6.1. पद्धति संबंधी निर्देश

औसत सांख्यिकीय संकेतक का एक रूप है।

औसत मूल्य सुचारू हो गया है व्यक्तिहालाँकि, जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों की विशेषताएँ मुख्य बात तो सामने आ गई, बुनियादी, विशिष्ट, जो समग्रता को समग्र रूप से चित्रित करता है।

औसत मूल्य -यह सामान्यीकरणसूचक लक्षण वर्णन ठेठगुणात्मक रूप से प्रति इकाई अलग-अलग विशेषताओं का स्तर सजातीयस्थान और समय की विशिष्ट परिस्थितियों में समुच्चय।

सामान्यीकरणसूचक एक सूचक है जो समग्र रूप से जनसंख्या की विशेषता बताता है।

सजातीयएक समुच्चय एक ऐसा समुच्चय है जिसकी इकाइयाँ सामान्य मूलभूत कारणों और विकास की स्थितियों के प्रभाव में बनती हैं जो किसी दिए गए लक्षण के सामान्य स्तर, अध्ययन के तहत संपूर्ण जनसंख्या की विशेषता को निर्धारित करती हैं।

औसत मूल्य की गणना गुणात्मक रूप से की गई विजातीयसमुच्चय, काल्पनिक, अंधाधुंध.

औसत मूल्यों की गणना के लिए अनिवार्य शर्तें

• 1. औसत मूल्य की गणना निम्न के आधार पर की जानी चाहिए:
  • क) गुणात्मक रूप से सजातीय जनसंख्या;
  • बी) बड़े पैमाने पर विश्वसनीय डेटा;
  • ग) तुलनीय डेटा (क्षेत्र, समय, माप की इकाइयों, गणना विधियों, आदि द्वारा)।
• 2. सामान्य औसत मूल्य आवश्यक रूप से अलग-अलग समूहों के लिए गणना किए गए अन्य औसत मूल्यों, औसत की जा रही विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों और अन्य संकेतकों के औसत से पूरक होना चाहिए।

इन शर्तों के अनुपालन से हमें घटना का वस्तुनिष्ठ विवरण प्राप्त करने और सही प्रबंधन निर्णय लेने की अनुमति मिलेगी।

उदाहरण के लिए, 2015 में, औसत मासिक नाममात्र अर्जित वेतन रूसी संघअर्थव्यवस्था में कुल मिलाकर 34,030 रूबल की राशि थी, जिसमें 15,758 रूबल शामिल थे। कपड़ा और परिधान उत्पादन में (यह सबसे कम वेतन है), 81,605 रूबल। - कोक और पेट्रोलियम उत्पादों के उत्पादन में (उच्चतम मजदूरी)।

आर्थिक व्यवहार में वे उपयोग करते हैं विभिन्न प्रकारऔसत, जिन्हें दो समूहों में विभाजित किया गया है: पावर औसत और संरचनात्मक औसत।

पावर औसत:

• 1) अंकगणित माध्य;
• 2) हार्मोनिक माध्य;
• 3) ज्यामितीय माध्य;
• 4) माध्य वर्ग;
• 5) औसत घन, आदि।

संरचनात्मक औसत: पहनावा; माध्यिका; चतुर्थक; डेसिल्स, आदि (अध्याय 7 में चर्चा की जाएगी)।

औसत मूल्य की गणना के लिए एक विशिष्ट सूत्र का चुनाव इस पर निर्भर करता है:

• 1) से अर्थ सूत्र,वे। औसत विशेषता का सार, इसकी सामग्री, अंतिम (परिभाषित) संकेतक के साथ संबंध;
• 2) शोधकर्ता के लिए उपलब्ध डेटा;
• 3) औसत की जा रही विशेषता की भिन्नता (उतार-चढ़ाव) की डिग्री।

अंतिम (परिभाषित) अनुक्रमणिका -यह एक सूचक है, एक मूल्य है

जो कि विशेषता (Xj) के सभी व्यक्तिगत मानों को X के औसत मान से प्रतिस्थापित करने पर नहीं बदलेगा।

परिभाषित सूचक या तो अंश में या अर्थ सूत्र के हर में है।

सवाल।ओवी के औसत की गणना के लिए सिमेंटिक फॉर्मूला कैसे बनाएं?

एक अनुभवी सांख्यिकीविद् की सलाह.औसत मूल्य की गणना के लिए अर्थपूर्ण (तार्किक) सूत्र रिश्तेदारसंकेतक मेल खाते हैं

की गणना के लिए सूत्र के साथ रिश्तेदारसूचक.

शब्दार्थ सूत्र दोषों का औसत प्रतिशतगणना सूत्र से मेल खाता है संरचना का सापेक्ष आकार(उत्पादन की कुल मात्रा में दोषों का हिस्सा):

शक्ति औसतों के बीच एक निश्चित मात्रात्मक संबंध होता है, जिसे कहा जाता है बहुमत नियम:

सवाल।क्या औसत मूल्य की गणना के लिए एक सूत्र को दूसरे से बदलना संभव है और किस मामले में?

एक अनुभवी सांख्यिकीविद् की सलाह.यदि किसी चिन्ह की परिवर्तनशीलता छोटा,

यदि विशेषता (X|) के मान एक दूसरे के करीब हैं, तो अधिक जटिल

औसत मान को सरल मान से बदला जा सकता है।

उदाहरण के लिए, ज्यामितीय माध्य के बजाय अंकगणितीय माध्य का उपयोग करें।

यह अध्याय दो प्रकार के औसतों की जांच करेगा: अंकगणितीय माध्य और हार्मोनिक माध्य।

कार्यशाला के निम्नलिखित अध्यायों में अन्य प्रकार के औसतों का अध्ययन किया जाएगा।

तालिका 6.1 अंकगणितीय माध्य और हार्मोनिक माध्य की गणना के लिए बुनियादी सूत्र प्रस्तुत करती है।

तालिका 6.1

अंकगणितीय माध्य और हार्मोनिक माध्य की गणना

समापन

आर्थिक गणना के अभ्यास में, औसत का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। अंकगणितआकार।

तालिका 6.2 अंकगणितीय माध्य के कुछ गुणों का वर्णन करती है, जिनका व्यापक रूप से गणना को नियंत्रित करने और सरल बनाने के लिए उपयोग किया जाता है।

तालिका 6.2

अंकगणित माध्य के गुण

अंकगणित माध्य की संपत्ति	FORMULA
1. कोईऔसत मान औसत की जा रही विशेषता के सबसे छोटे मान से कम या अधिक नहीं हो सकता उच्चतम मूल्यकुल मिलाकर
2. यदि प्रत्येकविशेषता का मान उसी संख्या से बढ़ाया या घटाया जाता है, तो औसत मान तदनुसार बदल जाएगा
3. यदि प्रत्येकविशेषता का मूल्य समान संख्या में बढ़ाया या घटाया जाता है, तो औसत मूल्य तदनुसार बदल जाएगा
4. यदि वज़नसभी विकल्पों को एक ही संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो औसत मूल्य नहीं बदलेगा
परिणाम: औसत की गणना करते समय, विशिष्ट गुरुत्व का उपयोग वजन के रूप में किया जा सकता है
5. व्यक्तिगत विकल्पों के औसत से विचलन का योग शून्य है

क्षणों की विधि का उपयोग करके औसत मूल्य की गणना

अंकगणितीय माध्य के गुण विशेष रूप से औसत मानों की गणना को सरल बनाना संभव बनाते हैं अलगविविधता श्रृंखला, साथ ही साथ के लिए भी मध्यान्तरपंक्तियों बराबरी के साथअंतरालों पर। आइए इसे एक उदाहरण से स्पष्ट करें।

तालिका 6.3

समाधान।तालिका 6.3 एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला प्रस्तुत करती है बराबरअंतरालों पर। विशेषता (x) के मान के रूप में, हम प्रत्येक अंतराल (कॉलम 1) के मध्य को लेते हैं।

आइए हम सहमत हों कि खुले अंतराल की चौड़ाई उसके निकटवर्ती बंद अंतराल की चौड़ाई के बराबर होगी।

आइए श्रमिकों की एक टीम के औसत आउटपुट की गणना सामान्य (सरलीकृत नहीं) तरीके से करें:

गणनाएँ तालिका के कॉलम 3, 4 में प्रस्तुत की गई हैं। 6.3.

2. सशर्त औसत (रूपांतरित विकल्पों का औसत) की गणना करें:

गणनाएँ तालिका के कॉलम 5 में प्रस्तुत की गई हैं। 6.3.

3. आइए सशर्त औसत (x) से वास्तविक (x) की ओर बढ़ें, जिसके लिए हम उन कार्यों को करेंगे जो हमने उल्टे क्रम में किए थे एक्स

परिणाम सरलीकृत विधि का उपयोग करके गणना के साथ मेल खाता है।

एक अनुभवी सांख्यिकीविद् की सलाह.यदि भिन्नता श्रृंखला के साथ बराबरअंतराल, तो तालिका के कॉलम 1 और 3 की गणना करने की आवश्यकता नहीं है। कॉलम 2 (/-आवृत्ति) के तुरंत बाद हम कॉलम x भरते हैं।" इस कॉलम के केंद्र में हम 0 लिखते हैं। इस अंतराल का मध्य x 0 होगा, और अंतराल की चौड़ाई होगी एच(तालिका 6.4).

तालिका 6.4

क्षणों की विधि का उपयोग करके औसत आउटपुट की गणना

6.2. विशिष्ट समस्याओं का समाधान

समस्या 6.1.औसत मासिक की गणना करें वेतनतालिका के अनुसार चालू वर्ष में उद्यम के कर्मचारी। 6.5.

समाधान।औसत मूल्य की गणना एक अर्थ सूत्र लिखने से शुरू होनी चाहिए।

सिमेंटिक (.तार्किक) औसत वेतन फॉर्मूला:

औसत वेतन के लिए एल्गोरिदम (गणना सूत्र) इस बात पर निर्भर करता है कि शोधकर्ता के पास कौन सा सांख्यिकीय डेटा है।

आइए कई विकल्पों पर विचार करें।

मैं विकल्प.यदि यह ज्ञात है कि चालू वर्ष में उद्यम के श्रमिकों के लिए महीने के लिए वेतन निधि 2804 हजार रूबल थी, और 72 लोगों ने उद्यम में काम किया था, तो औसत वेतन की गणना सीधे सिमेंटिक फॉर्मूला 6.2 में प्रतिस्थापित करके की जा सकती है। वेतन निधि और कर्मचारियों की संख्या के बारे में हमें ज्ञात डेटा:

निष्कर्ष।इस वर्ष, उद्यम के श्रमिकों को प्रति माह औसतन 38.9 हजार रूबल मिले।

विकल्प II.उद्यम की व्यक्तिगत कार्यशालाओं के लिए वेतन और श्रमिकों की संख्या पर डेटा ज्ञात है (तालिका 6.5)।

तालिका 6.5

प्रति माह उद्यम की व्यक्तिगत कार्यशालाओं में वेतन और कर्मचारियों की संख्या

समाधान।औसत वेतन का अर्थपूर्ण (तार्किक) सूत्र नहीं बदला है (सूत्र 6.2)। हालाँकि, अर्थ सूत्र का न तो अंश और न ही हर सीधेअज्ञात, लेकिन तालिका में डेटा का उपयोग करके उनकी गणना की जा सकती है। 6.5.

आइए चुनें प्रतीक(तालिका 6.6)।

शब्दार्थ सूत्र के अंश की गणना करने के लिए - "उद्यम श्रमिकों का वेतन निधि", यह आवश्यक है प्रत्येक के लिएउद्यम की कार्यशाला, श्रमिकों के वेतन (X) को श्रमिकों की संख्या (/) से गुणा करें, और फिर, प्रत्येक कार्यशाला के लिए वेतन निधि प्राप्त करें (एक्सएफ),उनके मूल्यों को जोड़ें, इस प्रकार समग्र रूप से उद्यम के लिए वेतन निधि की गणना करें:

गणना के परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 6.6.

तालिका 6.6

प्रति माह उद्यम श्रमिकों के औसत वेतन की गणना (अंकगणितीय भारित औसत)

तब उद्यम के लिए औसत वेतन (X) बराबर होगा:

औसत वेतन की गणना औसत सूत्र का उपयोग करके की गई थी अंकगणितभारित.

सवाल।औसत मान की गणना किस सटीकता से की जानी चाहिए?

