor;
• 7) profitabilitate medie.

Sarcina 6.2. Completarea tabelului 6.12, se calculează pentru fiecare trimestru anul curent procentul mediu de produse defecte pentru cele trei echipe în ansamblu. Numiți tipul de valori medii utilizate pentru calcul. Analizează-ți rezultatele.

Tabelul 6.12

Indicatori economici pentru trei echipe de montaj

ateliere

Sarcina 6.3. Completarea tabelului 6.13, se calculează pentru fiecare lună a anului curent profitabilitatea medie pentru cele trei întreprinderi ale companiei în ansamblu.

Analizează-ți rezultatele. Explicați motivele pentru alegerea valorilor medii utilizate pentru calcul.

Tabelul 6.13

Indicatori economici pentru trei întreprinderi ale companiei Orpheus

Sarcina 6.4. Următoarele date sunt disponibile pentru trei întreprinderi agricole din regiune în anul curent:

• 1. Calculați randamentul mediu pentru toate cele trei întreprinderi pentru fiecare jumătate de an și an.
• 2. Studiați modificarea randamentului mediu în a doua jumătate a anului față de prima. Trageți concluzii.
• 3. Analizați modificarea structurii suprafețelor însămânțate.
• 4. Completează-ți calculele într-un tabel.

Sarcina 6.5. Se cunosc următoarele date despre vânzările de cereale către populația regiunii în cele trei magazine ale companiei pentru luna februarie a acestui an:

Tabelul 6.14

Prețul și volumul vânzărilor de cereale pentru luna februarie a acestui an

Calcula:

• 1) prețul mediu a 1 kg de cereale pentru întreaga companie. Justificați alegerea formulei de calcul a valorii medii. Prezentați calculele sub forma unui tabel;
• 2) ponderea magazinului nr. 1 în volumul total de cereale vândut pentru întreaga societate.

Trageți o concluzie.

Sarcina 6.6. Conform tabelului. 6.15 calculați procentul mediu de produse certificate. Explicați motivele pentru alegerea formulei de calcul a valorii medii.

Trageți o concluzie despre dinamica calității produselor dacă în perioada trecută procentul mediu de produse certificate a fost 70,9%.

Tabelul 6.15

Date privind certificarea produselor Kvadrat

Sarcina 6.7. Conform tabelului. 6.16 calculați procentul mediu de finalizare a unei sarcini în schimb de către lucrătorii echipei, inclusiv metoda momentelor.

Tabelul 6.16

Distribuția lucrătorilor echipajului în funcție de procentul de finalizare a sarcinilor în ture

Prezentați calculele într-un tabel. Trageți concluzii.

Sarcina 6.8. Calculați categoria salarială medie a muncitorilor dintr-o brigadă dacă 20% dintre muncitori au a treia categorie, 40% au a patra, 35% au a cincea, iar restul au a șasea. Indicați tipul de valoare medie utilizată pentru calcul. Denumiți proprietatea valorii medii pe care ați folosit-o în soluția dvs.

Cum s-au schimbat calificările lucrătorilor de brigadă dacă anul trecut categoria salarială medie a muncitorilor a fost de 5,1. Trageți concluzii.

Sarcina 6.9. Cafeneaua "Ogonyok" a plănuit să cumpere 50 kg de carne per 300 rub./kg și 80 kg - cu 270 frec./kg Cu toate acestea, furnizorul a majorat prețurile la carne de 1,2 ori.

Calculați prețul mediu la care a fost achiziționat efectiv 1 kg de carne și care a fost prețul mediu de achiziție planificat.

Numiți tipul de valoare medie utilizată pentru calcul. Trageți concluzii.

Sarcina 6.10.În anul precedent, 28% din populația regiunii avea un venit anual pentru fiecare membru al familiei de 180 de mii de ruble, 56% - 264 mii de ruble, iar restul - 588 mii de ruble.

Prezentați datele sub formă de tabel. Determinați venitul mediu anual pe cap de locuitor al familiei pentru întreaga regiune.

Indicați tipul de valoare medie utilizată pentru calcul. Trageți o concluzie.

Sarcina 6.11. Calculați profitul mediu pe acțiune pentru companie în ansamblu, dacă valoarea profitului pentru prima întreprindere a companiei a fost de 168,0 mii de ruble, pentru a doua - 228,8 mii de ruble, pentru a treia - 218,4 mii de ruble. Câștigul pe acțiune pentru întreprinderile companiei s-a ridicat, respectiv, la 6,0; 5,2; 3,9 frecare.

Calculați ponderea fiecărei întreprinderi în profitul total al companiei.

Prezentați calculele problemei într-un tabel. Trageți o concluzie.

Sarcina 6.12. Conform tabelului. 6.17 calcula varsta mijlocie lucrătorii organizației, indicând tipul valorii medii.

Tabelul 6.17

Distribuția lucrătorilor PJSC „Record” după vârstă

Explora structura de vârstă lucrătorii organizației, calculând structura OB.

Prezentați calculele într-un tabel. Trageți concluzii.

Sarcina 6.13. Calculați intensitatea medie a forței de muncă pentru fabricarea unei unități de produs pentru întreprindere în ansamblu, dacă timpul alocat producției la prima întreprindere a companiei a fost de 276 mii ore om, la a doua - 2016 mii ore om, la a treia - 3666 de mii de ore-om. Intensitatea muncii a produsului la intreprinderile firmei a fost respectiv 4,6; 11,2; 9,4 ore/buc

Indicați tipul de valoare medie utilizată pentru calcul.

Calculați ponderea fiecărei întreprinderi în timpul total alocat producției de produse ale firmei. Indicați tipul de OB calculat.

Prezentați calculele într-un tabel. Trageți o concluzie.

Sarcina 6.14.În Rusia, sunt 101 străini în 22 de cluburi ale Ligii Continentale de Hochei (KHL), inclusiv: 14 din Canada, 11 din SUA, 76 din Europa. Sunt 17 străini în 14 cluburi din Superliga Rusă de Volei. Sunt 53 de străini în 10 cluburi ale VTB United Basketball League. În Premier League rusă de fotbal sunt 16 cluburi, cu 131 de străini. Sunt 13 echipe în superliga rusă de bandy și doar 6 străini. Notă: toate echipele sunt masculine.

Calculați: 1) numărul mediu de jucători străini în cluburile rusești; 2) structura jucătorilor străini din KHL în funcție de țară. Desenați o diagramă de structură. Trageți concluzii.

