Laissez une fonction à valeur unique être définie dans un certain domaine et laissez les points et appartenir au domaine.

Définition. S'il existe une limite finie du rapport lorsque, selon une loi quelconque, il tend vers zéro, alors :

1) cette limite est appelée dérivée d'une fonction en un point et est indiqué par le symbole

2) dans ce cas la fonction est appelée différenciable au point.

Toutes les règles et formules de différenciation des fonctions d'une variable réelle restent en vigueur pour les fonctions d'une variable complexe.

Théorème. Pour qu'une fonction soit différentiable en un point , il est nécessaire et suffisant que :

1) fonctions réelles et différenciables au point *);

2) à ce stade, les conditions étaient remplies

, (4.2)

appelé Conditions de Cauchy-Riemann(C.-R.)ou d'Alembert-Euler.

Si les conditions sont remplies ( C.-R.) la dérivée d'une fonction peut être trouvée en utilisant l'une des formules suivantes :

Présentons deux définitions qui sont d'une importance fondamentale dans la théorie des fonctions d'une variable complexe.

Définition.Fonction appelé analytique sur le terrain, s'il est différentiable en tout point de cette région.

Définition.Fonction appelé analytique au point, s'il est analytique dans un certain voisinage du point, c'est-à-dire si la fonction est différentiable non seulement en un point donné, mais aussi dans son voisinage.

D'après les définitions ci-dessus, il est clair que les concepts d'analyticité et de différentiabilité d'une fonction dans un domaine coïncident, mais l'analyticité d'une fonction en un point et la différentiabilité en un point sont des concepts différents. Si une fonction est analytique en un point, alors elle y est certainement dérivable, mais l’inverse n’est peut-être pas vrai. Une fonction peut être dérivable en un point, mais ne pas être dérivable au voisinage de ce point, auquel cas elle ne sera pas analytique au point en question.

La condition pour qu’une fonction soit analytique dans un domaine est que les conditions de Cauchy-Riemann soient satisfaites pour tous les points de ce domaine.

Relation entre fonctions analytiques et fonctions harmoniques. N’importe quelle fonction de deux variables peut-elle servir de partie réelle et imaginaire d’une fonction analytique ?

Si la fonction est analytique dans le domaine, alors les fonctions sont harmoniques, c’est-à-dire qu’elles satisfont à l’équation de Laplace.

Et .

Cependant, si les fonctions sont des fonctions harmoniques arbitrairement choisies, alors la fonction , d’une manière générale, ne sera pas analytique, c’est-à-dire les conditions pour eux ne seront pas toujours remplies.

Vous pouvez construire une fonction analytique à partir d'une fonction harmonique donnée (par exemple, ), en prenant un autre pour que les conditions soient remplies. Les conditions (4.2) permettent de déterminer une fonction inconnue (par exemple, ) par ses deux dérivées partielles ou, ce qui revient au même, par sa différentielle totale. Trouver une fonction harmonique à partir de sa différentielle est le problème de l'intégration de la différentielle totale d'une fonction de deux variables, connu de l'analyse réelle.

Signification géométrique du module et argument de la dérivée. Soit la fonction dérivable dans le domaine et . La fonction mappera un point plan sur un point plan, une courbe passant par un point sur une courbe passant par (Fig. 4.1).

Module dérivé est la limite du rapport de la distance infinitésimale entre les points cartographiés et à la distance infinitésimale entre leurs prototypes et . Par conséquent, la quantité peut être considérée géométriquement comme un coefficient d'étirement (si ) en un point lors de la cartographie d'une région en région, réalisée par la fonction

En chaque point de la région, dans chaque direction, le coefficient d'étirement sera différent. Pour l’argument dérivé, on peut écrire

où et sont respectivement les angles et que les vecteurs et forment avec l'axe réel (Fig. 4.1). Soit les angles formés par les tangentes à la courbe et aux points et avec l'axe réel. Alors pour , a , donc définit l'angle selon lequel la tangente à la courbe au point doit être tournée pour obtenir la direction de la tangente à la courbe au point .

Si l'on considère deux courbes et , et , alors les angles et (Fig. 4.1) entre leurs tangentes sont, d'une manière générale, inégaux.