एक अनुभवी सांख्यिकीविद् की सलाह.औसत मूल्य की गणना में सटीकता की डिग्री औसत संकेतकों की सटीकता की डिग्री से अधिक होनी चाहिए, खासकर जब उनके मान छोटे हों।

हमारे मामले में, उद्यम की व्यक्तिगत कार्यशालाओं के लिए वेतन की गणना एक पूर्ण संख्या (32; 48; 39) तक की सटीकता के साथ की जाती है, और औसत वेतन की गणना उच्च सटीकता के साथ की जाती है, एक संख्या के दसवें हिस्से तक। (38.9).

सवाल।क्या औसत मूल्य की गणना की शुद्धता की जांच करना संभव है?

एक अनुभवी सांख्यिकीविद् की सलाह.कोईऔसत मूल्य न्यूनतम मूल्य से अधिक होना चाहिए और औसत विशेषता के अधिकतम मूल्य से कम होना चाहिए (किसी भी औसत मूल्य की संपत्ति):

हमारे मामले में, यह आवश्यकता पूरी होती है:

परिणामस्वरूप, गणना में कोई बड़ी त्रुटि नहीं हुई।

निष्कर्ष।इस वर्ष, उद्यम के कर्मचारियों का प्रति माह औसत वेतन 38.9 हजार रूबल था। सबसे अधिक वेतन वर्कशॉप नंबर 2 में था - 48 हजार रूबल प्रति व्यक्ति, सबसे कम वर्कशॉप नंबर 1 में - 32 हजार रूबल प्रति व्यक्ति।

सवाल।यदि केवल औसत मूल्य की गणना के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए? भाजकशब्दार्थ सूत्र, लेकिन अंश ज्ञात नहीं है, लेकिन क्या इसकी गणना की जा सकती है?

एक अनुभवी सांख्यिकीविद् की सलाह.यदि केवल ज्ञात हो भाजकअर्थ सूत्र, और अंश ज्ञात नहीं है, लेकिन इसकी गणना औसत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है; अंकगणितभारित:

तृतीय विकल्प.महीने के लिए उद्यम की व्यक्तिगत कार्यशालाओं के लिए श्रमिकों के वेतन और वेतन निधि पर डेटा ज्ञात है (तालिका 6.7)।

तालिका 6.7

प्रति माह उद्यम की व्यक्तिगत कार्यशालाओं में वेतन और कर्मचारियों की संख्या

समाधान।औसत वेतन का अर्थपूर्ण (तार्किक) सूत्र वही रहता है (6.2)।

हालाँकि, अर्थ सूत्र का न तो अंश और न ही हर सीधेअज्ञात। लेकिन उनकी गणना तालिका में दिए गए आंकड़ों के अनुसार की जा सकती है। 6.7.

शब्दार्थ सूत्र के हर की गणना करने के लिए - "उद्यम के श्रमिकों की संख्या", यह आवश्यक है प्रत्येक के लिएवेतन निधि को विभाजित करने हेतु कार्यशाला ( एम) श्रमिकों की संख्या (एक्स) से और परिणामी डेटा जोड़ें:

गणना के परिणाम तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं। 6.8.

तालिका 6.8

प्रति माह उद्यम श्रमिकों के औसत वेतन की गणना (भारित हार्मोनिक औसत)

गणना भारित हार्मोनिक माध्य सूत्र का उपयोग करके की गई थी।

इंतिहान:

सवाल।यदि केवल औसत मूल्य की गणना करने के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए? मीटरशब्दार्थ सूत्र, लेकिन हर ज्ञात नहीं है, लेकिन इसकी गणना की जा सकती है?

एक अनुभवी सांख्यिकीविद् की सलाह.यदि केवल ज्ञात हो मीटरअर्थ सूत्र, और हर ज्ञात नहीं है, लेकिन औसत सूत्र का उपयोग करके औसत की गणना की जा सकती है; लयबद्धभारित:

चतुर्थ विकल्प.यह संभव है कि न तो वेतन निधि और न ही श्रमिकों की संख्या पर डेटा ज्ञात है और इसकी गणना नहीं की जा सकती है। हालाँकि, वेतन के बारे में जानकारी उद्यम की प्रत्येक कार्यशाला के लिए जानी जाती है, अर्थात। औसत विशेषता (xj) के मान दिए गए हैं (तालिका 6.9)।

तालिका 6.9

प्रति माह उद्यम श्रमिकों का वेतन

समाधान।इस मामले में, औसत वेतन की गणना औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है अंकगणित सरलवेतन डेटा के आधार पर (श्रमिकों की संख्या की जानकारी को ध्यान में रखे बिना):

इंतिहान:

सवाल।लेकिन कौन सा फॉर्मूला औसत मूल्य की गणना कर सकता है अगर हम जानते हैं केवल विशेषता के मूल्यों का औसत किया जा रहा हैजनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों में?

एक अनुभवी सांख्यिकीविद् की सलाहयदि अर्थ सूत्र का न तो अंश और न ही हर ज्ञात है, लेकिन जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों के लिए औसत विशेषता के मान ज्ञात हैं, तो औसत मूल्य की गणना औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है अंकगणित सरल:

जैसा कि हम देखते हैं, मजदूरी की गणना अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है सरलऔर अंकगणित माध्य भारित, मात्रात्मक रूप से मेल नहीं खाते:

एक अनुभवी सांख्यिकीविद् की सलाह.अंकगणित औसत भारितहमेशा अंकगणितीय माध्य से अधिक सटीक परिणाम देता है सरल,चूँकि यह अधिक कारकों को ध्यान में रखता है जो औसत मूल्य का मूल्य निर्धारित करते हैं।

हमारे मामले में, अंकगणितीय माध्य सरलकेवल व्यक्तिगत कार्यशालाओं में वेतन के प्रसार और अंकगणितीय औसत को ध्यान में रखा जाता है भारितइसमें प्रत्येक वेतन मूल्य प्राप्त करने वाले श्रमिकों की संख्या को भी ध्यान में रखा जाता है।

समस्या 6.2. मेंपिछले साल, ऑर्गन संगीत समारोहों के टिकट 800, 1000 और 1200 रूबल में खरीदे जा सकते थे। मेंइस साल टिकटों की कीमत में 100 रूबल की बढ़ोतरी हुई है।

समाधान।

1. औसत टिकट कीमत की गणना करें भूतकाल मेंवर्ष।

औसत कीमत का सार्थक सूत्र:

चूँकि हम अर्थ सूत्र के अंश या हर को नहीं जानते हैं, लेकिन हम औसत विशेषता (कीमत) के मूल्यों को जानते हैं, हम केवल अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग कर सकते हैं सरल"।

इंतिहान:

निष्कर्ष।पिछले साल, ऑर्गन संगीत समारोहों के टिकट औसतन 967 रूबल प्रति पीस के हिसाब से बेचे गए थे।

2. औसत टिकट कीमत की गणना करें धारा मेंवर्ष।

इंतिहान:

के लिए सरलीकरणउनकी सटीकता खोए बिना गणना, हम औसत मूल्य की संपत्ति का उपयोग करते हैं (तालिका 6.2, संपत्ति 2):

यदि चालू वर्ष में कीमतें हैं सभीतब टिकटों में 100 रूबल की बढ़ोतरी की गई थी औसतइस वर्ष कीमत 100 रूबल होगी। अधिक पिछले सालऔसत मूल्य:

निष्कर्ष।इस साल, ऑर्गन संगीत समारोहों के टिकट औसतन 1,067 रूबल प्रति पीस के हिसाब से बिकेंगे।

एक अनुभवी सांख्यिकीविद् की सलाह.अगर प्रत्येकविशेषता (X) का मान उसी संख्या से बढ़ता (घटता) है, फिर औसत मान का मान उसी संख्या से बढ़ता (घटता) है।

समस्या 6.3.ऑर्गन संगीत समारोहों के लिए टिकटों की औसत कीमत की गणना करें यदि आप जानते हैं कि पिछले साल 33% टिकट 1200 रूबल की कीमत पर बेचे गए थे, 57% - 900 रूबल पर। और 10% - 800 रूबल प्रत्येक।

समाधान।हम शब्दार्थ सूत्र के अंश या हर को नहीं जानते हैं और समस्या की स्थितियों के अनुसार उनकी गणना करना असंभव है:

हालाँकि, निर्धारित करें औसतटिकटों की कीमत संभव है यदि आप औसत मूल्य की संपत्ति का उपयोग करते हैं (तालिका 6.2): ​​यदि वजन (जे) हर कोईविशेषता मान ( एक्स) एक ही संख्या से गुणा या भाग करने पर औसत मान नहीं बदलेगा।

इस तरह,

निष्कर्ष।पिछले साल, ऑर्गन संगीत समारोहों के टिकट औसतन 989 रूबल प्रति पीस के हिसाब से बेचे गए थे।

समझाइए क्यों औसत मूल्यसमस्या 6.2 और 6.3 में टिकट मेल नहीं खाते।

एक अनुभवी सांख्यिकीविद् की सलाह.विशिष्ट गुरुत्व का उपयोग भार (/) के रूप में किया जा सकता है। औसत मूल्य नहीं बदलेगा.

आइए औसत मूल्य की गणना करें मध्यान्तरपरिवर्तन संबंधी

समस्या 6.4.तालिका के अनुसार 6.10 औसत के प्रकार को दर्शाते हुए, प्रति पाली टीम के श्रमिकों के औसत आउटपुट की गणना करें।

तालिका 6.10

उत्पादन द्वारा चालक दल के श्रमिकों का वितरण

समाधान।प्रति पाली किसी टीम के श्रमिकों के औसत आउटपुट की गणना करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

समस्या की स्थितियों के अनुसार, हम शब्दार्थ सूत्र (ब्रिगेड में श्रमिकों की संख्या) के हर को जानते हैं, लेकिन अंश (ब्रिगेड के प्रति शिफ्ट के श्रमिकों द्वारा उत्पादन आउटपुट) नहीं है, लेकिन इसे पाया जा सकता है प्रत्येक समूह के लिए श्रमिकों के उत्पादन को श्रमिकों की संख्या से गुणा करना। इसलिए, भारित अंकगणितीय औसत सूत्र को लागू करना आवश्यक है:

हालाँकि, कार्यकर्ता आउटपुट पर डेटा फॉर्म में प्रस्तुत किया गया है अंतराल,वे। हम विशेष रूप से नहीं जानते कि उत्पादन की कितनी इकाइयों का उत्पादन किया गया प्रत्येककार्यकर्ता. हम तो यही जानते हैं कि हर कार्यकर्ता प्रथम है समूह 10 से कम उत्पाद जारी किए, दूसरा - 10 से 16 उत्पाद, आदि। प्रत्येक अंतराल से उत्पादन मूल्य के रूप में क्या मूल्य लिया जाना चाहिए?

एक अनुभवी सांख्यिकीविद् की सलाह.यदि डेटा प्रपत्र में प्रस्तुत किया गया है मध्यान्तरश्रृंखला, फिर फीचर (X) के मान के रूप में हम लेते हैं मध्यप्रत्येक अंतराल.

पहला अंतराल "10 तक" खुला है, क्योंकि इसकी कोई निचली सीमा नहीं है। सबसे पहले, आइए इस अंतराल को "बंद" करें, सशर्तइसकी निचली सीमा को परिभाषित करना।

सवाल।खुले अंतराल को कैसे बंद करें?

एक अनुभवी सांख्यिकीविद् की सलाह.परिमाण खुलाअंतराल को बराबर माना जाता है पड़ोसीइसके साथ एक बंद अंतराल है.

आसन्न बंद अंतराल "10-16" का मान 6=16-10 है, इसलिए, पहले अंतराल की निचली सीमा 4 = 10-6 होगी इसलिए पहला अंतराल "4-10" है।

अंतिम अंतराल "22 और उससे ऊपर" भी खुला है। उस्के पास नही है शीर्षसीमाओं। आसन्न बंद अंतराल का मान 6 = 22 - 16 है, इसलिए, खुले अंतराल की ऊपरी सीमा 22 + 6 = 28 होगी। अंतिम अंतराल: "22-28"।

आइए तालिका में समाधान को औपचारिक रूप दें। 6.11.