Sarcina 6.15. Sunt cunoscute următoarele date despre activitățile comerciale și de producție ale cafenelei Romashka pentru luna septembrie a acestui an:

Calcula:

• 1) la ce preț în medie cafeneaua Romashka a cumpărat mărfuri în septembrie? Indicați tipul valorii medii calculate;
• 2) ponderea (ponderea) fiecărui lot de mărfuri în volumul total al încasărilor pe lună (în %). Evaluați ritmul încasărilor de mărfuri.
• 3) cu câte ruble și procente a crescut prețul mediu de achiziție al mărfurilor, dacă în octombrie mărfurile au fost achiziționate cu o medie de 127,81 ruble/buc?

Trageți concluzii.

• Concluzie. Fiecare lucrător din echipă a produs în medie 48 de unități de produs pe schimb. În calculele ulterioare ale ieșirii medii într-un mod simplificat, vom folosi proprietățile mediei aritmetice. 1. În calcule, luăm opțiunile transformate (x) ca valoare a caracteristicii medii (x): unde xq și h sunt orice numere. Sfaturi de la un statistician experimentat. Cea mai mare simplificare poate fi realizată dacă luăm mijlocul intervalului central (x0 = 50) ca x0, iar lățimea intervalului (h = 20) ca h.

În scopul analizei și obținerii de concluzii statistice pe baza rezultatelor rezumatului și grupării, se calculează indicatori generalizatori - valori medii și relative.

Problema medie – caracterizează toate unitățile unei populații statistice cu o valoare caracteristică.

Valorile medii caracterizează indicatorii calitativi ai activității antreprenoriale: costuri de distribuție, profit, rentabilitate etc.

Valoarea medie- aceasta este o caracteristică generalizantă a unităților populației în funcție de unele caracteristici diferite.

Valorile medii vă permit să comparați nivelurile aceleiași trăsături în diferite populații și să găsiți motivele acestor discrepanțe.

În analiza fenomenelor studiate, rolul valorilor medii este enorm. Economistul englez W. Petty (1623-1687) a folosit pe scară largă valorile medii. V. Petty a vrut să folosească valori medii ca măsură a costului cheltuielilor pentru hrana zilnică medie a unui lucrător. Stabilitatea valorii medii este o reflectare a regularității proceselor studiate. El credea că informațiile pot fi transformate, chiar dacă nu există suficiente date originale.

Omul de știință englez G. King (1648-1712) a folosit valori medii și relative atunci când a analizat datele despre populația Angliei.

Evoluțiile teoretice ale statisticianului belgian A. Quetelet (1796-1874) se bazează pe caracterul contradictoriu al fenomenelor sociale – extrem de stabile în masă, dar pur individual.

Potrivit lui A. Quetelet, cauzele constante acționează în mod egal asupra fiecărui fenomen studiat și fac aceste fenomene asemănătoare între ele, creând tipare comune tuturor acestora.

O consecință a învățăturilor lui A. Quetelet a fost identificarea valorilor medii ca principală tehnică de analiză statistică. El a spus că mediile statistice nu reprezintă o categorie de realitate obiectivă.

A. Quetelet și-a exprimat părerile cu privire la medie în teoria sa despre omul mediu. O persoană medie este o persoană care are toate calitățile unei marimi medii (rata medie de mortalitate sau natalitate, înălțime și greutate medie, viteza medie de alergare, înclinație medie spre căsătorie și sinucidere, spre fapte bune etc.). Pentru A. Quetelet, persoana medie este persoana ideală. Inconsecvența teoriei lui A. Quetelet a omului mediu a fost dovedită în literatura statistică rusă în sfârşitul XIX-XX secole

Celebrul statistician rus Yu E. Yanson (1835-1893) a scris că A. Quetelet presupune existența în natură a unui tip de persoană medie ca ceva dat, de la care viața a deviat oamenii medii dintr-o anumită societate și un anumit timp. , iar aceasta îl conduce la o viziune complet mecanică și la legile mișcării vieții sociale: mișcarea este o creștere treptată a proprietăților medii ale unei persoane, o restabilire treptată a tipului; în consecință, o asemenea nivelare a tuturor manifestărilor vieții corpului social, dincolo de care încetează orice mișcare înainte.

Esența acestei teorii și-a găsit dezvoltarea ulterioară în lucrările unui număr de teoreticieni statistici ca o teorie a cantităților adevărate. A. Quetelet a avut adepți - economistul și statisticianul german W. Lexis (1837-1914), care a transferat teoria valorilor adevărate fenomenelor economice viata publica. Teoria lui este cunoscută sub numele de teoria stabilității. O altă versiune a teoriei idealiste a mediilor se bazează pe filozofie

Fondatorul său este statisticianul englez A. Bowley (1869–1957) - unul dintre cei mai proeminenti teoreticieni ai timpurilor recente în domeniul teoriei mediilor. Conceptul său de medii este subliniat în cartea sa Elements of Statistics.

A. Boley ia în considerare valorile medii numai din punct de vedere cantitativ, separând astfel cantitatea de calitate. Determinând semnificația valorilor medii (sau „funcția lor”), A. Boley propune principiul machian al gândirii. A. Boley a scris că funcția valorilor medii ar trebui să exprime un grup complex

folosind câteva numere prime. Datele statistice ar trebui simplificate, grupate și reduse la medii Aceste opinii: împărtășite de R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871 - 1951), Frederick S. Mills (1892) etc.

În anii 30 secolul XX și anii următori, valoarea medie este considerată ca o caracteristică semnificativă din punct de vedere social, al cărei conținut informațional depinde de omogenitatea datelor.

Cei mai de seamă reprezentanți ai școlii italiene R. Benini (1862-1956) și C. Gini (1884-1965), considerând statistica o ramură a logicii, au extins sfera de aplicare a inducției statistice, dar au conectat principiile cognitive ale logicii. şi statistică cu natura fenomenelor studiate, urmând tradiţiile de interpretare sociologică a statisticii.

În lucrările lui K. Marx și V. I. Lenin, valorile medii joacă un rol special.

K. Marx a susținut că în valoarea medie abaterile individuale de la nivelul general se sting și nivelul mediu devine o caracteristică generală a unui fenomen de masă Valoarea medie devine o astfel de caracteristică a unui fenomen de masă numai dacă se iau un număr semnificativ de unități iar aceste unităţi sunt calitativ omogene. Marx a scris că valoarea medie găsită ar trebui să fie media „...multe valori individuale diferite de același fel”.

