Un et 0 pantalon pythagoricien. Les chiffres incroyables du professeur Stewart. Les forces étaient égales

Presque égal Club de 12 chaises Presque égal PROSE IRONIQUE La mort est arrivée à un pauvre homme. Et il était plutôt sourd. Donc normal, mais un peu sourd... Et il voyait mal. Je n'ai presque rien vu. - Oh, nous avons des invités ! S'il vous plaît, passez. La mort dit : « Attendez pour vous réjouir »

» Professeur émérite de mathématiques à l'Université de Warwick, célèbre vulgarisateur scientifique Ian Stewart, dédié au rôle des nombres dans l'histoire de l'humanité et à la pertinence de leur étude à notre époque.

Hypoténuse de Pythagore

Les triangles de Pythagore ont des angles droits et des côtés entiers. Le plus simple d'entre eux a un côté le plus long de longueur 5, les autres - 3 et 4. Il y a 5 polyèdres réguliers au total. Une équation du cinquième degré ne peut pas être résolue à l’aide des racines du cinquième degré – ou de toute autre racine. Les réseaux sur un plan et dans un espace tridimensionnel n'ont pas de symétrie de rotation à cinq lobes, de telles symétries sont donc absentes dans les cristaux. Cependant, ils peuvent être trouvés dans des réseaux à quatre dimensions et dans des structures intéressantes appelées quasi-cristaux.

Hypoténuse du plus petit triplet de Pythagore

Le théorème de Pythagore stipule que le côté le plus long d'un triangle rectangle (la fameuse hypoténuse) est lié aux deux autres côtés de ce triangle d'une manière très simple et belle : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés du deux autres côtés.

Traditionnellement, on appelle ce théorème du nom de Pythagore, mais en fait son histoire est assez vague. Les tablettes d'argile suggèrent que les anciens Babyloniens connaissaient le théorème de Pythagore bien avant Pythagore lui-même ; La renommée du découvreur lui a été apportée par le culte mathématique des Pythagoriciens, dont les partisans croyaient que l'Univers était basé sur des lois numériques. Les auteurs anciens attribuaient une variété de théorèmes mathématiques aux Pythagoriciens - et donc à Pythagore, mais en fait, nous n'avons aucune idée du type de mathématiques dans lesquelles Pythagore lui-même était impliqué. Nous ne savons même pas si les Pythagoriciens ont pu prouver le théorème de Pythagore ou s'ils l'ont simplement cru vrai. Ou, très probablement, ils disposaient de preuves convaincantes de sa véracité, ce qui ne suffirait néanmoins pas pour ce que nous considérons aujourd’hui comme des preuves.

Preuves de Pythagore

La première preuve connue du théorème de Pythagore se trouve dans les Éléments d'Euclide. Il s’agit d’une preuve assez complexe utilisant un dessin que les écoliers victoriens reconnaîtraient immédiatement comme étant un « pantalon pythagoricien » ; Le dessin ressemble vraiment à des caleçons séchant sur une corde. Il existe littéralement des centaines d’autres preuves, dont la plupart rendent cette affirmation plus évidente.

// Riz. 33. Pantalon pythagoricien

L’une des preuves les plus simples est une sorte de puzzle mathématique. Prenez n’importe quel triangle rectangle, faites-en quatre copies et assemblez-les à l’intérieur du carré. Dans un arrangement, nous voyons un carré sur l'hypoténuse ; avec les autres carrés des deux autres côtés du triangle. Il est clair que les superficies sont égales dans les deux cas.

// Riz. 34. Gauche : carré sur l'hypoténuse (plus quatre triangles). À droite : somme des carrés des deux autres côtés (plus les quatre mêmes triangles). Maintenant, éliminez les triangles

La dissection de Perigal est une autre preuve d'énigme.

// Riz. 35. Dissection de Périgal

Il existe également une preuve du théorème utilisant la disposition des carrés sur un plan. C'est peut-être ainsi que les Pythagoriciens ou leurs prédécesseurs inconnus ont découvert ce théorème. Si vous regardez comment le carré oblique chevauche deux autres carrés, vous pouvez voir comment couper un grand carré en morceaux, puis les assembler en deux carrés plus petits. On peut également voir des triangles rectangles dont les côtés donnent les dimensions des trois carrés concernés.

// Riz. 36. Preuve par pavage

Il existe des preuves intéressantes utilisant triangles similaires en trigonométrie. Au moins cinquante preuves différentes sont connues.