Définition. Une cartographie d'un domaine vers un domaine ayant les propriétés de dilatations constantes () dans n'importe quelle direction et de conservation (ou conservatisme) des angles entre deux courbes se coupant en un point est appelée conforme(similaire en petit). La cartographie effectuée par la fonction analytique est conforme en tous les points auxquels .

DES EXERCICES

55. Montrer que la fonction est différentiable et analytique dans tout le plan complexe. Calculez sa dérivée.

Solution. Trouvons et. Par définition, nous avons . Ainsi, .

, ,

Où , .

Comme on peut le voir, les dérivées partielles sont continues dans tout le plan, et les fonctions et sont différentiables en chaque point du plan. Les conditions sont remplies. Par conséquent, elle est différentiable en tout point du plan, et donc analytique sur tout le plan. Par conséquent, la dérivée peut être trouvée en utilisant l'une des formules (4.3) :

Enfin, la dérivée peut être trouvée en utilisant les règles de différenciation formelle : .

56. Découvrez si la fonction est analytique :

Solution. a) Depuis donc, d'où . Comme on peut le voir, la première condition (4.2) n’est satisfaite pour aucun et . Par conséquent, la fonction n’est dérivable en aucun point du plan, et donc non analytique.

b) Nous avons . Fonction Et sont différentiables en tout point du plan, car leurs dérivées partielles sont continues dans tout le plan. Mais les conditions ne sont satisfaites en aucun point du plan, à l’exception du point où toutes les dérivées partielles sont égales à zéro. Par conséquent, la fonction n'est dérivable qu'en un point, mais n'y est pas analytique, puisque par définition elle nécessite une différentiabilité au voisinage de ce point.

Ainsi, la fonction n’est analytique pour aucune valeur. D’après l’exemple ci-dessus, il est clair que l’analyticité d’une fonction en un point est une exigence plus forte que sa différentiabilité en ce point.

57. Existe-t-il une fonction analytique pour laquelle ?

Solution. Vérifions si la fonction est harmonique. A cet effet, nous trouvons

Et . De cette dernière relation, il s’ensuit qu’elle ne peut pas être une partie réelle ou imaginaire d’une fonction analytique.

58. Trouver, si possible, une fonction analytique à partir de sa partie réelle .

Solution. Vérifions d'abord si la fonction est harmonique. Nous trouvons , , , Et . Une fonction harmonique sur tout le plan est associée aux conditions de Cauchy-Riemann, . De ces conditions on obtient, . A partir de la première équation du système, nous la trouvons en intégrant sur , en supposant constant.

où est une fonction arbitraire à déterminer. Trouvons-le à partir d'ici et l'assimilons à l'expression trouvée précédemment : . On obtient une équation différentielle pour déterminer la fonction , où

Donc, . Ensuite, c'est-à-dire à ce stade, il y a une rotation d'un angle et formant un angle entre eux, sont respectivement affichés en rayons et formant un angle entre eux . Par conséquent, en un certain point, la conformité de la cartographie est violée du fait que la propriété de conservatisme angulaire est violée : les angles ne sont pas conservés, mais sont triplés.

La tâche principale de la théorie des applications conformes est de construire une application conforme d'un domaine donné sur un domaine donné du plan de la variable w.

Une cartographie continue d'une région de l'espace euclidien à 2 dimensions dans un espace euclidien à 2 dimensions est dite conforme en un point si elle a les propriétés d'extensions constantes et de conservation des angles en ce point. La propriété de constance des dilatations en un point lors de la cartographie est que le rapport de la distance entre les images et les points u à la distance entre et tend vers une certaine limite lorsqu'il tend vers une manière arbitraire ; le nombre est appelé coefficient d'étirement en un point sous la cartographie en question. La propriété de conservation (conservatisme) des angles en un point pendant la cartographie est que toute paire de courbes continues situées en un point et se coupant en un point selon un angle b (c'est-à-dire ayant des tangentes en un point formant un angle b entre elles), sous la la cartographie en question se déroule dans une paire de courbes continues se coupant en un point sous le même angle b. Une cartographie continue d'un domaine est dite conforme si elle est conforme en chaque point du domaine.