Valoarea medie capătă o semnificație deosebită în condiții economie de piata. Ajută la determinarea tendinței necesare și generale a tiparului dezvoltarea economică direct prin singular și aleatoriu.

Valori medii sunt indicatori generali în care se exprimă acţiunea conditii generale, tiparul fenomenului studiat.

Mediile statistice sunt calculate pe baza datelor de masă din observația de masă organizată corect statistic. Dacă media statistică este calculată din date de masă pentru o populație omogenă calitativ (fenomene de masă), atunci aceasta va fi obiectivă.

Valoarea medie este abstractă, deoarece caracterizează valoarea unei unități abstracte.

Media este extrasă din diversitatea trăsăturii în obiectele individuale. Abstracția este un pas cercetarea stiintifica. În valoarea medie se realizează unitatea dialectică a individului și a generalului.

Valorile medii ar trebui aplicate pe baza unei înțelegeri dialectice a categoriilor de individ și general, individual și de masă.

Cel din mijloc afișează ceva comun care este conținut într-un singur obiect specific.

Pentru a identifica modele în procesele sociale de masă, valoarea medie este de mare importanță.

Abaterea individului de la general este o manifestare a procesului de dezvoltare.

Valoarea medie reflectă nivelul caracteristic, tipic, real al fenomenelor studiate. Sarcina valorilor medii este de a caracteriza aceste niveluri și modificările lor în timp și spațiu.

Indicatorul mediu este o valoare comună, deoarece se formează în condiții normale, naturale, generale de existență a unui anumit fenomen de masă, considerat în ansamblu.

Proprietatea obiectivă a unui proces sau fenomen statistic este reflectată de valoarea medie.

Valorile individuale ale atributului statistic studiat sunt diferite pentru fiecare unitate a populației. Valoarea medie a valorilor individuale de un tip este un produs de necesitate, care este rezultatul acțiunii combinate a tuturor unităților populației, manifestată într-o masă de accidente repetate.

Unele fenomene individuale au caracteristici care există în toate fenomenele, dar în cantități diferite - aceasta este înălțimea sau vârsta unei persoane. Alte semne ale unui fenomen individual sunt calitativ diferite în diferite fenomene, adică sunt prezente în unele și nu sunt observate în altele (un bărbat nu va deveni femeie). Valoarea medie este calculată pentru caracteristicile care sunt omogene calitativ și diferite doar cantitativ, care sunt inerente tuturor fenomenelor dintr-o mulțime dată.

Valoarea medie este o reflectare a valorilor caracteristicii studiate și se măsoară în aceeași dimensiune cu această caracteristică.

Teoria materialismului dialectic ne învață că totul în lume se schimbă și se dezvoltă. Și, de asemenea, caracteristicile care sunt caracterizate de valori medii se schimbă și, în consecință, mediile în sine.

În viață există un proces continuu de a crea ceva nou. Purtătorii unei noi calități sunt obiecte unice, apoi numărul acestor obiecte crește, iar noul devine masă, tipic.

Valoarea medie caracterizează populaţia studiată după o singură caracteristică. Pentru o reprezentare completă și cuprinzătoare a populației studiate în funcție de o serie de caracteristici specifice, este necesar să existe un sistem de valori medii care să poată descrie fenomenul din diferite unghiuri.

În prelucrarea statistică a materialului, apar diverse probleme care trebuie rezolvate și, prin urmare, în practica statistică sunt utilizate diferite valori medii. Statistica matematică utilizează diverse medii, precum: media aritmetică; medie geometrică; medie armonică; pătrat mediu.

Pentru aplicarea unuia dintre tipurile de medie de mai sus este necesar să se analizeze populația studiată, să se determine conținutul material al fenomenului studiat, toate acestea fiind realizate pe baza concluziilor trase din principiul semnificației rezultatelor atunci când cântărirea sau însumarea.

În studiul mediilor se folosesc următorii indicatori și notații.

Se numeste semnul prin care se afla media caracteristica medie și se notează cu x; se numește valoarea caracteristicii medii pentru orice unitate a unei populații statistice sensul său individual, sau opțiuni,și notat ca x 1 , X 2 , x 3 ,… X n ; frecvența este repetabilitatea valorilor individuale ale unei caracteristici, notate cu literă f.

Media aritmetică

Unul dintre cele mai comune tipuri de mediu este medie aritmetica, care se calculează atunci când volumul caracteristicii medii este format ca suma valorilor sale în unități individuale ale populației statistice studiate.

Pentru a calcula media aritmetică, suma tuturor nivelurilor atributului este împărțită la numărul lor.

Dacă unele opțiuni apar de mai multe ori, atunci suma nivelurilor atributului poate fi obținută prin înmulțirea fiecărui nivel cu numărul corespunzător de unități din populație și apoi adunând produsele rezultate media aritmetică calculată în acest mod se numește ponderată; medie aritmetică.

Formula mediei aritmetice ponderate este următoarea:

unde х i sunt opțiuni,

f i – frecvenţe sau greutăţi.

O medie ponderată ar trebui utilizată în toate cazurile în care opțiunile au numere diferite.

Media aritmetică, parcă, distribuie în mod egal între obiectele individuale valoarea totală a atributului, care în realitate variază pentru fiecare dintre ele.

Calculul valorilor medii se realizează folosind date grupate sub formă de serii de distribuție a intervalelor, când variantele caracteristicii din care se calculează media sunt prezentate sub formă de intervale (de la - la).

Proprietățile mediei aritmetice:

1) media aritmetică a sumei valorilor diferite este egală cu suma valorilor medii aritmetice: Dacă x i = y i +z i, atunci

Această proprietate arată în ce cazuri este posibilă rezumarea valorilor medii.

2) suma algebrică a abaterilor valorilor individuale ale unei caracteristici diferite de la medie este egală cu zero, deoarece suma abaterilor într-o direcție este compensată de suma abaterilor în cealaltă direcție:

Această regulă demonstrează că media este rezultatul.

3) dacă toate opțiunile dintr-o serie sunt mărite sau micșorate cu același număr?, va crește sau scade media cu același număr?:

4) dacă toate variantele seriei sunt mărite sau micșorate de A ori, atunci și cea medie va crește sau scade de A ori:

5) a cincea proprietate a mediei ne arată că aceasta nu depinde de mărimea greutăților, ci depinde de relația dintre ele. Nu numai valorile relative, ci și absolute pot fi luate ca scale.