Triples de Pythagore

En théorie des nombres, le théorème de Pythagore est devenu la source d’une idée féconde : trouver des solutions entières à des équations algébriques. Un triplet de Pythagore est un ensemble d'entiers a, b et c tels que

Géométriquement, un tel triplet définit un triangle rectangle à côtés entiers.

La plus petite hypoténuse d'un triplet pythagoricien est 5.

Les deux autres côtés de ce triangle sont 3 et 4. Ici

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

La deuxième plus grande hypoténuse est 10 car

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Cependant, il s’agit essentiellement du même triangle avec des doubles côtés. L'hypoténuse suivante, la plus grande et vraiment différente, est 13, pour laquelle

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Euclide savait qu'il existait un nombre infini de variations différentes des triplets pythagoriciens, et il a donné ce qu'on pourrait appeler une formule pour les trouver toutes. Plus tard, Diophante d’Alexandrie proposa une recette simple, fondamentalement identique à celle euclidienne.

Prenez deux nombres naturels quelconques et calculez :

leur double produit ;

la différence de leurs carrés ;

la somme de leurs carrés.

Les trois nombres résultants seront les côtés du triangle de Pythagore.

Prenons par exemple les nombres 2 et 1. Calculons :

produit double : 2 × 2 × 1 = 4 ;

différence de carrés : 22 - 12 = 3 ;

somme des carrés : 22 + 12 = 5,

et nous avons obtenu le fameux triangle 3-4-5. Si on prend plutôt les nombres 3 et 2, on obtient :

produit double : 2 × 3 × 2 = 12 ;

différence de carrés : 32 - 22 = 5 ;

somme des carrés : 32 + 22 = 13,

et nous obtenons le prochain triangle le plus célèbre 5 - 12 - 13. Essayons de prendre les nombres 42 et 23 et obtenons :

produit double : 2 × 42 × 23 = 1932 ;

différence de carrés : 422 - 232 = 1235 ;

somme des carrés : 422 + 232 = 2293,

personne n’a jamais entendu parler du triangle 1235-1932-2293.

Mais ces chiffres fonctionnent aussi :

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Il y a une autre caractéristique de la règle diophantienne à laquelle on a déjà fait allusion : étant donné trois nombres, nous pouvons prendre un autre nombre arbitraire et les multiplier tous par celui-ci. Ainsi, un triangle 3-4-5 peut être transformé en un triangle 6-8-10 en multipliant tous les côtés par 2, ou en un triangle 15-20-25 en multipliant le tout par 5.

Si l’on passe au langage de l’algèbre, la règle prend la forme suivante : soit u, v et k des nombres naturels. Alors un triangle rectangle avec des côtés

2kuv et k (u2 - v2) a une hypoténuse

Il existe d'autres manières de présenter l'idée principale, mais elles se résument toutes à celle décrite ci-dessus. Cette méthode permet d'obtenir tous les triplets de Pythagore.

Polyèdres réguliers

Il existe exactement cinq polyèdres réguliers. Un polyèdre régulier (ou polyèdre) est une figure tridimensionnelle comportant un nombre fini de faces planes. Les faces se rencontrent sur des lignes appelées bords ; les arêtes se rejoignent en des points appelés sommets.

Le point culminant des Principia d'Euclide est la preuve qu'il ne peut y avoir que cinq polyèdres réguliers, c'est-à-dire des polyèdres dont chaque face est un polygone régulier ( côtés égaux, angles égaux), toutes les faces sont identiques et tous les sommets sont entourés d'un nombre égal de faces également espacées. Voici cinq polyèdres réguliers :

tétraèdre à quatre faces triangulaires, quatre sommets et six arêtes ;

cube, ou hexaèdre, à 6 faces carrées, 8 sommets et 12 arêtes ;

octaèdre à 8 faces triangulaires, 6 sommets et 12 arêtes ;

dodécaèdre à 12 faces pentagonales, 20 sommets et 30 arêtes ;

Un icosaèdre avec 20 faces triangulaires, 12 sommets et 30 arêtes.

// Riz. 37. Cinq polyèdres réguliers

Les polyèdres réguliers peuvent également être trouvés dans la nature. En 1904, Ernst Haeckel publia des dessins de minuscules organismes appelés radiolaires ; beaucoup d’entre eux ont la forme de ces mêmes cinq polyèdres réguliers. Peut-être, cependant, a-t-il légèrement corrigé la nature et les dessins ne reflètent pas pleinement la forme d'êtres vivants spécifiques. Les trois premières structures sont également observées dans les cristaux. Vous ne trouverez pas de dodécaèdres et d'icosaèdres dans les cristaux, bien qu'on y trouve parfois des dodécaèdres et des icosaèdres irréguliers. Les vrais dodécaèdres peuvent se présenter sous forme de quasi-cristaux, qui ressemblent en tous points aux cristaux, sauf que leurs atomes ne forment pas de réseau périodique.