हम सरल अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक समूह के लिए अंतराल के मध्य की गणना करते हैं। उदाहरण के लिए, पहले समूह के लिए (पहला अंतराल):

तालिका 6.11

अंतराल डेटा के आधार पर श्रमिकों के औसत उत्पादन की गणना

पंक्ति

औसत उत्पादन के लिए सार्थक सूत्र:

सिमेंटिक फ़ॉर्मूले और हमारे पास मौजूद डेटा के आधार पर, हम भारित अंकगणितीय औसत फ़ॉर्मूले का उपयोग करके औसत वेतन की गणना करेंगे:

इंतिहान:

निष्कर्ष।कार्य टीमों ने प्रति पाली औसतन 16 उत्पाद तैयार किए।

6.3. स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

चतुर और सक्षम वह है जो किसी बात पर संदेह होने पर पूछता है।

ली शिन-इन

कार्य 6.1.निम्नलिखित संकेतकों की गणना के लिए एक तार्किक (अर्थ संबंधी) सूत्र लिखें:

• 1) औसत आलू उपज;
• 2) योजना पूर्ण होने का औसत प्रतिशत;
• 3) औसत वेतनएक कार्यकर्ता;
• 4) प्रीमियम उत्पादों का औसत प्रतिशत;
• 5) उत्पादन की प्रति इकाई औसत लागत;
• 6) माल की औसत कीमत;
• 7) औसत लाभप्रदता।

कार्य 6.2.तालिका भरना 6.12, प्रत्येक तिमाही के लिए गणना करें चालू वर्षकुल मिलाकर तीनों टीमों के लिए दोषपूर्ण उत्पादों का औसत प्रतिशत। गणना के लिए प्रयुक्त औसत मानों के प्रकार का नाम बताइए। अपने परिणामों का विश्लेषण करें.

तालिका 6.12

तीन असेंबली टीमों के लिए आर्थिक संकेतक

कार्यशालाएं

कार्य 6.3.तालिका भरना 6.13, चालू वर्ष के प्रत्येक महीने के लिए कंपनी के तीनों उद्यमों के लिए औसत लाभप्रदता की गणना करें।

अपने परिणामों का विश्लेषण करें. गणना के लिए उपयोग किए गए औसत मानों के चयन के कारण बताएं।

तालिका 6.13

ऑर्फ़ियस कंपनी के तीन उद्यमों के लिए आर्थिक संकेतक

कार्य 6.4.चालू वर्ष में क्षेत्र के तीन कृषि उद्यमों के लिए निम्नलिखित डेटा उपलब्ध है:

• 1. प्रत्येक छमाही और वर्ष के लिए संपूर्ण तीन उद्यमों की औसत उपज की गणना करें।
• 2. वर्ष की पहली छमाही की तुलना में दूसरी छमाही में औसत उपज में परिवर्तन का अध्ययन करें। परिणाम निकालना।
• 3. बोए गए क्षेत्रों की संरचना में परिवर्तन का विश्लेषण करें।
• 4. अपनी गणना एक तालिका में पूरी करें।

कार्य 6.5.इस वर्ष फरवरी के लिए कंपनी के तीन स्टोरों में क्षेत्र की आबादी को अनाज की बिक्री पर निम्नलिखित डेटा ज्ञात है:

तालिका 6.14

इस वर्ष फरवरी के लिए अनाज की कीमत और बिक्री की मात्रा

गणना करें:

• 1) समग्र रूप से कंपनी के लिए 1 किलो अनाज की औसत कीमत। औसत मूल्य की गणना के लिए सूत्र के चयन का औचित्य सिद्ध करें। गणनाओं को तालिका के रूप में प्रस्तुत करें;
• 2) समग्र रूप से कंपनी के लिए बेचे गए अनाज की कुल मात्रा में स्टोर नंबर 1 का हिस्सा।

एक निष्कर्ष निकालो।

कार्य 6.6.तालिका के अनुसार. 6.15 प्रमाणित उत्पादों के औसत प्रतिशत की गणना करें। औसत मूल्य की गणना के लिए सूत्र के चयन के कारण बताइए।

उत्पाद की गुणवत्ता की गतिशीलता के बारे में निष्कर्ष निकालें यदि पिछली अवधि में प्रमाणित उत्पादों का औसत प्रतिशत था 70,9%.

तालिका 6.15

Kvadrat उत्पादों के प्रमाणीकरण पर डेटा

कार्य 6.7.तालिका के अनुसार. 6.16 क्षणों की विधि सहित, टीम के कार्यकर्ताओं द्वारा एक शिफ्ट कार्य को पूरा करने के औसत प्रतिशत की गणना करें।

तालिका 6.16

शिफ्ट कार्य पूरा होने के प्रतिशत के आधार पर चालक दल के कर्मचारियों का वितरण

अपनी गणनाएँ एक तालिका में प्रस्तुत करें। परिणाम निकालना।

कार्य 6.8.एक ब्रिगेड में श्रमिकों की औसत वेतन श्रेणी की गणना करें यदि 20% श्रमिकों के पास तीसरी श्रेणी है, 40% के पास चौथी, 35% के पास पांचवीं, और बाकी के पास छठी श्रेणी है। गणना के लिए उपयोग किए गए औसत मूल्य के प्रकार को इंगित करें। आपके द्वारा अपने समाधान में उपयोग किए गए औसत मूल्य की संपत्ति का नाम बताएं।

यदि पिछले वर्ष श्रमिकों की औसत वेतन श्रेणी 5.1 थी तो ब्रिगेड श्रमिकों की योग्यता कैसे बदल गई? परिणाम निकालना।

कार्य 6.9.कैफे "ओगनीओक" खरीदने की योजना बनाई 50 प्रति किलो मांस 300 रगड़/किग्रा और 80 किलो - द्वारा 270 रगड़/किलो हालाँकि, आपूर्तिकर्ता ने मांस की कीमतें 1.2 गुना बढ़ा दीं।

उस औसत मूल्य की गणना करें जिस पर वास्तव में 1 किलो मांस खरीदा गया था और औसत नियोजित खरीद मूल्य क्या था।

गणना के लिए प्रयुक्त औसत मान के प्रकार का नाम बताइए। परिणाम निकालना।

कार्य 6.10.पिछले वर्ष में, क्षेत्र की 28% आबादी की परिवार के प्रत्येक सदस्य की वार्षिक आय 180 हजार रूबल थी, 56% - 264 हजार रूबल, और बाकी - 588 हजार रूबल।

आंकड़ों को तालिका के रूप में प्रस्तुत करें। समग्र रूप से क्षेत्र के लिए प्रति व्यक्ति औसत वार्षिक पारिवारिक आय निर्धारित करें।

गणना के लिए उपयोग किए गए औसत मूल्य के प्रकार को इंगित करें। एक निष्कर्ष निकालो।

कार्य 6.11.समग्र रूप से कंपनी के लिए प्रति शेयर औसत लाभ की गणना करें, यदि कंपनी के पहले उद्यम के लिए लाभ की राशि 168.0 हजार रूबल थी, दूसरे के लिए - 228.8 हजार रूबल, तीसरे के लिए - 218.4 हजार रूबल। कंपनी के उद्यमों के लिए प्रति शेयर आय क्रमशः 6.0 थी; 5.2; 3.9 रगड़।

कंपनी के कुल लाभ में प्रत्येक उद्यम की हिस्सेदारी की गणना करें।

समस्या की गणना एक तालिका में प्रस्तुत करें। एक निष्कर्ष निकालो।

कार्य 6.12.तालिका के अनुसार. 6.17 calculate औसत उम्रसंगठन के कार्यकर्ता, औसत मूल्य के प्रकार का संकेत देते हैं।

तालिका 6.17

उम्र के अनुसार पीजेएससी "रिकॉर्ड" के श्रमिकों का वितरण

अन्वेषण करना उम्र संरचनासंगठन के कार्यकर्ता ओबी संरचना की गणना करते हुए।

अपनी गणनाएँ एक तालिका में प्रस्तुत करें। परिणाम निकालना।

कार्य 6.13.समग्र रूप से कंपनी के लिए उत्पाद की एक इकाई के निर्माण की औसत श्रम तीव्रता की गणना करें, यदि कंपनी के पहले उद्यम में उत्पादन पर खर्च किया गया समय 276 हजार मानव-घंटे था, दूसरे में - 2016 हजार मानव-घंटे। तीसरा - 3666 हजार मानव-घंटे। कंपनी के उद्यमों में उत्पाद की श्रम तीव्रता क्रमशः 4.6 थी; 11.2; 9.4 घंटे/टुकड़ा

गणना के लिए उपयोग किए गए औसत मूल्य के प्रकार को इंगित करें।

फर्म के उत्पादों के उत्पादन पर खर्च किए गए कुल समय में प्रत्येक उद्यम की हिस्सेदारी की गणना करें। परिकलित ओबी का प्रकार बताएं।

अपनी गणनाएँ एक तालिका में प्रस्तुत करें। एक निष्कर्ष निकालो।

कार्य 6.14.रूस में, कॉन्टिनेंटल हॉकी लीग (केएचएल) के 22 क्लबों में 101 विदेशी हैं, जिनमें शामिल हैं: कनाडा से 14, यूएसए से 11, यूरोप से 76। रूसी वॉलीबॉल सुपर लीग के 14 क्लबों में 17 विदेशी हैं। वीटीबी यूनाइटेड बास्केटबॉल लीग के 10 क्लबों में 53 विदेशी हैं। रूसी फुटबॉल प्रीमियर लीग में 16 क्लब हैं, जिनमें 131 विदेशी हैं। रूसी बैंडी सुपर लीग में 13 टीमें हैं और केवल 6 विदेशी हैं। नोट: सभी टीमें पुरुष हैं।

गणना करें: 1) रूसी क्लबों में विदेशी खिलाड़ियों की औसत संख्या; 2) देश के आधार पर केएचएल में विदेशी खिलाड़ियों की संरचना। एक संरचना आरेख बनाएं. परिणाम निकालना।

कार्य 6.15.इस वर्ष सितंबर के लिए रोमाश्का कैफे की व्यापार और उत्पादन गतिविधियों पर निम्नलिखित डेटा ज्ञात है:

गणना करें:

• 1) रोमाश्का कैफे ने सितंबर में औसतन किस कीमत पर सामान खरीदा? परिकलित औसत मान का प्रकार इंगित करें;
• 2) महीने के लिए प्राप्तियों की कुल मात्रा में माल के प्रत्येक बैच का हिस्सा (शेयर)। माल प्राप्तियों की लय का मूल्यांकन करें।
• 3) माल की औसत खरीद मूल्य में कितने रूबल और प्रतिशत की वृद्धि हुई, यदि अक्टूबर में सामान औसतन 127.81 रूबल/टुकड़े पर खरीदा गया था?

परिणाम निकालना।

• निष्कर्ष। टीम के प्रत्येक कार्यकर्ता ने प्रति शिफ्ट में औसतन 48 यूनिट उत्पाद का उत्पादन किया। सरलीकृत तरीके से औसत आउटपुट की आगे की गणना में, हम अंकगणितीय औसत के गुणों का उपयोग करेंगे। 1. गणना में, हम रूपांतरित विकल्प (x) को औसत विशेषता (x) के मान के रूप में लेते हैं: जहां xq और h कोई संख्याएं हैं। एक अनुभवी सांख्यिकीविद् की सलाह. सबसे बड़ा सरलीकरण प्राप्त किया जा सकता है यदि हम केंद्रीय अंतराल (x0 = 50) के मध्य को x0 के रूप में लेते हैं, और अंतराल की चौड़ाई (h = 20) को h के रूप में लेते हैं।

सारांश और समूहीकरण के परिणामों के आधार पर विश्लेषण और सांख्यिकीय निष्कर्ष प्राप्त करने के लिए, सामान्यीकरण संकेतकों की गणना की जाती है - औसत और सापेक्ष मूल्य।

औसत की समस्या - एक सांख्यिकीय जनसंख्या की सभी इकाइयों को एक विशेषता मान के साथ चिह्नित करें।

औसत मूल्य उद्यमशीलता गतिविधि के गुणात्मक संकेतकों की विशेषता रखते हैं: वितरण लागत, लाभ, लाभप्रदता, आदि।

औसत मूल्य- यह कुछ अलग-अलग विशेषताओं के अनुसार जनसंख्या की इकाइयों की एक सामान्यीकरण विशेषता है।

औसत मान आपको विभिन्न आबादी में एक ही विशेषता के स्तर की तुलना करने और इन विसंगतियों के कारणों का पता लगाने की अनुमति देते हैं।