Dacă toate frecvențele seriei sunt împărțite sau înmulțite cu același număr d, atunci media nu se va modifica.

Mijloc armonic. Pentru a determina media aritmetică, este necesar să existe un număr de opțiuni și frecvențe, adică valori XŞi f.

Să presupunem că sunt cunoscute valorile individuale ale caracteristicii X si functioneaza X/, si frecvente f sunt necunoscute, apoi pentru a calcula media, notăm produsul = X/; unde:

Media în această formă se numește medie ponderată armonică și se notează x rău. Sus

În consecință, media armonică este identică cu media aritmetică. Este aplicabil atunci când greutățile reale sunt necunoscute f, iar lucrarea este cunoscută fx = z

Când lucrările fx unitățile sunt aceleași sau egale (m = 1), se utilizează media simplă armonică, calculată prin formula:

Unde X– opțiuni separate;

n- număr.

Medie geometrică

Dacă există n coeficienți de creștere, atunci formula pentru coeficientul mediu este:

Aceasta este formula medie geometrică.

Media geometrică este egală cu rădăcina puterii n din produsul coeficienților de creștere care caracterizează raportul dintre valoarea fiecărei perioade ulterioare și valoarea celei anterioare.

Dacă valorile exprimate sub formă de funcții pătratice sunt supuse medierii, se utilizează pătratul mediu. De exemplu, folosind rădăcina pătrată medie, puteți determina diametrele țevilor, roților etc.

Pătratul mediu simplu se determină luând rădăcina pătrată a coeficientului de împărțire a sumei pătratelor valorilor individuale ale atributului la numărul lor.

Pătratul mediu ponderat este egal cu:

Pentru a caracteriza structura unei populații statistice se folosesc indicatori care se numesc medii structurale. Acestea includ modul și mediana.

Moda (M O ) - cea mai comună variantă. Modă este valoarea atributului care corespunde punctului maxim al curbei de distribuție teoretică.

Moda reprezintă sensul cel mai frecvent sau tipic.

Moda este folosită în practica comercială pentru a studia cererea consumatorilor și pentru a înregistra prețurile.

Într-o serie discretă, modul este varianta cu cea mai mare frecvență. Într-o serie de variații de interval, modul este considerat a fi varianta centrală a intervalului, care are cea mai mare frecvență (particularitate).

În interval, trebuie să găsiți valoarea atributului care este modul.

Unde X O– limita inferioară a intervalului modal;

h– valoarea intervalului modal;

f m– frecvența intervalului modal;

f t-1 – frecvenţa intervalului precedent celui modal;

f m+1 – frecvența intervalului următor celui modal.

Modul depinde de mărimea grupurilor și de poziția exactă a limitelor grupului.

Modă– numărul care apare de fapt cel mai des (este o valoare certă), în practică are cea mai largă aplicație (cel mai comun tip de cumpărător).

Median (M e este o cantitate care împarte numărul unei serii de variații ordonate în două părți egale: o parte are valori ale caracteristicii variabile care sunt mai mici decât varianta medie, iar cealaltă are valori mai mari.

Median este un element care este mai mare sau egal cu și în același timp mai mic sau egal cu jumătate din elementele rămase ale seriei de distribuție.

Proprietatea mediei este că suma abaterilor absolute ale valorilor atributelor de la mediană este mai mică decât de la orice altă valoare.

Utilizarea mediei vă permite să obțineți rezultate mai precise decât utilizarea altor forme de medii.

Ordinea de a găsi mediana într-o serie de variații de interval este următoarea: aranjam valorile individuale ale caracteristicii în funcție de clasament; determinăm frecvențele acumulate pentru o anumită serie clasată; Folosind datele de frecvență acumulate, găsim intervalul median:

Unde x eu– limita inferioară a intervalului median;

i eu– valoarea intervalului median;

f/2– jumătate de suma frecvențelor seriei;

S eu-1 – suma frecvențelor acumulate precedând intervalul median;

f eu– frecvența intervalului median.

Mediana împarte numărul unei serii la jumătate, prin urmare, este cazul în care frecvența acumulată este jumătate sau mai mult de jumătate din suma totală a frecvențelor, iar frecvența anterioară (acumulată) este mai mică de jumătate din numărul populației.

Curs 5. Valori medii

Conceptul de medie în statistică

Media aritmetică și proprietățile sale

Alte tipuri de medii de putere

Mod și mediană

Quartile și decile

Valorile medii sunt utilizate pe scară largă în statistici. Valorile medii caracterizează indicatorii de calitate activitati comerciale: costuri de distributie, profit, profitabilitate etc.

Medie- Aceasta este una dintre tehnicile comune de generalizare. O înțelegere corectă a esenței mediei determină semnificația sa deosebită într-o economie de piață, când media, prin individual și aleatoriu, ne permite să identificăm generalul și necesarul, să identificăm tendința modelelor de dezvoltare economică.

Valoarea medie- sunt indicatori generalizatori în care se exprimă efectele condiţiilor generale şi tiparelor fenomenului studiat.

Valoarea medie (în statistică) – un indicator general care caracterizează dimensiunea sau nivelul tipic al fenomenelor sociale pe unitatea de populație, toate celelalte fiind egale.

Folosind metoda mediilor se pot rezolva următoarele: sarcinile principale:

1. Caracteristici ale nivelului de dezvoltare a fenomenelor.

2. Compararea a două sau mai multe niveluri.

3. Studiul interrelaţiilor dintre fenomenele socio-economice.

4. Analiza amplasării fenomenelor socio-economice în spațiu.

Mediile statistice sunt calculate pe baza datelor de masă din observarea de masă organizată corect statistic (continuă și selectivă). Cu toate acestea, media statistică va fi obiectivă și tipică dacă este calculată din date de masă pentru o populație omogenă calitativ (fenomene de masă). De exemplu, dacă calculați salariul mediu în cooperative și întreprinderile de stat și extindeți rezultatul la întreaga populație, atunci media este fictivă, deoarece este calculată pentru o populație eterogenă, iar o astfel de medie își pierde orice semnificație.

Cu ajutorul mediei, diferențele de valoare a unei caracteristici care apar dintr-un motiv sau altul în unitățile individuale de observație sunt netezite. De exemplu, productivitatea medie a unui agent de vânzări depinde de mai multe motive: calificări, vechime în muncă, vârstă, formă de serviciu, sănătate etc.