// Riz. 38. Dessins de Haeckel : radiolaires en forme de polyèdres réguliers

// Riz. 39. Développements de polyèdres réguliers

Il peut être intéressant de réaliser des modèles de polyèdres réguliers à partir de papier en découpant d'abord un ensemble de faces interconnectées - c'est ce qu'on appelle développer un polyèdre ; le développement est plié le long des bords et les bords correspondants sont collés ensemble. Il est utile d'ajouter un tampon de colle supplémentaire à l'une des nervures de chacune de ces paires, comme le montre la Fig. 39. S'il n'existe pas de telle plate-forme, vous pouvez utiliser du ruban adhésif.

Équation du cinquième degré

Il n’existe pas de formule algébrique pour résoudre les équations du 5ème degré.

DANS vue générale L’équation du cinquième degré ressemble à ceci :

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Le problème est de trouver une formule pour les solutions d’une telle équation (elle peut avoir jusqu’à cinq solutions). L'expérience avec les équations quadratiques et cubiques, ainsi que les équations du quatrième degré, suggère qu'une telle formule devrait également exister pour les équations du cinquième degré et, en théorie, les racines des cinquième, troisième et deuxième degrés devraient y apparaître. Encore une fois, nous pouvons supposer sans risque qu’une telle formule, si elle existe, sera très, très complexe.

Cette hypothèse s’est finalement révélée fausse. En fait, une telle formule n’existe pas ; du moins, il n'existe pas de formule composée des coefficients a, b, c, d, e et f, faite par addition, soustraction, multiplication et division, et prenant des racines. Il y a donc quelque chose de très spécial dans le chiffre 5. Les raisons de ce comportement inhabituel des cinq sont très profondes et il a fallu beaucoup de temps pour les comprendre.

Le premier signe de difficulté était que peu importe les efforts déployés par les mathématiciens pour trouver une telle formule, aussi intelligents soient-ils, ils échouaient invariablement. Pendant un certain temps, tout le monde a cru que les raisons résidaient dans l’incroyable complexité de la formule. On pensait que personne ne pouvait comprendre correctement cette algèbre. Cependant, au fil du temps, certains mathématiciens ont commencé à douter de l'existence d'une telle formule et, en 1823, Niels Hendrik Abel a pu prouver le contraire. Une telle formule n’existe pas. Peu de temps après, Évariste Galois trouva le moyen de déterminer si une équation d’un degré ou d’un autre – 5e, 6e, 7e, n’importe quel type – était résoluble à l’aide de ce genre de formule.

La conclusion de tout cela est simple : le chiffre 5 est spécial. Vous pouvez résoudre des équations algébriques (en utilisant nièmes racines degrés pour différentes valeurs de n) pour les puissances 1, 2, 3 et 4, mais pas pour la 5ème puissance. C’est là que s’arrête le schéma évident.

Personne n'est surpris que les équations de degrés supérieurs à 5 se comportent encore moins bien ; en particulier, la même difficulté leur est associée : il n'existe pas de formules générales pour les résoudre. Cela ne veut pas dire que les équations n’ont pas de solutions ; Cela ne signifie pas non plus qu'il soit impossible de trouver des valeurs numériques très précises pour ces solutions. Tout dépend des limites des outils d'algèbre traditionnels. Cela n’est pas sans rappeler l’impossibilité de trisection d’un angle à l’aide d’une règle et d’un compas. La réponse existe, mais les méthodes listées sont insuffisantes et ne permettent pas de déterminer de quoi il s’agit.

Limitation cristallographique

Les cristaux en deux et trois dimensions n'ont pas de symétrie de rotation à 5 rayons.

Les atomes d'un cristal forment un réseau, c'est-à-dire une structure qui se répète périodiquement dans plusieurs directions indépendantes. Par exemple, le motif sur le papier peint est répété sur toute la longueur du rouleau ; de plus, il est généralement répété dans le sens horizontal, avec parfois un décalage d'un morceau de papier peint à l'autre. Essentiellement, le papier peint est un cristal bidimensionnel.