अध्ययनाधीन परिघटनाओं के विश्लेषण में औसत मूल्यों की भूमिका बहुत बड़ी है। अंग्रेजी अर्थशास्त्री डब्ल्यू. पेटी (1623-1687) ने औसत मूल्यों का व्यापक रूप से उपयोग किया। वी. पेटी एक कार्यकर्ता के औसत दैनिक भोजन के खर्च की लागत के माप के रूप में औसत मूल्यों का उपयोग करना चाहते थे। औसत मूल्य की स्थिरता अध्ययन की जा रही प्रक्रियाओं की नियमितता का प्रतिबिंब है। उनका मानना ​​था कि जानकारी को रूपांतरित किया जा सकता है, भले ही पर्याप्त मूल डेटा न हो।

अंग्रेज वैज्ञानिक जी. किंग (1648-1712) ने इंग्लैंड की जनसंख्या पर डेटा का विश्लेषण करते समय औसत और सापेक्ष मूल्यों का उपयोग किया।

बेल्जियम के सांख्यिकीविद् ए. क्वेटलेट (1796-1874) के सैद्धांतिक विकास सामाजिक घटनाओं की विरोधाभासी प्रकृति पर आधारित हैं - जनता में अत्यधिक स्थिर, लेकिन विशुद्ध रूप से व्यक्तिगत।

ए. क्वेटलेट के अनुसार, निरंतर कारण अध्ययन की जा रही प्रत्येक घटना पर समान रूप से कार्य करते हैं और इन घटनाओं को एक-दूसरे के समान बनाते हैं, जिससे उन सभी के लिए सामान्य पैटर्न बनते हैं।

ए. क्वेटलेट की शिक्षाओं का परिणाम सांख्यिकीय विश्लेषण की मुख्य तकनीक के रूप में औसत मूल्यों की पहचान थी। उन्होंने कहा कि सांख्यिकीय औसत वस्तुनिष्ठ वास्तविकता की श्रेणी का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं।

ए. क्वेटलेट ने औसत आदमी के अपने सिद्धांत में औसत पर अपने विचार व्यक्त किए। एक औसत व्यक्ति वह व्यक्ति होता है जिसमें औसत आकार के सभी गुण (औसत मृत्यु दर या जन्म दर, औसत ऊंचाई और वजन, औसत दौड़ने की गति, विवाह और आत्महत्या के प्रति औसत झुकाव, अच्छे कार्यों के प्रति औसत झुकाव, आदि) होते हैं। ए. क्वेटलेट के लिए, औसत व्यक्ति आदर्श व्यक्ति है। ए. क्वेटलेट के औसत आदमी के सिद्धांत की असंगति रूसी सांख्यिकीय साहित्य में सिद्ध हुई थी देर से XIX-XXसदियों

प्रसिद्ध रूसी सांख्यिकीविद् यू. ई. यानसन (1835-1893) ने लिखा है कि ए. क्वेटलेट प्रकृति में एक प्रकार के औसत व्यक्ति के अस्तित्व को कुछ दिया हुआ मानते हैं, जिससे जीवन ने किसी दिए गए समाज और एक निश्चित समय के औसत लोगों को विचलित कर दिया है। , और यह उसे पूरी तरह से यांत्रिक दृष्टिकोण और सामाजिक जीवन की गति के नियमों की ओर ले जाता है: गति किसी व्यक्ति के औसत गुणों में क्रमिक वृद्धि है, प्रकार की क्रमिक बहाली है; परिणामस्वरूप, सामाजिक शरीर के जीवन की सभी अभिव्यक्तियों का ऐसा समतलीकरण होता है, जिसके आगे कोई भी आगे की गति रुक ​​जाती है।

इस सिद्धांत का सार कई सांख्यिकीय सिद्धांतकारों के कार्यों में वास्तविक मात्रा के सिद्धांत के रूप में विकसित हुआ। ए. क्वेटलेट के अनुयायी थे - जर्मन अर्थशास्त्री और सांख्यिकीविद् वी. लेक्सिस (1837-1914), जिन्होंने सच्चे मूल्यों के सिद्धांत को आर्थिक घटनाओं में स्थानांतरित कर दिया। सार्वजनिक जीवन. उनके सिद्धांत को स्थिरता सिद्धांत के नाम से जाना जाता है। औसत के आदर्शवादी सिद्धांत का दूसरा संस्करण दर्शन पर आधारित है

इसके संस्थापक अंग्रेजी सांख्यिकीविद् ए. बाउली (1869-1957) हैं - औसत के सिद्धांत के क्षेत्र में हाल के समय के सबसे प्रमुख सिद्धांतकारों में से एक। औसत की उनकी अवधारणा उनकी पुस्तक एलिमेंट्स ऑफ स्टैटिस्टिक्स में उल्लिखित है।

ए. बोले औसत मूल्यों को केवल मात्रात्मक पक्ष से मानते हैं, जिससे मात्रा को गुणवत्ता से अलग किया जाता है। औसत मूल्यों (या "उनके कार्य") का अर्थ निर्धारित करते हुए, ए. बोले सोच के मैकियन सिद्धांत को सामने रखते हैं। ए. बोले ने लिखा है कि औसत मूल्यों के कार्य को एक जटिल समूह को व्यक्त करना चाहिए

कुछ अभाज्य संख्याओं का उपयोग करके। सांख्यिकीय डेटा को सरल बनाया जाना चाहिए, समूहीकृत किया जाना चाहिए और औसत तक कम किया जाना चाहिए। ये विचार: आर. फिशर (1890-1968), जे. यूल (1871 - 1951), फ्रेडरिक एस. मिल्स (1892) आदि द्वारा साझा किए गए।

30 के दशक में XX सदी और बाद के वर्षों में, औसत मूल्य को सामाजिक रूप से महत्वपूर्ण विशेषता माना जाता है, जिसकी सूचना सामग्री डेटा की एकरूपता पर निर्भर करती है।

इटालियन स्कूल के सबसे प्रमुख प्रतिनिधियों, आर. बेनिनी (1862-1956) और सी. गिनी (1884-1965) ने सांख्यिकी को तर्क की एक शाखा मानते हुए, सांख्यिकीय प्रेरण के अनुप्रयोग के दायरे का विस्तार किया, लेकिन उन्होंने संज्ञानात्मक को जोड़ा सांख्यिकी की समाजशास्त्रीय व्याख्या की परंपराओं का पालन करते हुए, घटनाओं की प्रकृति के साथ तर्क और सांख्यिकी के सिद्धांतों का अध्ययन किया जा रहा है।

के. मार्क्स और वी. आई. लेनिन के कार्यों में औसत मूल्यों को एक विशेष भूमिका दी जाती है।

के. मार्क्स ने तर्क दिया कि औसत मूल्य में सामान्य स्तर से व्यक्तिगत विचलन समाप्त हो जाते हैं और औसत स्तर एक सामूहिक घटना की एक सामान्य विशेषता बन जाता है। औसत मूल्य केवल तभी एक सामूहिक घटना की ऐसी विशेषता बन जाता है, जब महत्वपूर्ण संख्या में इकाइयाँ ली जाती हैं और ये इकाइयाँ गुणात्मक रूप से सजातीय हैं। मार्क्स ने लिखा है कि पाया गया औसत मूल्य "...एक ही तरह के कई अलग-अलग व्यक्तिगत मूल्यों" का औसत होना चाहिए।

औसत मूल्य परिस्थितियों में विशेष महत्व प्राप्त कर लेता है बाजार अर्थव्यवस्था. यह पैटर्न की आवश्यक और सामान्य प्रवृत्ति को निर्धारित करने में मदद करता है आर्थिक विकाससीधे एकवचन और यादृच्छिक के माध्यम से।

औसत मानसामान्य संकेतक हैं जिनमें क्रिया व्यक्त की जाती है सामान्य परिस्थितियां, अध्ययन की जा रही घटना का पैटर्न।

सांख्यिकीय औसत की गणना सांख्यिकीय रूप से सही ढंग से व्यवस्थित सामूहिक अवलोकन से प्राप्त बड़े पैमाने पर डेटा के आधार पर की जाती है। यदि सांख्यिकीय औसत की गणना गुणात्मक रूप से सजातीय जनसंख्या (सामूहिक घटना) के लिए बड़े पैमाने पर डेटा से की जाती है, तो यह उद्देश्यपूर्ण होगा।

औसत मान अमूर्त है, क्योंकि यह एक अमूर्त इकाई के मान को दर्शाता है।

औसत को व्यक्तिगत वस्तुओं में विशेषता की विविधता से अलग किया जाता है। अमूर्तन एक कदम है वैज्ञानिक अनुसंधान. औसत मूल्य में व्यक्ति और सामान्य की द्वंद्वात्मक एकता का एहसास होता है।

औसत मूल्यों को व्यक्तिगत और सामान्य, व्यक्तिगत और द्रव्यमान की श्रेणियों की द्वंद्वात्मक समझ के आधार पर लागू किया जाना चाहिए।

बीच वाला कुछ सामान्य चीज़ प्रदर्शित करता है जो किसी विशिष्ट एकल वस्तु में निहित है।

सामूहिक सामाजिक प्रक्रियाओं में पैटर्न की पहचान करने के लिए औसत मूल्य का बहुत महत्व है।

व्यक्ति का सामान्य से विचलन विकास प्रक्रिया की अभिव्यक्ति है।

औसत मूल्य अध्ययन की जा रही घटना की विशेषता, विशिष्ट, वास्तविक स्तर को दर्शाता है। औसत मूल्यों का कार्य इन स्तरों और समय और स्थान में उनके परिवर्तनों को चिह्नित करना है।

औसत संकेतक एक सामान्य मूल्य है, क्योंकि यह एक विशिष्ट सामूहिक घटना के अस्तित्व की सामान्य, प्राकृतिक, सामान्य स्थितियों में बनता है, जिसे समग्र रूप से माना जाता है।

किसी सांख्यिकीय प्रक्रिया या घटना की वस्तुनिष्ठ संपत्ति औसत मूल्य से परिलक्षित होती है।

अध्ययन के तहत सांख्यिकीय विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य जनसंख्या की प्रत्येक इकाई के लिए अलग-अलग हैं। एक प्रकार के व्यक्तिगत मूल्यों का औसत मूल्य आवश्यकता का एक उत्पाद है, जो जनसंख्या की सभी इकाइयों की संयुक्त कार्रवाई का परिणाम है, जो बार-बार होने वाली दुर्घटनाओं के समूह में प्रकट होता है।

कुछ व्यक्तिगत घटनाओं में ऐसी विशेषताएं होती हैं जो सभी घटनाओं में मौजूद होती हैं, लेकिन अलग-अलग मात्रा में - यह किसी व्यक्ति की ऊंचाई या उम्र है। किसी व्यक्तिगत घटना के अन्य लक्षण अलग-अलग घटनाओं में गुणात्मक रूप से भिन्न होते हैं, अर्थात, वे कुछ में मौजूद होते हैं और दूसरों में नहीं देखे जाते हैं (एक पुरुष एक महिला नहीं बनेगा)। औसत मूल्य की गणना उन विशेषताओं के लिए की जाती है जो गुणात्मक रूप से सजातीय हैं और केवल मात्रात्मक रूप से भिन्न हैं, जो किसी दिए गए सेट में सभी घटनाओं में निहित हैं।

औसत मूल्य अध्ययन की जा रही विशेषता के मूल्यों का प्रतिबिंब है और इस विशेषता के समान आयाम में मापा जाता है।

द्वंद्वात्मक भौतिकवाद का सिद्धांत सिखाता है कि दुनिया में हर चीज़ बदलती और विकसित होती है। और वे विशेषताएँ भी बदल जाती हैं जो औसत मूल्यों की विशेषता होती हैं, और, तदनुसार, औसत स्वयं।

जीवन में कुछ नया रचने की सतत प्रक्रिया चलती रहती है। नई गुणवत्ता के वाहक एकल वस्तुएँ हैं, फिर इन वस्तुओं की संख्या बढ़ जाती है, और नई वस्तुएँ द्रव्यमान, विशिष्ट बन जाती हैं।

औसत मूल्य केवल एक विशेषता के अनुसार अध्ययन की जा रही जनसंख्या की विशेषता बताता है। कई विशिष्ट विशेषताओं के अनुसार अध्ययन के तहत जनसंख्या के पूर्ण और व्यापक प्रतिनिधित्व के लिए, औसत मूल्यों की एक प्रणाली का होना आवश्यक है जो विभिन्न कोणों से घटना का वर्णन कर सके।