Esența mediei constă în faptul că anulează abaterile valorilor caracteristice ale unităților individuale ale populației, cauzate de acțiunea unor factori aleatori, și ia în considerare modificările cauzate de acțiunea principalilor factori. . Acest lucru permite ca media să reflecte nivelul tipic al trăsăturii și să facă abstracție de caracteristicile individuale inerente unităților individuale.

Valoarea medie este o reflectare a valorilor caracteristicii studiate, prin urmare, este măsurată în aceeași dimensiune cu această caracteristică.

Fiecare valoare medie caracterizează populația studiată în funcție de oricare caracteristică. Pentru a obține o înțelegere completă și cuprinzătoare a populației studiate după o serie de caracteristici esențiale, în general este necesar să existe un sistem de valori medii care să poată descrie fenomenul din diferite unghiuri.

Există diferite medii:

Media aritmetică;

medie geometrică;

medie armonică;

pătrat mediu;

Cronologic mediu.

Valoarea medie- acesta este un indicator general al unei populații statistice care elimină diferențele individuale în valorile cantităților statistice, permițându-vă să comparați diferite populații între ele.

Există 2 clase valori medii: și .

Mediile structurale includ modăŞi median, dar cel mai des folosit medii de putere diverse tipuri.

Medii de putere

Mediile de putere pot fi simpluŞi ponderat.

Medie simplă calculat dacă sunt două sau mai multe negrupate mărimi statistice aranjate în ordine aleatorie după următoarea formulă generală:

Media ponderată calculat de grupate valori statistice folosind următoarea formulă generală:

Unde X sunt valorile valorilor statistice individuale sau mijlocul intervalelor de grupare;
m este un exponent, a cărui valoare determină următoarele tipuri de medii de putere:
la m = -1;
la m = 0;
când m = 1;
la m = 2;
la m = 3.

Folosind formule generale pentru medii simple și ponderate pentru diferiți exponenți m, obținem formule particulare de fiecare tip, care vor fi discutate în detaliu mai jos.

Media aritmetică

Media aritmetică- aceasta este valoarea medie cel mai frecvent utilizată, care se obține prin substituirea m=1 în formula generală. Media aritmetică simplu are următoarea formă:

Unde X sunt valorile cantităților pentru care trebuie calculată valoarea medie; N este numărul total de valori X (numărul de unități din populația studiată).

De exemplu, un elev a promovat 4 examene și a primit următoarele note: 3, 4, 4 și 5. Să calculăm scorul mediu folosind formula medie aritmetică simplă: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.

Media aritmetică ponderat are următoarea formă:

Unde f este numărul de mărimi cu aceeași valoare X (frecvență).

De exemplu, un elev a promovat 4 examene și a primit următoarele note: 3, 4, 4 și 5. Să calculăm scorul mediu folosind formula medie aritmetică ponderată: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4.

Dacă valorile X sunt specificate ca intervale, atunci punctele de mijloc ale intervalelor X sunt utilizate pentru calcule, care sunt definite ca jumătate de suma limitelor superioare și inferioare ale intervalului. Și dacă intervalul X nu are o limită inferioară sau superioară (interval deschis), atunci pentru a-l găsi, utilizați intervalul (diferența dintre limita superioară și inferioară) a intervalului adiacent X.

De exemplu, o întreprindere are 10 angajați cu până la 3 ani de experiență, 20 cu 3 până la 5 ani de experiență, 5 angajați cu mai mult de 5 ani de experiență. Apoi calculăm vechimea medie a angajaților folosind formula medie aritmetică ponderată, luând ca X punctul de mijloc al intervalelor de vechime în muncă (2, 4 și 6 ani):
(2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 ani.

Media aritmetică este folosită cel mai des, dar există momente când este necesară utilizarea altor tipuri de medii. Să luăm în considerare astfel de cazuri în continuare.

Mijloc armonic

Mijloc armonic este utilizat atunci când datele sursă nu conțin frecvențele f pentru valorile individuale X, ci sunt prezentate ca produsul lor Xf. Desemnând Xf=w, exprimăm f=w/X și, substituind aceste notații în formula pentru media ponderată aritmetică, obținem formula pentru media ponderată armonică:

Astfel, media armonică ponderată este utilizată atunci când frecvențele f sunt necunoscute și w=Xf este cunoscut. În cazurile în care toate w = 1, adică valorile individuale ale lui X apar o dată, se aplică formula primelor armonice medii:

De exemplu, o mașină se deplasa din punctul A în punctul B cu o viteză de 90 km/h și înapoi cu o viteză de 110 km/h. Pentru a determina viteza medie, aplicăm formula pentru armonica medie simplă, deoarece în exemplu este dată distanța w 1 =w 2 (distanța de la punctul A la punctul B este aceeași ca de la B la A), care este egal cu produsul dintre viteză (X) și timp (f). Viteza medie = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 km/h.

Medie geometrică

Medie geometrică utilizat la determinarea modificărilor relative medii, așa cum sa discutat în subiectul Serii dinamice. Media geometrică oferă cel mai precis rezultat de mediere dacă sarcina este de a găsi o valoare a lui X care ar fi echidistantă de valorile maxime și minime ale lui X.

De exemplu, între 2005 și 2008 indicele de inflatieîn Rusia a fost: în 2005 - 1.109; în 2006 - 1.090; în 2007 - 1.119; în 2008 - 1.133. Întrucât indicele de inflație este o modificare relativă (indice dinamic), valoarea medie trebuie calculată folosind media geometrică: (1,109*1,090*1,119*1,133)^(1/4) = 1,1126, adică pentru perioada din 2005 până în 2008 preţurile au crescut anual cu o medie de 11,26%. Un calcul eronat folosind media aritmetică ar da un rezultat incorect de 11,28%.

Pătrat mediu

Pătrat mediu utilizat în cazurile în care valorile inițiale ale lui X pot fi atât pozitive, cât și negative, de exemplu, la calcularea abaterilor medii.

Aplicația principală a mediei pătratice este măsurarea variației valorilor X, care va fi discutată.

Cubic mediu

Cubic mediu este folosit extrem de rar, de exemplu, la calcularea indicilor de sărăcie pentru țările în curs de dezvoltare (TIN-1) și pentru cele dezvoltate (TIN-2), propuși și calculați de ONU.

Medii structurale

La cele mai des folosite medie structurală include și .

Modul statistic

Modul statistic este valoarea lui X cel mai frecvent repetată într-o populație statistică.