Il existe 17 variétés de motifs de papier peint sur un avion (voir chapitre 17). Ils diffèrent par les types de symétrie, c'est-à-dire par la manière de déplacer le motif de manière rigide afin qu'il repose exactement sur lui-même dans sa position d'origine. Les types de symétrie comprennent notamment diverses variantes de symétrie de rotation, dans lesquelles le motif doit pivoter d'un certain angle autour d'un certain point - le centre de symétrie.

L'ordre de symétrie de rotation correspond au nombre de fois où le corps peut pivoter sur un cercle complet afin que tous les détails du motif reviennent à leur position d'origine. Par exemple, une rotation de 90° correspond à une symétrie de rotation du 4ème ordre*. La liste des types possibles de symétrie de rotation dans un réseau cristallin souligne à nouveau le caractère inhabituel du chiffre 5 : il n'est pas là. Il existe des options avec une symétrie de rotation du 2e, 3e, 4e et 6e ordre, mais aucun des modèles de papier peint n'a une symétrie de rotation du 5e ordre. La symétrie de rotation d'ordre supérieur à 6 n'existe pas non plus dans les cristaux, mais la première violation de la séquence se produit toujours au numéro 5.

La même chose se produit avec les systèmes cristallographiques dans l’espace tridimensionnel. Ici, le réseau se répète dans trois directions indépendantes. Il y a 219 divers types symétrie, ou 230, si l'on considère le reflet miroir du dessin comme une variante distincte de celui-ci - malgré le fait que dans ce cas il n'y a pas de symétrie miroir. Encore une fois, des symétries de rotation des ordres 2, 3, 4 et 6 sont observées, mais pas 5. Ce fait est appelé confinement cristallographique.

Dans l'espace à quatre dimensions, il existe des réseaux avec une symétrie du 5ème ordre ; En général, pour des réseaux de dimension suffisamment élevée, tout ordre prédéterminé de symétrie de rotation est possible.

// Riz. 40. Réseau cristallin de sel de table. Les boules sombres représentent les atomes de sodium, les boules claires représentent les atomes de chlore

Quasicristaux

Bien que la symétrie de rotation du 5ème ordre ne soit pas possible dans les réseaux 2D ou 3D, elle peut exister dans des structures légèrement moins régulières appelées quasi-cristaux. En utilisant les croquis de Kepler, Roger Penrose a découvert des systèmes plats avec plus type général symétrie quintuple. On les appelle quasi-cristaux.

Les quasi-cristaux existent dans la nature. En 1984, Daniel Shechtman découvre qu'un alliage d'aluminium et de manganèse peut former des quasi-cristaux ; Au départ, les cristallographes ont accueilli son rapport avec un certain scepticisme, mais la découverte a ensuite été confirmée et, en 2011, Shechtman a reçu le prix Nobel de chimie. En 2009, une équipe de scientifiques dirigée par Luca Bindi a découvert des quasi-cristaux dans un minéral des hautes terres russes de Koryak, un composé d'aluminium, de cuivre et de fer. Aujourd'hui, ce minéral s'appelle icosaédrite. En mesurant la teneur en différents isotopes de l’oxygène du minéral à l’aide d’un spectromètre de masse, les scientifiques ont montré que ce minéral n’était pas originaire de la Terre. Il s'est formé il y a environ 4,5 milliards d'années, à une époque où système solaire n’en était qu’à ses balbutiements et passait la plupart de son temps dans la ceinture d’astéroïdes, en orbite autour du Soleil, jusqu’à ce qu’une perturbation modifie son orbite et l’a finalement amené sur Terre.

// Riz. 41. À gauche : l’un des deux réseaux quasicristallins avec une symétrie exacte quintuple. À droite : modèle atomique d’un quasi-cristal icosaédrique d’aluminium-palladium-manganèse

Tout le monde connaît le théorème de Pythagore depuis l’école. Un mathématicien exceptionnel a prouvé une excellente hypothèse, qui est actuellement utilisée par de nombreuses personnes. La règle est la suivante : le carré de la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des branches. Pendant de nombreuses décennies, pas un seul mathématicien n’a été capable d’argumenter cette règle. Après tout, Pythagore a mis beaucoup de temps à atteindre son objectif, de sorte que les dessins se dérouleraient dans la vie de tous les jours.