सामग्री के सांख्यिकीय प्रसंस्करण में, विभिन्न समस्याएं उत्पन्न होती हैं जिन्हें हल करने की आवश्यकता होती है, और इसलिए सांख्यिकीय अभ्यास में विभिन्न औसत मूल्यों का उपयोग किया जाता है। गणितीय आँकड़े विभिन्न औसतों का उपयोग करते हैं, जैसे: अंकगणितीय माध्य; जियोमेट्रिक माध्य; अनुकूल माध्य; वर्ग मतलब।

उपरोक्त प्रकार के औसत में से किसी एक को लागू करने के लिए, अध्ययन के तहत जनसंख्या का विश्लेषण करना, अध्ययन की जा रही घटना की भौतिक सामग्री का निर्धारण करना आवश्यक है, यह सब परिणामों की सार्थकता के सिद्धांत से निकाले गए निष्कर्षों के आधार पर किया जाता है। तौलना या जोड़ना।

औसत के अध्ययन में निम्नलिखित सूचकों एवं अंकनों का प्रयोग किया जाता है।

वह चिह्न जिससे औसत ज्ञात किया जाता है, कहलाता है औसत विशेषता और x द्वारा निरूपित किया जाता है; किसी सांख्यिकीय जनसंख्या की किसी इकाई के लिए औसत विशेषता का मान कहलाता है इसका व्यक्तिगत अर्थ,या विकल्प,और के रूप में दर्शाया गया है एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 ,… एक्स पी ; आवृत्ति किसी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों की पुनरावृत्ति है, जिसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है एफ।

अंकगणित औसत

माध्यम के सबसे सामान्य प्रकारों में से एक है अंकगणित औसत, जिसकी गणना तब की जाती है जब अध्ययन की जा रही सांख्यिकीय आबादी की व्यक्तिगत इकाइयों में औसत विशेषता की मात्रा उसके मूल्यों के योग के रूप में बनाई जाती है।

अंकगणितीय औसत की गणना करने के लिए, विशेषता के सभी स्तरों के योग को उनकी संख्या से विभाजित किया जाता है।

यदि कुछ विकल्प कई बार आते हैं, तो विशेषता के स्तरों का योग प्रत्येक स्तर को जनसंख्या में इकाइयों की संबंधित संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है और फिर परिणामी उत्पादों को जोड़कर इस तरह से गणना की गई अंकगणित माध्य को भारित कहा जाता है अंकगणित औसत।

भारित अंकगणितीय औसत का सूत्र इस प्रकार है:

जहां x i विकल्प हैं,

f i - आवृत्तियाँ या भार।

भारित औसत का उपयोग उन सभी मामलों में किया जाना चाहिए जहां विकल्पों की संख्या अलग-अलग हो।

अंकगणित माध्य, जैसा कि यह था, अलग-अलग वस्तुओं के बीच विशेषता के कुल मूल्य को समान रूप से वितरित करता है, जो वास्तव में उनमें से प्रत्येक के लिए भिन्न होता है।

औसत मूल्यों की गणना अंतराल वितरण श्रृंखला के रूप में समूहीकृत डेटा का उपयोग करके की जाती है, जब विशेषता के वेरिएंट जिनसे औसत की गणना की जाती है उन्हें अंतराल (से - तक) के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

अंकगणित माध्य के गुण:

1) अलग-अलग मानों के योग का अंकगणितीय माध्य अंकगणितीय माध्य मानों के योग के बराबर है: यदि x i = y i +z i, तो

यह संपत्ति दर्शाती है कि किन मामलों में औसत मूल्यों को संक्षेप में प्रस्तुत करना संभव है।

2) औसत से भिन्न विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों के विचलन का बीजगणितीय योग शून्य के बराबर है, क्योंकि एक दिशा में विचलन का योग दूसरी दिशा में विचलन के योग से मुआवजा दिया जाता है:

यह नियम दर्शाता है कि औसत परिणामी है।

3) यदि किसी शृंखला के सभी विकल्पों को एक ही संख्या से बढ़ाया या घटाया जाए?, तो क्या औसत उसी संख्या से बढ़ेगा या घटेगा?:

4) यदि श्रृंखला के सभी प्रकारों को ए गुना बढ़ाया या घटाया जाता है, तो औसत भी ए गुना बढ़ या घट जाएगा:

5) औसत का पाँचवाँ गुण हमें दिखाता है कि यह तराजू के आकार पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि उनके बीच के संबंध पर निर्भर करता है। न केवल सापेक्ष, बल्कि निरपेक्ष मूल्यों को भी तराजू के रूप में लिया जा सकता है।

यदि श्रृंखला की सभी आवृत्तियों को एक ही संख्या d से विभाजित या गुणा किया जाए, तो औसत नहीं बदलेगा।

अनुकूल माध्य।अंकगणितीय माध्य निर्धारित करने के लिए, कई विकल्पों और आवृत्तियों, यानी मूल्यों का होना आवश्यक है एक्सऔर एफ।

आइए मान लें कि विशेषता के व्यक्तिगत मूल्य ज्ञात हैं एक्सऔर काम करता है एक्स/,और आवृत्तियाँ एफअज्ञात हैं, तो औसत की गणना करने के लिए, हम उत्पाद को निरूपित करते हैं = एक्स/;कहाँ:

इस रूप में औसत को हार्मोनिक भारित औसत कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है एक्स नुकसान. ऊपर

तदनुसार, हार्मोनिक माध्य अंकगणितीय माध्य के समान है। यह तब लागू होता है जब वास्तविक वजन अज्ञात हो एफ, और काम ज्ञात है एफएक्स = जेड

जब काम करता है एफएक्ससमान या समान इकाइयाँ (एम = 1), हार्मोनिक सरल माध्य का उपयोग किया जाता है, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

कहाँ एक्स- अलग विकल्प;

एन- संख्या।

जियोमेट्रिक माध्य

यदि n वृद्धि गुणांक हैं, तो औसत गुणांक का सूत्र है:

यह ज्यामितीय माध्य सूत्र है.

ज्यामितीय माध्य घात के मूल के बराबर है एनप्रत्येक बाद की अवधि के मूल्य और पिछले एक के मूल्य के अनुपात को दर्शाने वाले विकास गुणांक के उत्पाद से।

यदि द्विघात फलनों के रूप में व्यक्त मान औसत के अधीन हैं, तो माध्य वर्ग का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, मूल माध्य वर्ग का उपयोग करके, आप पाइप, पहियों आदि के व्यास निर्धारित कर सकते हैं।

सरल माध्य वर्ग का निर्धारण विशेषता के व्यक्तिगत मानों के वर्गों के योग को उनकी संख्या से विभाजित करने के भागफल का वर्गमूल लेकर किया जाता है।

भारित माध्य वर्ग इसके बराबर है:

किसी सांख्यिकीय जनसंख्या की संरचना को चिह्नित करने के लिए संकेतकों का उपयोग किया जाता है जिन्हें कहा जाता है संरचनात्मक औसत.इनमें मोड और माध्यिका शामिल हैं।

फैशन (एम हे ) - सबसे आम विकल्प. पहनावाउस विशेषता का मान है जो सैद्धांतिक वितरण वक्र के अधिकतम बिंदु से मेल खाता है।

फैशन सबसे अधिक बार होने वाले या विशिष्ट अर्थ का प्रतिनिधित्व करता है।

उपभोक्ता मांग का अध्ययन करने और कीमतों को रिकॉर्ड करने के लिए व्यावसायिक व्यवहार में फैशन का उपयोग किया जाता है।

असतत श्रृंखला में, मोड उच्चतम आवृत्ति वाला संस्करण है। अंतराल भिन्नता श्रृंखला में, मोड को अंतराल का केंद्रीय संस्करण माना जाता है, जिसकी आवृत्ति (विशेषता) सबसे अधिक होती है।

अंतराल के भीतर, आपको उस विशेषता का मान ज्ञात करना होगा जो कि मोड है।

कहाँ एक्स हे- मोडल अंतराल की निचली सीमा;

एच- मोडल अंतराल का मान;

एफ एम- मोडल अंतराल की आवृत्ति;

एफ टी-1 - मोडल एक से पहले के अंतराल की आवृत्ति;

एफ एम+1 - मोडल एक के बाद के अंतराल की आवृत्ति।

मोड समूहों के आकार और समूह की सीमाओं की सटीक स्थिति पर निर्भर करता है।

पहनावा- वह संख्या जो वास्तव में सबसे अधिक बार होती है (एक निश्चित मूल्य है), व्यवहार में इसका व्यापक अनुप्रयोग होता है (खरीदार का सबसे आम प्रकार)।

मेडियन (एम इएक मात्रा है जो क्रमबद्ध भिन्नता श्रृंखला की संख्या को दो समान भागों में विभाजित करती है: एक भाग में भिन्न विशेषता के मान होते हैं जो औसत संस्करण से छोटे होते हैं, और दूसरे में बड़े मान होते हैं।

मंझलाएक ऐसा तत्व है जो वितरण श्रृंखला के शेष तत्वों के आधे से अधिक या उसके बराबर है और साथ ही उसके बराबर या उससे भी कम है।

माध्यिका का गुण यह है कि माध्यिका से विशेषता मानों के पूर्ण विचलन का योग किसी भी अन्य मान से कम होता है।

माध्यिका का उपयोग करने से आप औसत के अन्य रूपों का उपयोग करने की तुलना में अधिक सटीक परिणाम प्राप्त कर सकते हैं।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला में माध्यिका खोजने का क्रम इस प्रकार है: हम रैंकिंग के अनुसार विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को व्यवस्थित करते हैं; हम किसी दी गई रैंक श्रृंखला के लिए संचित आवृत्तियों का निर्धारण करते हैं; संचित आवृत्ति डेटा का उपयोग करके, हम माध्यिका अंतराल पाते हैं:

कहाँ एक्स मैं- माध्यिका अंतराल की निचली सीमा;

मैं मुझे- माध्यिका अंतराल का मान;

एफ/2- श्रृंखला की आवृत्तियों का आधा योग;

एस मुझे-1 - माध्यिका अंतराल से पहले संचित आवृत्तियों का योग;

एफ मुझे– माध्यिका अंतराल की आवृत्ति.

माध्यिका किसी श्रृंखला की संख्या को आधे में विभाजित करती है, इसलिए, यह वह जगह है जहां संचित आवृत्ति कुल आवृत्तियों के योग का आधा या आधे से अधिक होती है, और पिछली (संचित) आवृत्ति जनसंख्या की संख्या के आधे से भी कम होती है।

व्याख्यान 5. औसत मूल्य

सांख्यिकी में औसत की अवधारणा

अंकगणितीय माध्य और उसके गुण

अन्य प्रकार की पावर औसत

मोड और माध्यिका

चतुर्थक और दशमांश

आंकड़ों में औसत मूल्यों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। औसत मूल्य गुणवत्ता संकेतकों की विशेषता बताते हैं वाणिज्यिक गतिविधियाँ: वितरण लागत, लाभ, लाभप्रदता, आदि।

औसत- यह सामान्य सामान्यीकरण तकनीकों में से एक है। औसत के सार की सही समझ एक बाजार अर्थव्यवस्था में इसके विशेष महत्व को निर्धारित करती है, जब औसत, व्यक्तिगत और यादृच्छिक के माध्यम से, हमें सामान्य और आवश्यक की पहचान करने, आर्थिक विकास के पैटर्न की प्रवृत्ति की पहचान करने की अनुमति देता है।

औसत मूल्य- ये सामान्यीकरण संकेतक हैं जिनमें अध्ययन की जा रही घटना की सामान्य स्थितियों और पैटर्न के प्रभाव व्यक्त किए जाते हैं।

औसत मूल्य (सांख्यिकी में) - जनसंख्या की प्रति इकाई सामाजिक घटनाओं के विशिष्ट आकार या स्तर को दर्शाने वाला एक सामान्य संकेतक, अन्य सभी चीजें समान हैं।

औसत की विधि का उपयोग करके, निम्नलिखित को हल किया जा सकता है: मुख्य लक्ष्य:

1. घटना के विकास के स्तर की विशेषताएँ।

2. दो या दो से अधिक स्तरों की तुलना।

3. सामाजिक-आर्थिक घटनाओं के अंतर्संबंधों का अध्ययन।

4. अंतरिक्ष में सामाजिक-आर्थिक घटनाओं के स्थान का विश्लेषण।

सांख्यिकीय औसत की गणना सही ढंग से सांख्यिकीय रूप से व्यवस्थित सामूहिक अवलोकन (निरंतर और चयनात्मक) से प्राप्त बड़े पैमाने पर डेटा के आधार पर की जाती है। हालाँकि, सांख्यिकीय औसत वस्तुनिष्ठ और विशिष्ट होगा यदि इसकी गणना गुणात्मक रूप से सजातीय जनसंख्या (सामूहिक घटना) के लिए बड़े पैमाने पर डेटा से की जाती है। उदाहरण के लिए, यदि आप सहकारी समितियों और राज्य के स्वामित्व वाले उद्यमों में औसत वेतन की गणना करते हैं, और परिणाम को पूरी आबादी तक बढ़ाते हैं, तो औसत काल्पनिक है, क्योंकि इसकी गणना एक विषम आबादी के लिए की जाती है, और ऐसा औसत सभी अर्थ खो देता है।

औसत की सहायता से, अवलोकन की व्यक्तिगत इकाइयों में किसी न किसी कारण से उत्पन्न होने वाले विशेषता के मूल्य में अंतर को दूर किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक विक्रेता की औसत उत्पादकता कई कारणों पर निर्भर करती है: योग्यता, सेवा की अवधि, आयु, सेवा का रूप, स्वास्थ्य, आदि।

औसत का सार इस तथ्य में निहित है कि यह यादृच्छिक कारकों की कार्रवाई के कारण जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों के विशिष्ट मूल्यों के विचलन को रद्द कर देता है, और मुख्य कारकों की कार्रवाई के कारण होने वाले परिवर्तनों को ध्यान में रखता है। यह औसत को विशेषता के विशिष्ट स्तर को प्रतिबिंबित करने और व्यक्तिगत इकाइयों में निहित व्यक्तिगत विशेषताओं से अमूर्त करने की अनुमति देता है।

औसत मान अध्ययन की जा रही विशेषता के मूल्यों का प्रतिबिंब है, इसलिए, इसे इस विशेषता के समान आयाम में मापा जाता है।

प्रत्येक औसत मूल्य किसी एक विशेषता के अनुसार अध्ययन के तहत जनसंख्या की विशेषता बताता है। कई आवश्यक विशेषताओं के अनुसार अध्ययन की जा रही जनसंख्या की पूर्ण और व्यापक समझ प्राप्त करने के लिए, सामान्य तौर पर औसत मूल्यों की एक प्रणाली का होना आवश्यक है जो विभिन्न कोणों से घटना का वर्णन कर सके।

अलग-अलग औसत हैं:

अंकगणित औसत;

जियोमेट्रिक माध्य;

अनुकूल माध्य;

वर्ग मतलब;

औसत कालानुक्रमिक.

औसत मूल्य- यह एक सांख्यिकीय जनसंख्या का एक सामान्य संकेतक है जो सांख्यिकीय मात्राओं के मूल्यों में व्यक्तिगत अंतर को समाप्त करता है, जिससे आप विभिन्न आबादी की एक दूसरे के साथ तुलना कर सकते हैं।

मौजूद 2 वर्गऔसत मान: तथा .

संरचनात्मक औसत में शामिल हैं पहनावाऔर MEDIAN, लेकिन सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है शक्ति औसतविभिन्न प्रकार के।

शक्ति औसत

पावर औसत हो सकता है सरलऔर भारित.

साधारण औसतयदि दो या अधिक हों तो गणना की जाती है असमूहीकृतसांख्यिकीय मात्राएँ निम्नलिखित सामान्य सूत्र के अनुसार यादृच्छिक क्रम में व्यवस्थित की गईं:

भारित औसतद्वारा गणना की गई वर्गीकृत कियानिम्नलिखित सामान्य सूत्र का उपयोग करके सांख्यिकीय मान:

जहाँ X व्यक्तिगत सांख्यिकीय मानों या समूहीकरण अंतरालों के मध्य का मान है;
m एक घातांक है, जिसका मान निम्नलिखित निर्धारित करता है बिजली औसत के प्रकार:
एम = -1 पर;
एम = 0 पर;
जब एम = 1;
एम = 2 पर;
एम = 3 पर.

विभिन्न घातांक m के लिए सरल और भारित औसत के लिए सामान्य सूत्रों का उपयोग करके, हम प्रत्येक प्रकार के विशेष सूत्र प्राप्त करते हैं, जिन पर नीचे विस्तार से चर्चा की जाएगी।

अंकगणित औसत

अंकगणित औसत- यह सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला औसत मान है, जो सामान्य सूत्र में m=1 को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। अंकगणित औसत सरलनिम्नलिखित रूप है:

जहां X उन मात्राओं के मान हैं जिनके लिए औसत मूल्य की गणना की जानी चाहिए; N, X मानों की कुल संख्या है (अध्ययन की जा रही जनसंख्या में इकाइयों की संख्या)।

उदाहरण के लिए, एक छात्र ने 4 परीक्षाएं उत्तीर्ण कीं और निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त किए: 3, 4, 4 और 5। आइए सरल अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके औसत अंक की गणना करें: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.

अंकगणित औसत भारितनिम्नलिखित रूप है:

जहाँ f समान मान X (आवृत्ति) वाली मात्राओं की संख्या है।

उदाहरण के लिए, एक छात्र ने 4 परीक्षाएं उत्तीर्ण कीं और निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त किए: 3, 4, 4 और 5। आइए भारित अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके औसत अंक की गणना करें: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4.

यदि X मानों को अंतराल के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, तो गणना के लिए X अंतराल के मध्य बिंदुओं का उपयोग किया जाता है, जिन्हें अंतराल की ऊपरी और निचली सीमाओं के आधे योग के रूप में परिभाषित किया जाता है। और यदि अंतराल X में निचली या ऊपरी सीमा (खुला अंतराल) नहीं है, तो इसे खोजने के लिए, आसन्न अंतराल X की सीमा (ऊपरी और निचली सीमा के बीच का अंतर) का उपयोग करें।

उदाहरण के लिए, एक उद्यम में 10 कर्मचारी हैं जिनके पास 3 साल तक का अनुभव है, 20 कर्मचारी हैं जिनके पास 3 से 5 साल का अनुभव है, 5 कर्मचारी हैं जिनके पास 5 साल से अधिक का अनुभव है। फिर हम भारित अंकगणितीय औसत सूत्र का उपयोग करके कर्मचारियों की सेवा की औसत लंबाई की गणना करते हैं, सेवा अंतराल की लंबाई (2, 4 और 6 वर्ष) के मध्यबिंदु को X के रूप में लेते हैं:
(2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3.71 वर्ष।

अंकगणितीय औसत का उपयोग सबसे अधिक बार किया जाता है, लेकिन कई बार अन्य प्रकार के औसत का उपयोग करना आवश्यक होता है। आइए ऐसे मामलों पर आगे विचार करें।

अनुकूल माध्य

अनुकूल माध्यइसका उपयोग तब किया जाता है जब स्रोत डेटा में व्यक्तिगत X मानों के लिए आवृत्तियाँ f नहीं होती हैं, लेकिन उनके उत्पाद Xf के रूप में प्रस्तुत की जाती हैं। Xf=w निर्दिष्ट करके, हम f=w/X व्यक्त करते हैं, और, अंकगणितीय भारित औसत के सूत्र में इन नोटेशन को प्रतिस्थापित करते हुए, हम हार्मोनिक भारित औसत के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, भारित हार्मोनिक औसत का उपयोग तब किया जाता है जब आवृत्तियाँ f अज्ञात होती हैं और w=Xf ज्ञात होता है। ऐसे मामलों में जहां सभी w = 1, यानी, एक्स के व्यक्तिगत मान एक बार होते हैं, औसत हार्मोनिक प्राइम फॉर्मूला लागू होता है:

उदाहरण के लिए, एक कार बिंदु A से बिंदु B तक 90 किमी/घंटा की गति से और वापस 110 किमी/घंटा की गति से यात्रा कर रही थी। औसत गति निर्धारित करने के लिए, हम औसत हार्मोनिक सरल के लिए सूत्र लागू करते हैं, क्योंकि उदाहरण में दूरी w 1 =w 2 दी गई है (बिंदु A से बिंदु B तक की दूरी B से A के समान है), जो है गति (X) और समय (f) के गुणनफल के बराबर। औसत गति = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 किमी/घंटा।

जियोमेट्रिक माध्य

जियोमेट्रिक माध्यऔसत सापेक्ष परिवर्तनों को निर्धारित करने में उपयोग किया जाता है, जैसा कि गतिशील श्रृंखला विषय में चर्चा की गई है। यदि कार्य X का मान ज्ञात करना है जो कि X के अधिकतम और न्यूनतम दोनों मानों से समान दूरी पर होगा, तो ज्यामितीय औसत सबसे सटीक औसत परिणाम देता है।

उदाहरण के लिए, 2005 और 2008 के बीच मुद्रास्फीति सूचकांकरूस में था: 2005 में - 1.109; 2006 में - 1,090; 2007 में - 1,119; 2008 में - 1,133. चूँकि मुद्रास्फीति सूचकांक एक सापेक्ष परिवर्तन (गतिशील सूचकांक) है, इसलिए औसत मूल्य की गणना ज्यामितीय माध्य का उपयोग करके की जानी चाहिए: (1.109*1.090*1.119*1.133)^(1/4) = 1.1126, यानी 2005 से अवधि के लिए 2008 तक सालाना कीमतों में औसतन 11.26% की वृद्धि हुई। अंकगणितीय माध्य का उपयोग करके एक गलत गणना 11.28% का गलत परिणाम देगी।

वर्ग मतलब

वर्ग मतलबऐसे मामलों में उपयोग किया जाता है जहां एक्स के प्रारंभिक मान सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, औसत विचलन की गणना करते समय।

द्विघात औसत का मुख्य अनुप्रयोग एक्स मानों की भिन्नता को मापना है, जिस पर चर्चा की जाएगी।

औसत घन

औसत घनइसका उपयोग बहुत ही कम किया जाता है, उदाहरण के लिए, विकासशील देशों (TIN-1) और विकसित देशों (TIN-2) के लिए गरीबी सूचकांकों की गणना करते समय, संयुक्त राष्ट्र द्वारा प्रस्तावित और गणना की जाती है।

संरचनात्मक औसत

सबसे अधिक बार उपयोग किया जाने वाला संरचनात्मक औसतशामिल करें और .

सांख्यिकीय मोड

सांख्यिकीय मोडकिसी सांख्यिकीय जनसंख्या में X का सबसे अधिक बार दोहराया जाने वाला मान है।

यदि X दिया गया है कड़ाई, तो मोड को उच्चतम आवृत्ति वाले फीचर के मूल्य के रूप में गणना के बिना निर्धारित किया जाता है। एक सांख्यिकीय जनसंख्या में 2 या अधिक मोड हैं, तो इसे माना जाता है bimodal(यदि दो मोड हैं) या बहुविध(यदि दो से अधिक मोड हैं), और यह जनसंख्या की विविधता को इंगित करता है।

उदाहरण के लिए, कंपनी में 16 लोग कार्यरत हैं: उनमें से 4 लोगों के पास 1 वर्ष का अनुभव है, 3 लोगों के पास 2 वर्ष का अनुभव है, 5 लोगों के पास 3 वर्ष का अनुभव है, और 4 लोगों के पास 4 वर्ष का अनुभव है। इस प्रकार, मोडल अनुभव Mo = 3 वर्ष, क्योंकि इस मान की आवृत्ति अधिकतम (f = 5) है।

यदि X दिया गया है समान अंतराल पर, तो मोडल अंतराल को पहले उच्चतम आवृत्ति f वाले अंतराल के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस अंतराल के भीतर, मोड का सशर्त मान सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:

जहां मो फैशन है;
एक्स एनएमओ - मोडल अंतराल की निचली सीमा;
एच मो मोडल अंतराल की सीमा है (इसकी ऊपरी और निचली सीमाओं के बीच का अंतर);
एफ मो - मोडल अंतराल की आवृत्ति;
f Mo-1 - मोडल एक से पहले के अंतराल की आवृत्ति;
f Mo+1 - मोडल एक के बाद अंतराल की आवृत्ति।

उदाहरण के लिए, एक उद्यम में 10 कर्मचारी हैं जिनके पास 3 साल तक का अनुभव है, 20 कर्मचारी हैं जिनके पास 3 से 5 साल का अनुभव है, 5 कर्मचारी हैं जिनके पास 5 साल से अधिक का अनुभव है। आइए 3 से 5 साल के मोडल अंतराल में मोडल कार्य अनुभव की गणना करें: मो = 3 + 2*(20-10)/(2*20-10-5) = 3.8 (वर्ष)।

यदि अंतराल h की सीमा भिन्न है, तो आवृत्तियों f के बजाय अंतराल घनत्व का उपयोग करना आवश्यक है, जिसकी गणना आवृत्तियों f को अंतराल h की सीमा से विभाजित करके की जाती है।

सांख्यिकीय माध्यिका

सांख्यिकीय माध्यिका- यह मात्रा X का मान है, जो एक सांख्यिकीय जनसंख्या को आरोही या अवरोही क्रम में 2 बराबर भागों में विभाजित करता है। परिणामस्वरूप, एक आधे का मान माध्यिका से अधिक होता है, और दूसरे आधे का मान माध्यिका से कम होता है।

यदि X दिया गया है कड़ाई, फिर माध्यिका निर्धारित करने के लिए सभी मानों को 0 से N तक क्रमांकित किया जाता है बढ़ते क्रम में, तो सम संख्या N के लिए माध्यिका 0.5N और (0.5N+1) संख्या वाले X के बीच में होगी, और विषम संख्या N के लिए यह संख्या 0.5(N+1) वाले X के मान के अनुरूप होगी .