Dacă este dat X discret, atunci modul este determinat fără calcul ca valoare a caracteristicii cu cea mai mare frecvență. Într-o populație statistică există 2 sau mai multe moduri, atunci se consideră bimodal(dacă există două moduri) sau multimodal(dacă există mai mult de două moduri), iar acest lucru indică eterogenitatea populației.

De exemplu, compania are 16 angajați: 4 dintre aceștia au 1 an de experiență, 3 persoane au 2 ani de experiență, 5 au 3 ani de experiență și 4 persoane au 4 ani de experiență. Astfel, experiența modală Mo = 3 ani, deoarece frecvența acestei valori este maximă (f = 5).

Dacă este dat X la intervale egale, atunci intervalul modal este mai întâi definit ca intervalul cu cea mai mare frecvență f. În acest interval, valoarea condiționată a modului se găsește folosind formula:

Unde Mo este moda;
X NMo – limita inferioară a intervalului modal;
h Mo este intervalul modal (diferența dintre limitele sale superioare și inferioare);
f Mo – frecvența intervalului modal;
f Mo-1 – frecvența intervalului premergător celui modal;
f Mo+1 – frecvența intervalului următor celui modal.

De exemplu, o întreprindere are 10 angajați cu până la 3 ani de experiență, 20 cu 3 până la 5 ani de experiență, 5 angajați cu mai mult de 5 ani de experiență. Să calculăm experiența modală de muncă în intervalul modal de la 3 la 5 ani: Mo = 3 + 2*(20-10)/(2*20-10-5) = 3,8 (ani).

Dacă intervalul de intervale h este diferit, atunci în locul frecvențelor f este necesar să se utilizeze densități de interval, calculate prin împărțirea frecvențelor f la intervalul h.

Mediană statistică

Mediană statistică– aceasta este valoarea mărimii X, care împarte o populație statistică ordonată crescător sau descrescător în 2 părți egale. Ca urmare, o jumătate are o valoare mai mare decât mediana, iar cealaltă jumătate are o valoare mai mică decât mediana.

Dacă este dat X discret, apoi pentru a determina mediana, toate valorile sunt numerotate de la 0 la N în ordine crescătoare, atunci mediana pentru un număr par N va fi la mijloc între X cu numerele 0,5N și (0,5N+1), iar pentru un număr impar N va corespunde valorii lui X cu numărul 0,5(N+1) .

De exemplu, există date despre vârsta studenților cu fracțiune de normă într-un grup de 10 persoane - X: 18, 19, 19, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 30 de ani. Aceste date sunt deja ordonate crescător, iar numărul lor N=10 este par, deci mediana se va situa între X cu numere 0,5*10=5 și (0,5*10+1)=6, care corespund valorilor X 5 = 21 și X 6 = 23, apoi mediana: Me = (21+23)/2 = 22 (ani).

Dacă X este dat sub formă intervale egale, apoi se determină mai întâi intervalul median (intervalul în care se termină o jumătate din frecvențele f și începe cealaltă jumătate), în care se găsește valoarea condiționată a medianei folosind formula:

Unde Eu este mediana;
X НМе – limita inferioară a intervalului median;
h Ме – intervalul intervalului median (diferența dintre limitele sale superioare și inferioare);
f Ме – frecvența intervalului median;
f Ме-1 – suma frecvențelor intervalelor care preced mediana.

În exemplul discutat anterior, atunci când se calculează vechimea modală (întreprinderea are 10 angajați cu până la 3 ani de experiență, 20 cu 3 până la 5 ani de experiență, 5 angajați cu mai mult de 5 ani de experiență), calculăm mediana vechime în serviciu. Jumătate din numărul total de muncitori este (10+20+5)/2 = 17,5 și este în intervalul de la 3 la 5 ani, iar în primul interval până la 3 ani sunt doar 10 muncitori, iar în primii doi - (10+20) =30, care este mai mult de 17,5, înseamnă că intervalul de la 3 la 5 ani este mediana. În interiorul acestuia, determinăm valoarea condiționată a medianei: Me = 3+2*(0,5*30-10)/20 = 3,5 (ani).

La fel ca și în cazul modului, la determinarea medianei, dacă intervalul intervalelor h este diferit, atunci în locul frecvențelor f este necesar să se utilizeze densități de interval, calculate prin împărțirea frecvențelor f la intervalul h.

Indicatori de variație

Variaţie este diferența dintre valorile valorilor X pentru unitățile individuale ale populației statistice. Pentru a studia puterea variației, se calculează următoarele indicatori de variație: , , , , .

Gama de variație

Gama de variație este diferența dintre valorile maxime și minime ale lui X disponibile în populația statistică studiată:

Dezavantajul lui H este că arată doar diferența maximă în valorile X și nu poate măsura puterea variației în întreaga populație.

Abaterea liniară medie

Abaterea liniară medie este modulul mediu al abaterilor valorilor X de la media aritmetică. Poate fi calculat folosind formula mediei aritmetice simplu- primim :

De exemplu, un elev a promovat 4 examene și a primit următoarele note: 3, 4, 4 și 5. = 4. Să calculăm abaterea liniară medie simplă: L = (|3-4|+|4-4|+|4 -4|+|. 5-4|)/4 = 0,5.

Dacă datele inițiale X sunt grupate (există frecvențe f), atunci calculul abaterii liniare medii se realizează folosind formula mediei aritmetice ponderat- primim :

Să revenim la exemplul unui elev care a promovat 4 examene și a primit următoarele note: 3, 4, 4 și 5. = 4 și = 0,5. Să calculăm abaterea liniară medie ponderată: L = (|3-4|*1+|4-4|*2+|5-4|*1)/4 = 0,5.

Coeficient liniar de variație

Coeficient liniar de variație este raportul dintre abaterea liniară medie și media aritmetică:

Folosind coeficientul liniar de variație, puteți compara variația diferitelor populații deoarece, spre deosebire de abaterea liniară medie, valoarea acesteia nu depinde de unitățile de măsură X.

În exemplul luat în considerare despre un student care a promovat 4 examene și a primit următoarele note: 3, 4, 4 și 5, coeficientul liniar de variație va fi 0,5/4 = 0,125 sau 12,5%.

Dispersia

Dispersia este pătratul mediu al abaterilor valorilor X de la media aritmetică. Dispersia poate fi calculată folosind formula mediei aritmetice simplu- primim varianță simplă:

În exemplul deja familiar despre un student care a promovat 4 examene și a primit note: 3, 4, 4 și 5, = 4. Atunci varianța este simplă D = ((3-4) 2 +(4-4) 2 +(4-4) 2 +(5-4) 2)/4 = 0,5.