1. Un petit verset de ce théorème, inventé peu de temps après la preuve, prouve directement les propriétés de l'hypothèse : « Les pantalons de Pythagore sont égaux dans toutes les directions ». Ce vers de deux vers est gravé dans la mémoire de nombreuses personnes - à ce jour, le poème reste gravé dans les mémoires lors des calculs.
2. Ce théorème a été appelé « Pantalon de Pythagore » en raison du fait qu'en dessinant au milieu, on obtenait un triangle rectangle, avec des carrés de chaque côté. En apparence, ce dessin ressemblait à un pantalon - d'où le nom de l'hypothèse.
3. Pythagore était fier du théorème développé, car cette hypothèse diffère des hypothèses similaires par le maximum de preuves. Important : l'équation a été incluse dans le Livre Guinness des Records grâce à 370 preuves vraies.
4. L'hypothèse a été prouvée par un grand nombre de mathématiciens et de professeurs de différents pays De plusieurs façons. Le mathématicien anglais Jones a rapidement annoncé l'hypothèse et l'a prouvée à l'aide d'une équation différentielle.
5. À l’heure actuelle, personne ne connaît la démonstration du théorème par Pythagore lui-même.. Les faits sur les preuves d'un mathématicien ne sont connus de personne aujourd'hui. On pense que la preuve des dessins d'Euclide est la preuve de Pythagore. Cependant, certains scientifiques contestent cette affirmation : beaucoup pensent qu'Euclide a prouvé le théorème de manière indépendante, sans l'aide du créateur de l'hypothèse.
6. Les scientifiques d'aujourd'hui ont découvert que le grand mathématicien n'était pas le premier à découvrir cette hypothèse.. L'équation était connue bien avant sa découverte par Pythagore. Ce mathématicien n'a pu que réunir l'hypothèse.
7. Pythagore n’a pas donné à l’équation le nom de « Théorème de Pythagore ».. Ce nom est resté après le « deux lignes bruyantes ». Le mathématicien voulait seulement que le monde entier connaisse et utilise ses efforts et ses découvertes.
8. Moritz Cantor, le grand mathématicien, a trouvé et vu des notes avec des dessins sur des papyrus anciens. Peu de temps après, Cantor se rendit compte que ce théorème était connu des Égyptiens dès 2300 avant JC. Seulement alors, personne n’en a profité ni n’a essayé de le prouver.
9. Les scientifiques actuels pensent que l'hypothèse était connue au 8ème siècle avant JC.. Les scientifiques indiens de l'époque ont découvert un calcul approximatif de l'hypoténuse d'un triangle doté d'angles droits. Certes, à cette époque, personne n'était en mesure de prouver l'équation avec certitude à l'aide de calculs approximatifs.
10. Le grand mathématicien Bartel van der Waerden, après avoir prouvé l'hypothèse, a conclu une conclusion importante: « Le mérite du mathématicien grec n'est pas considéré comme la découverte de la direction et de la géométrie, mais seulement sa justification. Pythagore avait entre les mains des formules de calcul basées sur des hypothèses, des calculs inexacts et des idées vagues. Cependant, un scientifique exceptionnel a réussi à en faire une science exacte.
11. Le célèbre poète a déclaré que le jour de la découverte de son dessin, il avait érigé un glorieux sacrifice pour les taureaux.. C’est après la découverte de l’hypothèse que des rumeurs commencèrent à se répandre selon lesquelles le sacrifice d’une centaine de taureaux « allait errer dans les pages des livres et des publications ». À ce jour, on plaisante en disant que depuis lors, tous les taureaux ont eu peur de la nouvelle découverte.
12. Preuve que ce n'est pas Pythagore qui a inventé le poème sur le pantalon pour prouver les dessins qu'il propose : Durant la vie du grand mathématicien, il n'y avait pas encore de pantalon. Ils ont été inventés plusieurs décennies plus tard.
13. Pekka, Leibniz et plusieurs autres scientifiques ont tenté de prouver le théorème précédemment connu, mais personne n'y est parvenu.
14. Le nom des dessins « Théorème de Pythagore » signifie « persuasion par la parole ». C'est ainsi que se traduit le mot Pythagore, que le mathématicien a pris comme pseudonyme.
15. Réflexions de Pythagore sur son propre règne : le secret de tout sur terre réside dans le nombre. Après tout, le mathématicien, s'appuyant sur sa propre hypothèse, a étudié les propriétés des nombres, identifié la paire et l'impair et créé des proportions.

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Nom, pluriel, utilisé comparer souvent Morphologie : pl. Quoi? un pantalon, (non) quoi ? un pantalon, quoi ? un pantalon, (voir) quoi ? un pantalon, quoi ? un pantalon, et alors ? à propos des pantalons 1. Les pantalons sont un vêtement qui a deux jambes courtes ou longues et qui recouvre la partie inférieure... ... Dictionnaire explicatif de Dmitriev

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