उदाहरण के लिए, 10 लोगों के समूह में अंशकालिक छात्रों की आयु पर डेटा है - X: 18, 19, 19, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 30 वर्ष। ये डेटा पहले से ही आरोही क्रम में क्रमबद्ध हैं, और उनकी संख्या N=10 सम है, इसलिए माध्य X संख्या 0.5*10=5 और (0.5*10+1)=6 के बीच होगा, जो मानों के अनुरूप है X 5 = 21 और X 6 =23, तो माध्यिका: मी = (21+23)/2 = 22 (वर्ष)।

यदि फॉर्म में X दिया गया है समान अंतराल, फिर सबसे पहले माध्यिका अंतराल निर्धारित किया जाता है (वह अंतराल जिसमें आवृत्तियों का एक आधा हिस्सा समाप्त होता है और दूसरा आधा शुरू होता है), जिसमें माध्यिका का सशर्त मान सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है:

जहां मैं मध्यिका है;
X НМе - माध्यिका अंतराल की निचली सीमा;
h Ме - माध्यिका अंतराल की सीमा (इसकी ऊपरी और निचली सीमाओं के बीच का अंतर);
f Ме - माध्यिका अंतराल की आवृत्ति;
f Ме-1 - माध्यिका से पहले के अंतरालों की आवृत्तियों का योग।

पहले चर्चा किए गए उदाहरण में, सेवा की मोडल लंबाई की गणना करते समय (उद्यम में 3 साल तक के अनुभव वाले 10 कर्मचारी हैं, 3 से 5 साल के अनुभव वाले 20 कर्मचारी हैं, 5 साल से अधिक अनुभव वाले 5 कर्मचारी हैं), हम औसत की गणना करते हैं सेवा की लंबाई। श्रमिकों की कुल संख्या का आधा (10+20+5)/2 = 17.5 है और 3 से 5 वर्ष के अंतराल में है, और 3 वर्ष तक के पहले अंतराल में केवल 10 श्रमिक हैं, और पहले दो में - (10+20) =30, जो 17.5 से अधिक है, अर्थात 3 से 5 वर्ष का अंतराल माध्यिका है। इसके अंदर, हम माध्यिका का सशर्त मान निर्धारित करते हैं: मी = 3+2*(0.5*30-10)/20 = 3.5 (वर्ष)।

जैसे मोड के मामले में, माध्यिका का निर्धारण करते समय, यदि अंतराल h की सीमा भिन्न है, तो आवृत्तियों f के बजाय अंतराल घनत्व का उपयोग करना आवश्यक है, जिसकी गणना आवृत्तियों f को अंतराल h की सीमा से विभाजित करके की जाती है।

भिन्नता सूचक

उतार-चढ़ावसांख्यिकीय जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों के लिए एक्स मानों के मूल्यों में अंतर है। भिन्नता की ताकत का अध्ययन करने के लिए, निम्नलिखित की गणना की जाती है भिन्नता के सूचक: , , , , .

भिन्नता की सीमा

भिन्नता की सीमाअध्ययन के तहत सांख्यिकीय आबादी में उपलब्ध एक्स के अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर है:

H का नुकसान यह है कि यह केवल X मानों में अधिकतम अंतर दिखाता है और संपूर्ण जनसंख्या में भिन्नता की ताकत को माप नहीं सकता है।

औसत रैखिक विचलन

औसत रैखिक विचलनअंकगणितीय माध्य से X मानों के विचलन का औसत मापांक है। इसकी गणना अंकगणित माध्य सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है सरल- हम पाते हैं :

उदाहरण के लिए, एक छात्र ने 4 परीक्षाएं उत्तीर्ण कीं और निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त किए: 3, 4, 4 और 5. = 4. आइए सरल औसत रैखिक विचलन की गणना करें: L = (|3-4|+|4-4|+|4 -4|+|. 5-4|)/4 = 0.5.

यदि स्रोत डेटा X को समूहीकृत किया गया है (आवृत्तियां f हैं), तो औसत रैखिक विचलन की गणना अंकगणित माध्य सूत्र का उपयोग करके की जाती है भारित- हम पाते हैं :

आइए एक छात्र के उदाहरण पर लौटते हैं जिसने 4 परीक्षाएं उत्तीर्ण कीं और निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त किए: 3, 4, 4 और 5. = 4 और = 0.5। आइए भारित औसत रैखिक विचलन की गणना करें: L = (|3-4|*1+|4-4|*2+|5-4|*1)/4 = 0.5।

भिन्नता का रैखिक गुणांक

भिन्नता का रैखिक गुणांकऔसत रैखिक विचलन का अंकगणित माध्य से अनुपात है:

भिन्नता के रैखिक गुणांक का उपयोग करके, आप विभिन्न आबादी की भिन्नता की तुलना कर सकते हैं, क्योंकि औसत रैखिक विचलन के विपरीत, इसका मूल्य माप एक्स की इकाइयों पर निर्भर नहीं करता है।

एक छात्र के बारे में विचाराधीन उदाहरण में जिसने 4 परीक्षाएं उत्तीर्ण कीं और निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त किए: 3, 4, 4 और 5, भिन्नता का रैखिक गुणांक 0.5/4 = 0.125 या 12.5% ​​होगा।

फैलाव

फैलावअंकगणितीय माध्य से X मानों के विचलन का औसत वर्ग है। फैलाव की गणना अंकगणित माध्य सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है सरल- हम पाते हैं सरल विचरण:

उदाहरण में हम एक छात्र के बारे में पहले से ही परिचित हैं, जिसने 4 परीक्षाएं उत्तीर्ण कीं और ग्रेड प्राप्त किया: 3, 4, 4 और 5, = 4। तब भिन्नता सरल है डी = ((3-4) 2 +(4-4) 2 +(4-4)2 +(5-4)2)/4 = 0.5.

यदि मूल डेटा भारित- हम पाते हैं विचरण भारित:

एक छात्र के बारे में विचाराधीन उदाहरण में, जिसने 4 परीक्षाएं उत्तीर्ण कीं और निम्नलिखित ग्रेड प्राप्त किए: 3, 4, 4 और 5, हम भारित भिन्नता की गणना करते हैं: डी = ((3-4) 2 *1+(4-4) 2 *2+(5 -4) 2 *1)/4 = 0.5.

यदि आप विचरण सूत्र को रूपांतरित करते हैं (अंश में कोष्ठक खोलें, पद को हर से विभाजित करें और समान दें), तो आप माध्य वर्गों और वर्ग माध्य के बीच अंतर के रूप में इसकी गणना करने के लिए एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

इसे ढूंढना और भी आसान है मानक विचलन, यदि विचरण की गणना इसके वर्गमूल के रूप में पूर्व-गणना की गई है:

छात्र के बारे में ऊपर दिए गए उदाहरण में, हम मानक विचलन को उसके वर्गमूल के रूप में पाते हैं: .

भिन्नता का द्विघात गुणांक

भिन्नता का द्विघात गुणांकभिन्नता का सबसे लोकप्रिय सापेक्ष माप है:

मानदंड मानभिन्नता V का द्विघात गुणांक 0.333 या 33.3% है, अर्थात, यदि V 0.333 से कम या उसके बराबर है, तो भिन्नता को कमजोर माना जाता है, और यदि यह 0.333 से अधिक है, तो इसे मजबूत माना जाता है। मजबूत भिन्नता के मामले में, अध्ययन की गई सांख्यिकीय जनसंख्या पर विचार किया जाता है विजातीय, और औसत मूल्य है अनियमितऔर इसका उपयोग इस जनसंख्या के सामान्य संकेतक के रूप में नहीं किया जा सकता है।

एक छात्र के बारे में उदाहरण में, जिसमें ऊपर, हम भिन्नता का द्विघात गुणांक V = 0.707/4 = 0.177 पाते हैं, जो 0.333 के मानदंड मान से कम है, जिसका अर्थ है कि भिन्नता कमजोर है और 17.7% के बराबर है।

विषय 4

मुख्य प्रश्न: 1. निरपेक्ष सांख्यिकीय मान।

2. निरपेक्ष सांख्यिकीय मात्राओं के प्रकार।

3. सापेक्ष मूल्य.

4. सापेक्ष मात्राओं के प्रकार.

5. औसत मूल्य. औसत के प्रकार.

6. अंकगणित माध्य.

7. हार्मोनिक माध्य.

8. ज्यामितीय माध्य.

9. माध्य वर्ग और माध्य घन.

10. संरचनात्मक औसत.

11. सांख्यिकीय वितरण में अंकगणितीय माध्य, माध्यिका और मोड के बीच संबंध।

1.निरपेक्ष सांख्यिकीय मान.घटनाओं के आकार और मात्रा को प्रतिबिंबित करने के लिए आंकड़ों में निरपेक्ष मूल्यों का उपयोग किया जाता है। सांख्यिकीय सामग्री के सारांश के परिणामस्वरूप निरपेक्ष मान (ए.वी.) प्राप्त होता है। ए.वी. में व्यक्त किये गये हैं विभिन्न इकाइयाँमाप - प्राकृतिक, लागत (मौद्रिक), सशर्त, श्रम।

1) माप की प्राकृतिक इकाइयाँ अध्ययन की जा रही घटना के परिमाण और आकार को दर्शाती हैं। इन्हें मीटर, टन, लीटर आदि में व्यक्त किया जाता है। प्राकृतिक इकाइयों को केवल सजातीय उत्पादों के लिए ही संक्षेपित किया जा सकता है; आप कपड़े के मीटरों के साथ टनों स्टील को नहीं जोड़ सकते।

2) लागत इकाइयों का उपयोग मौद्रिक संदर्भ में कई सांख्यिकीय संकेतकों का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है: खुदरा व्यापार कारोबार का आकार, सकल घरेलू उत्पाद, व्यक्तिगत आय, आदि।

3) सशर्त. कुछ मामलों में, सभी प्रकार के सजातीय उत्पादों को संक्षेप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। आप साबुन नहीं मिला सकते (क्योंकि इसमें वसा की मात्रा अलग-अलग होती है), ईंधन ( भिन्न कैलोरी सामग्री) वगैरह। यू.ई.आई. विभिन्न किस्मों के सजातीय उत्पादों के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, डिब्बाबंद भोजन विभिन्न क्षमताओं के जार में उत्पादित किया जाता है। इसलिए इनकी गिनती हजारों पारंपरिक जार में होती है। एक पारंपरिक कैन के लिए उत्पाद का शुद्ध वजन 400 ग्राम है।

4) श्रम माप की इकाइयाँ - मानव-घंटे, मानव-दिन, आदि। श्रम संसाधनों और श्रम लागत को मापने के लिए उपयोग किया जाता है।

2.निरपेक्ष सांख्यिकीय मात्राओं के प्रकार.अभिव्यक्ति के माध्यम से:

1) व्यक्ति - ए.वी., जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों में एक विशेषता के आकार को दर्शाता है (उदाहरण के लिए, एक व्यक्तिगत कर्मचारी का वेतन, किसी विशेष खेत के बोए गए क्षेत्र का आकार)। वे सीधे सांख्यिकीय अवलोकन की प्रक्रिया में प्राप्त किए जाते हैं और प्राथमिक लेखांकन दस्तावेजों में दर्ज किए जाते हैं।

2) कुल ए.वी. - अध्ययन की जा रही जनसंख्या की सभी इकाइयों या उसके व्यक्तिगत समूहों की एक या किसी अन्य विशेषता का मूल्य व्यक्त करें और व्यक्तिगत ए.वी. के योग के परिणामस्वरूप प्राप्त किया जाता है। (उद्यम के अनुसार वेतन)।

ए.वी. हमेशा नामित संख्याएँ होती हैं। वे माप की कुछ इकाइयों (किलो, पीसी, टन, हेक्टेयर, मी, आदि) में व्यक्त किए जाते हैं।

अनुपस्थिति में व्यावहारिक गतिविधियों में आवश्यक जानकारीनिरपेक्ष मान गणना द्वारा प्राप्त किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, बैलेंस शीट लिंकेज के आधार पर:

अवधि की शुरुआत में स्टॉक कहां है; - अवधि के लिए रसीदें; - अवधि के लिए व्यय; - अवधि के अंत में स्टॉक।

राज्य के विश्लेषण और पूर्वानुमान और सामाजिक जीवन की घटनाओं के विकास में निरपेक्ष सांख्यिकीय मूल्यों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

ए.वी. पर आधारित सापेक्ष मात्रा की गणना करें.