Dacă datele originale X sunt grupate (există frecvențe f), atunci varianța este calculată folosind formula mediei aritmetice ponderat- primim varianță ponderată:

În exemplul luat în considerare despre un student care a promovat 4 examene și a primit următoarele note: 3, 4, 4 și 5, calculăm varianța ponderată: D = ((3-4) 2 *1+(4-4) 2 *2+(5 -4) 2 *1)/4 = 0,5.

Dacă transformați formula de varianță (deschideți parantezele în numărător, împărțiți termen cu termen la numitor și dați altele similare), atunci puteți obține o altă formulă pentru a o calcula ca diferență dintre pătratele medii și media pătratică:

Este chiar mai ușor de găsit abaterea standard, dacă varianța este precalculată ca rădăcină pătrată a acesteia:

În exemplul despre student, în care mai sus, găsim abaterea standard ca rădăcină pătrată a acesteia: .

Coeficientul de variație pătratic

Coeficientul de variație pătratic este cea mai populară măsură relativă a variației:

Valoarea criteriului Coeficientul patratic de variație V este 0,333 sau 33,3%, adică dacă V este mai mic sau egal cu 0,333, variația este considerată slabă, iar dacă este mai mare de 0,333, este considerată puternică. În caz de variație puternică, se ia în considerare populația statistică studiată eterogen, iar valoarea medie este atipicși nu poate fi folosit ca indicator general al acestei populații.

În exemplul despre un elev, în care mai sus, găsim coeficientul pătratic de variație V = 0,707/4 = 0,177, care este mai mic decât valoarea criteriului de 0,333, ceea ce înseamnă că variația este slabă și egală cu 17,7%.

Subiectul 4

Întrebări principale: 1. Valori statistice absolute.

2. Tipuri de mărimi statistice absolute.

3. Valori relative.

4. Tipuri de mărimi relative.

5. Valoarea medie. Tipuri de medii.

6. Media aritmetică.

7. Mijloc armonic.

8. Media geometrică.

9. Pătrat mediu și cubic mediu.

10. Medii structurale.

11. Relații dintre media aritmetică, mediană și mod în distribuțiile statistice.

1.Valori statistice absolute. Pentru a reflecta dimensiunea și volumul fenomenelor, valorile absolute sunt utilizate în statistici. Valoarea absolută (A.V.) este obținută ca urmare a unui rezumat al materialului statistic. A.V. sunt exprimate în unități diferite măsurători - naturale, cost (monetare), condiționate, forță de muncă.

1) Unitățile naturale de măsură caracterizează amploarea și mărimea fenomenelor studiate. Ele sunt exprimate în metri, tone, litri etc. Unitățile naturale pot fi însumate doar pentru produse omogene, nu puteți adăuga tone de oțel cu metri de țesătură.

2) Unitățile de cost sunt utilizate pentru evaluarea multor indicatori statistici în termeni monetari: mărimea cifrei de afaceri din comerțul cu amănuntul, PIB-ul, venitul personal etc.

3) Condițional. În unele cazuri, nu toate tipurile de produse omogene pot fi rezumate. Nu puteți adăuga săpun (deoarece are un procent diferit de conținut de grăsime), combustibil ( conținut caloric diferit), etc. U.e.i. folosit pentru a contabiliza produsele omogene de diverse soiuri. De exemplu, conservele sunt produse în borcane de diferite capacități. Prin urmare, ele sunt numărate în mii de borcane convenționale. Greutatea netă a produsului este de 400 de grame pentru o cutie convențională.

4) Unități de măsură a muncii - ore-om, zile-om etc. Folosit pentru a măsura resursele de muncă și costurile forței de muncă.

2.Tipuri de mărimi statistice absolute. Prin expresie:

1) Persoană fizică - A.V., care caracterizează dimensiunea unei caracteristici în unități individuale ale populației (de exemplu, salariul unui angajat individual, dimensiunea suprafeței însămânțate a unei anumite ferme). Ele se obțin direct în procesul de observare statistică și se înregistrează în documentele contabile primare.

2) Total A.V. – exprimă valoarea uneia sau alteia caracteristici a tuturor unităților populației studiate sau a grupurilor sale individuale și se obțin ca urmare a însumării individuale A.V. (salariu conform intreprinderii).

A.V. sunt întotdeauna numere numite. Ele sunt exprimate în anumite unități de măsură (kg, buc, tone, ha, m etc.).

În activități practice în absență informatiile necesare valorile absolute sunt obținute prin calcul, de exemplu, pe baza legăturii bilanțului:

unde este stocul la începutul perioadei; – chitanțe aferente perioadei; – cheltuieli aferente perioadei; – stoc la sfarsitul perioadei.

Valorile statistice absolute sunt utilizate pe scară largă în analiza și prognoza stării și dezvoltării fenomenelor vieții sociale.

Pe baza A.V. calculați cantități relative.

3.Valori relative (R.V.). Ele se obțin prin împărțirea unei cantități la alta. Numărătorul raportului este valoarea comparată, se numește actual sau raportare cantitate, numitorul raportului se numește bază de comparație sau bază de comparație.

Dacă baza de comparație este 100, atunci O.V. exprimat în (%), dacă baza de comparație este 1.000 – ppm (‰), 10.000 – în prodecimile (‰0).

Cantitățile comparate pot fi cu același nume sau diferite. Dacă se compară valorile cu același nume, acestea sunt exprimate în coeficienți, procente, ppm. La compararea diferitelor valori, denumirile valorilor relative se formează din denumirile valorilor comparate: densitatea populației - oameni/km 2, randament - c/ha etc.

4.Tipuri de valori relative (indicatori).

1) ținta planului - GPZ;

2) implementarea planului - OPVP;

3) difuzoare (OPD);

4) structuri (d);

5) intensitatea și nivelul de dezvoltare;

6) coordonare (OPK);

7) comparații (OPS).

1) OPZ- servește pentru planificare. Se calculează prin raportul dintre nivelul planificat pentru perioada următoare (P) și nivelul indicatorului atins în perioada anterioară ():

2) OPVP– servește la compararea rezultatelor efectiv atinse cu cele planificate anterior.

– nivelul atins în perioada curentă; - planifică pentru aceeași perioadă.

3) OPD– caracterizează modificarea nivelului unui fenomen economic în timp și se obține prin împărțirea nivelului unui atribut pentru o anumită perioadă sau moment în timp la nivelul aceluiași indicator din perioada sau momentul precedent. În alt fel, ele sunt numite rate de creștere. Calculat în coeficienți sau %.

4) d– caracterizați componența populației studiate, ponderile, proporția elementelor populației în rezultat generalși reprezintă raportul dintre o parte din unitățile populației () și numărul total de unități populației ():

5) Intensitatea și nivelul de dezvoltare– caracterizează gradul de saturaţie sau dezvoltare acest fenomenîntr-un anumit mediu, sunt denumite și pot fi exprimate în mai multe rapoarte, %, ‰ și alte forme.

6) industria de apărare– caracterizează relația dintre părțile populației studiate cu una dintre ele, luată ca bază de comparație. Ele arată de câte ori o parte a unei populații este mai mare decât alta sau câte unități dintr-o parte sunt egale cu 1, 10, 100, 1000 de unități dintr-o altă parte. Aceste valori relative pot fi calculate atât prin indicatori absoluti, cât și prin indicatori structurali.

7) OPS– caracterizează relațiile acelorași indicatori absoluti sau relativi corespunzători aceleiași perioade sau momente în timp, dar care se referă la obiecte sau teritorii diferite.

5.Valoarea medie. Tipuri de medii.

Definiţie: Valoarea medie în statistică este un indicator general care caracterizează nivelul tipic al unui fenomen în condiții specifice de loc și timp, reflectând valoarea unei caracteristici variabile pe unitatea de populație omogenă calitativ.

Tipuri de medii: 1) aritmetică;

2) armonică;

3) geometric;

4) pătratică;

5) cubic.

Toate aceste medii aparțin clasei mediilor de putere și sunt unite prin formula generală (pentru valori diferite m):

unde este valoarea medie a fenomenului studiat;

– indicator grad mediu;

– valoarea curentă a caracteristicii care se face media;

– numărul de semne.

În funcție de valoarea exponentului m, se disting următoarele tipuri de medii de putere:

at – medie armonică;

la – medie geometrică;

la – medie aritmetică;

la – rădăcină medie pătrată;

la – cubic mediu .

Când se utilizează aceleași date, cu cât m este mai mare, cu atât valoarea medie este mai mare:

– regula majorării mediilor.

Tipul de medie este selectat în fiecare caz printr-o analiză specifică a populației studiate, este determinat de conținutul material al fenomenului studiat.

6.Media aritmetică.

a) Media aritmetică simplă este utilizat în cazurile în care volumul unei caracteristici variabile pentru întreaga populație este suma valorilor caracteristicilor unităților sale individuale (cele mai frecvente).

Este adesea necesar să se calculeze media folosind medii de grup sau medii ale părților individuale ale populației (medii parțiale), adică media mediilor. Deci, de exemplu, durata medie Speranța de viață a cetățenilor unei țări este media speranței medii de viață pentru anumite regiuni ale unei țări date.

Media valorilor medii se calculează folosind următoarea formulă, numărând:

unde este numărul de unități din fiecare grupă.

Proprietățile valorilor medii:

1. Dacă toate valorile individuale ale unei caracteristici sunt reduse (mărite) cu un factor, atunci valoarea medie a noii caracteristici va scădea (crește) în mod corespunzător cu un factor.

2. Dacă variantele caracteristicii care se face media se reduc (măresc) cu , atunci media aritmetică va scădea (crește) în mod corespunzător cu același număr.

3. Dacă ponderile tuturor opțiunilor mediate scad (cresc) cu un factor, atunci media aritmetică nu se va modifica.

4. Suma abaterilor de la medie este zero.

7.Mijloc armonic. Folosit în cazurile în care frecvențele pentru opțiuni individuale nu sunt cunoscute x totalitate, iar munca lor este prezentată. Să notăm acest produs cu , apoi obținem formula pentru media ponderată armonică:

este o formă transformată și este identică cu aceasta. În schimb, puteți calcula întotdeauna, dar pentru a face acest lucru trebuie să determinați ponderile valorilor individuale ale atributului ascunse în ponderile mediei armonice.

În cazurile în care ponderea fiecărei opțiuni este egală cu unu, înseamnă simplu armonic:

unde sunt variante individuale ale caracteristicii inverse, care apar o singură dată,

– numărul de opțiuni.

Dacă mediile armonice sunt date pentru două părți ale populației (număr și ), atunci media armonică globală pentru întreaga populație poate fi reprezentată ca o medie armonică ponderată a mediilor de grup:

8.Medie geometrică. Este utilizat atunci când valorile individuale ale atributului sunt caracterizate de coeficientul mediu de creștere (acestea sunt, de regulă, valori de dinamică relativă, construite sub formă de valori în lanț, ca raport față de nivelul anterior al fiecărui nivel în seria dinamicii). Calculat prin formula:

– numărul de opțiuni; - semnul lucrării.

Este cel mai utilizat pentru a determina rata medie de schimbare în seriile de timp, precum și în seria de distribuție (vom lua în considerare utilizarea sa mai târziu).

9.Pătrat mediu și cubic mediu.

– utilizat pentru a calcula dimensiunea medie a laturii a n secțiuni pătrate, diametre ale conductelor etc.

Definiţie:Mode () – valoarea unei variabile aleatoare care apare cu cea mai mare probabilitate într-o serie de variații discrete – opțiunea care are cea mai mare frecvență.

Utilizat pe scară largă în studierea cererii clienților, înregistrarea prețurilor etc.

Formula de calcul:

unde este limita inferioară a intervalului modal;

– frecvențe în intervalul modal, anterior și următor (respectiv).

Intervalul modal este determinat de cea mai mare frecvență.

Definiţie:Mediana este o opțiune care se află la mijlocul seriei de variații.

Împarte seria în două părți egale (după numărul de unități) - cu valori ale atributelor mai mici decât mediana și cu valori ale atributelor mai mari decât mediana.

Modul și mediana, de regulă, diferă de valoarea medie, coincid cu aceasta numai în cazul unei distribuții de frecvență simetrice a seriei de variații. Prin urmare, raportul dintre mod, mediană și medie aritmetică ne permite să evaluăm asimetria seriei de distribuție.

Modul și mediana sunt de obicei complementare cu media populației și sunt utilizate în statistica matematică pentru a analiza forma seriei de distribuție.

Similar cu mediana, se calculează valorile unei caracteristici, împărțind populația în patru părți egale (cu numărul de unități) - cuartile, în cinci - chintile, în zece - decile, în o sută - percentile.