3.सापेक्ष मूल्य (आर.वी.)।वे एक मात्रा को दूसरी मात्रा से विभाजित करने पर प्राप्त होते हैं। अनुपात का अंश वह मान है जिसकी तुलना की जा रही है, इसे कहा जाता है मौजूदाया रिपोर्टिंगमात्रा, अनुपात के हर को तुलना का आधार या तुलना का आधार कहा जाता है।

यदि तुलना का आधार 100 है, तो ओ.वी. (%) में व्यक्त किया गया है, यदि तुलना आधार 1,000 - पीपीएम (‰), 10,000 - प्रोडेसीमिल (‰0) में है।

तुलना की गई मात्राएँ एक ही नाम की या भिन्न हो सकती हैं। यदि समान नाम के मानों की तुलना की जाती है, तो उन्हें गुणांक, प्रतिशत, पीपीएम में व्यक्त किया जाता है। विभिन्न मूल्यों की तुलना करते समय, सापेक्ष मूल्यों के नाम तुलना किए गए मूल्यों के नाम से बनते हैं: जनसंख्या घनत्व - लोग/किमी 2, उपज - सी/हेक्टेयर, आदि।

4.सापेक्ष मूल्यों के प्रकार (संकेतक)।

1) योजना लक्ष्य - जीपीजेड;

2) योजना का कार्यान्वयन - ओपीवीपी;

3) स्पीकर (ओपीडी);

4) संरचनाएं (डी);

5) विकास की तीव्रता और स्तर;

6) समन्वय (ओपीके);

7) तुलना (ओपीएस)।

1) ओपीजेड- योजना बनाने का कार्य करता है। इसकी गणना आगामी अवधि (पी) के लिए नियोजित स्तर और पिछली अवधि में प्राप्त संकेतक के स्तर के अनुपात से की जाती है:

2) ओपीवीपी- वास्तव में प्राप्त परिणामों की तुलना पहले से नियोजित परिणामों से करने का कार्य करता है।

- वर्तमान अवधि में प्राप्त स्तर; - उसी अवधि के लिए योजना बनाएं.

3) ओपीडी- समय के साथ किसी आर्थिक घटना के स्तर में परिवर्तन को दर्शाता है और एक निश्चित अवधि या समय बिंदु के लिए किसी विशेषता के स्तर को पिछली अवधि या समय बिंदु में उसी संकेतक के स्तर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। दूसरे तरीके से इन्हें विकास दर कहा जाता है. गुणांक या % में गणना की गई.

4) डी- अध्ययन के तहत जनसंख्या की संरचना, हिस्सेदारी, जनसंख्या के तत्वों के अनुपात को चिह्नित करें संपूर्ण परिणामऔर जनसंख्या इकाइयों () के हिस्से का जनसंख्या इकाइयों की कुल संख्या () के अनुपात का प्रतिनिधित्व करते हैं:

5) विकास की तीव्रता और स्तर- संतृप्ति या विकास की डिग्री को चिह्नित करें यह घटनाएक निश्चित वातावरण में, नाम दिए जाते हैं और उन्हें कई अनुपातों, %, ‰ और अन्य रूपों में व्यक्त किया जा सकता है।

6) रक्षा उद्योग- तुलना के आधार के रूप में ली गई आबादी के कुछ हिस्सों और उनमें से किसी एक के बीच संबंध को दर्शाता है। वे दिखाते हैं कि जनसंख्या का एक हिस्सा दूसरे से कितनी बार बड़ा है, या एक हिस्से की कितनी इकाइयाँ दूसरे हिस्से की 1, 10, 100, 1000 इकाइयों के बराबर हैं। इन सापेक्ष मूल्यों की गणना निरपेक्ष संकेतकों और संरचनात्मक संकेतकों दोनों द्वारा की जा सकती है।

7) ऑप्स- एक ही अवधि या समय बिंदु के अनुरूप समान निरपेक्ष या सापेक्ष संकेतकों के संबंधों को चिह्नित करें, लेकिन विभिन्न वस्तुओं या क्षेत्रों से संबंधित हों।

5.औसत मूल्य। औसत के प्रकार.

परिभाषा: आंकड़ों में औसत मूल्य एक सामान्य संकेतक है जो स्थान और समय की विशिष्ट परिस्थितियों में किसी घटना के विशिष्ट स्तर को दर्शाता है, जो गुणात्मक रूप से सजातीय जनसंख्या की प्रति इकाई अलग-अलग विशेषता के मूल्य को दर्शाता है।

औसत के प्रकार: 1) अंकगणित;

2) हार्मोनिक;

3) ज्यामितीय;

4) द्विघात;

5) घन.

ये सभी औसत पावर औसत के वर्ग से संबंधित हैं और सामान्य सूत्र (विभिन्न मूल्यों के लिए) द्वारा एकजुट होते हैं एम):

अध्ययनाधीन घटना का औसत मूल्य कहां है;

- औसत डिग्री सूचक;

- विशेषता का वर्तमान मूल्य औसत किया जा रहा है;

– चिन्हों की संख्या.

घातांक m के मान के आधार पर, निम्न प्रकार के शक्ति औसत प्रतिष्ठित हैं:

पर - हार्मोनिक माध्य;

पर – ज्यामितीय माध्य;

पर – अंकगणितीय माध्य;

पर – मूल माध्य वर्ग;

पर – औसत घन .

समान डेटा का उपयोग करते समय, m जितना बड़ा होगा, औसत मान उतना ही बड़ा होगा:

- औसत के प्रमुखता का नियम.

प्रत्येक मामले में औसत के प्रकार का चयन अध्ययन की जा रही जनसंख्या के विशिष्ट विश्लेषण के माध्यम से किया जाता है, यह अध्ययन की जा रही घटना की भौतिक सामग्री द्वारा निर्धारित किया जाता है।

6.अंकगणित औसत।

ए) सरल अंकगणितीय माध्यइसका उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां संपूर्ण जनसंख्या के लिए भिन्न विशेषता का आयतन उसकी व्यक्तिगत इकाइयों (सबसे सामान्य) की विशेषताओं के मूल्यों का योग होता है।

समूह औसत या जनसंख्या के अलग-अलग हिस्सों (आंशिक औसत) के औसत का उपयोग करके औसत की गणना करना अक्सर आवश्यक होता है, अर्थात। औसत का औसत. उदाहरण के लिए, औसत अवधिकिसी देश के नागरिकों की जीवन प्रत्याशा किसी देश के अलग-अलग क्षेत्रों की औसत जीवन प्रत्याशा का औसत है।

औसत मानों के औसत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना करते हुए की जाती है:

प्रत्येक समूह में इकाइयों की संख्या कहाँ है?

औसत मूल्यों के गुण:

1. यदि किसी विशेषता के सभी व्यक्तिगत मान एक कारक द्वारा कम (बढ़े) किए जाते हैं, तो नई विशेषता का औसत मूल्य एक कारक द्वारा तदनुसार घट (बढ़) जाएगा।

2. यदि औसत की जा रही विशेषता के वेरिएंट को कम (बढ़ाया) किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य तदनुसार उसी संख्या से घट (बढ़) जाएगा।

3. यदि सभी औसत विकल्पों का भार एक कारक से घटता (बढ़ता) है, तो अंकगणितीय औसत नहीं बदलेगा।

4. औसत से विचलन का योग शून्य है।

7.अनुकूल माध्य।ऐसे मामलों में उपयोग किया जाता है जहां व्यक्तिगत विकल्पों की आवृत्तियाँ ज्ञात नहीं होती हैं एक्ससमग्रता, और उनका कार्य प्रस्तुत किया गया है। आइए हम इस उत्पाद को इससे निरूपित करें, फिर हमें हार्मोनिक भारित औसत का सूत्र प्राप्त होता है:

परिवर्तित रूप है और उसके समान है। इसके बजाय, आप हमेशा गणना कर सकते हैं, लेकिन ऐसा करने के लिए आपको हार्मोनिक माध्य के वजन में छिपी विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों का वजन निर्धारित करने की आवश्यकता है।

ऐसे मामलों में जहां प्रत्येक विकल्प का महत्व एक के बराबर है मतलब हार्मोनिक सरल:

व्युत्क्रम विशेषता के अलग-अलग प्रकार कहां हैं, जो एक बार घटित होते हैं,

- विकल्पों की संख्या.

यदि जनसंख्या के दो भागों (संख्या और) के लिए हार्मोनिक औसत दिए गए हैं, तो संपूर्ण जनसंख्या के लिए समग्र हार्मोनिक औसत को समूह औसत के भारित हार्मोनिक औसत के रूप में दर्शाया जा सकता है:

8.जियोमेट्रिक माध्य।इसका उपयोग तब किया जाता है जब विशेषता के व्यक्तिगत मूल्यों को औसत वृद्धि गुणांक द्वारा चित्रित किया जाता है (वे, एक नियम के रूप में, सापेक्ष गतिशीलता मूल्य, श्रृंखला मूल्यों के रूप में निर्मित होते हैं, प्रत्येक स्तर के पिछले स्तर के अनुपात के रूप में) गतिशीलता श्रृंखला)। सूत्र द्वारा परिकलित:

- विकल्पों की संख्या; - कार्य का संकेत.

समय श्रृंखला के साथ-साथ वितरण श्रृंखला में परिवर्तन की औसत दर निर्धारित करने के लिए इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है (हम इसके उपयोग पर बाद में विचार करेंगे)।

9.माध्य वर्ग और माध्य घन।

- n वर्ग खंडों, पाइप व्यास आदि के औसत पार्श्व आकार की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है।

परिभाषा:मोड () - एक यादृच्छिक चर का मान जो एक असतत भिन्नता श्रृंखला में सबसे बड़ी संभावना के साथ होता है - वह विकल्प जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है।

ग्राहक की मांग का अध्ययन करने, कीमतें रिकॉर्ड करने आदि में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

गणना के लिए सूत्र:

मोडल अंतराल की निचली सीमा कहाँ है;

- मोडल, पिछले और निम्नलिखित मोडल अंतराल में आवृत्तियाँ (क्रमशः)।

मोडल अंतराल उच्चतम आवृत्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है।

परिभाषा:माध्यिका एक विकल्प है जो भिन्नता श्रृंखला के मध्य में है।

श्रृंखला को दो समान (इकाइयों की संख्या के अनुसार) भागों में विभाजित करता है - विशेषता मान माध्यिका से कम और विशेषता मान माध्यिका से अधिक।

मोड और माध्यिका, एक नियम के रूप में, माध्य मान से भिन्न होते हैं, केवल भिन्नता श्रृंखला के सममित आवृत्ति वितरण के मामले में इसके साथ मेल खाते हैं। इसलिए, मोड, माध्यिका और अंकगणितीय माध्य का अनुपात हमें वितरण श्रृंखला की विषमता का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है।

मोड और माध्यिका आमतौर पर जनसंख्या माध्य के पूरक होते हैं और वितरण श्रृंखला के आकार का विश्लेषण करने के लिए गणितीय आंकड़ों में उपयोग किए जाते हैं।

माध्यिका के समान, एक विशेषता के मूल्यों की गणना की जाती है, जनसंख्या को चार समान (इकाइयों की संख्या के अनुसार) भागों में विभाजित किया जाता है - चतुर्थक, पांच में - क्विंटल, दस में - दशमलव, एक सौ - प्रतिशत में।