Par définition, une cartographie conforme d'un domaine doit être continue et conforme uniquement en des points internes, et si l'on parle d'une cartographie conforme d'un domaine fermé, alors, en règle générale, cela signifie une cartographie continue d'un domaine fermé, conforme en ses points internes.

Les mappages conformes d'une région de l'espace euclidien à 2 dimensions dans l'espace euclidien à 2 dimensions peuvent être commodément considérés comme un mappage d'une région du plan d'une variable complexe dans le plan d'une variable complexe ; par conséquent, le mappage est une fonction à valeurs complexes d'une variable complexe. De plus, si en un point la cartographie préserve les angles, alors les angles curvilignes avec un sommet avec cette cartographie soit conservent leur valeur absolue et leur signe, soit conservent leur valeur absolue, en changeant le signe en l'opposé. Dans le premier cas, nous disons que l'application en un point est une application conforme du premier type, dans le second - une application conforme du deuxième type. Si une fonction définit une application conforme du deuxième type en un point, alors la fonction conjuguée complexe w= définit une application conforme du premier type en un point, et vice versa. Par conséquent, seules les applications conformes du premier type sont étudiées, et c'est d'elles que l'on parle généralement lorsqu'on parle d'application conforme, sans préciser leur type. Si l'application est conforme en un point, alors il existe une limite finie de la relation, c'est-à-dire qu'il existe une dérivée. L'inverse est également vrai. Ainsi, s'il y en a, alors chaque vecteur infinitésimal ayant son origine en un point est transformé lorsqu'il est affiché à l'aide d'une fonction linéaire, c'est-à-dire s'étire d'un facteur, tourne d'un angle arg et se déplace en parallèle d'un vecteur.

Dans la théorie des mappages conformes plats et ses applications, la question fondamentale est la possibilité de mapper de manière univalente et conforme un domaine donné sur un autre, et dans les applications pratiques, la question de la possibilité de le faire en utilisant des fonctions relativement simples. Le premier problème, pour le cas de domaines simplement connectés dont les frontières ne sont pas vides et ne dégénèrent pas en points, est résolu dans le sens positif par le théorème de cartographie conforme de Riemann. Le deuxième problème relatif à certains domaines d'un type particulier est résolu en utilisant des fonctions élémentaires d'une variable complexe.

Principes de base de la théorie des cartographies conformes sur la cartographie d'une région à une autre

Théorème de Riemann. Soit une région simplement connexe du plan complexe étendu dont la frontière contient au moins deux points. Alors:

• 1) il existe une fonction analytique qui correspond de manière conforme au cercle unitaire
• 2) cette fonction peut être sélectionnée pour que les conditions soient remplies

où les points donnés sont le nombre réel donné. Dans ce cas, la fonction est déterminée uniquement par les conditions (1).

Deux régions simplement connectées, chacune comportant au moins deux points limites, peuvent être cartographiées de manière conforme l'une à l'autre. Une position théorique importante caractérisant le comportement d'une application conforme près de la limite d'un domaine est le principe de correspondance de frontière suivant.

Théorème 1. Soit et soient des domaines simplement connectés délimités par des contours simples et lisses par morceaux et, et laissez la fonction mapper de manière univalente et conforme un domaine sur un domaine. Alors:

• 1) la fonction a une extension continue jusqu'à la limite de la région, c'est-à-dire on peut en outre définir aux points du contour que le résultat est une fonction continue en fermeture ;
• 2) la fonction, qui est définie plus en détail à la frontière, mappe le contour un à un sur le contour, et de telle manière qu'un contournement positif du contour correspondra à un contournement positif du contour.

Théorème 2. Soit la fonction analytique dans un domaine simplement connexe délimité par un contour lisse par morceaux et continue dans la fermeture de ce domaine. Si une fonction effectue une cartographie biunivoque d'un contour sur un contour simple et lisse par morceaux, alors elle mappe la région de manière conforme et univalente sur la région délimitée par le contour, et un parcours du contour dans la direction positive correspond à un parcours du contour également dans le sens positif.

Pour prouver le théorème, il suffit de montrer que

• 1) pour chaque point il n'y en a qu'un seul tel que, c'est-à-dire la fonction n'a qu'un seul zéro dans sa portée ;
• 2) pour chaque point, il n'y a pas de point tel que c'est-à-dire la fonction ne prend aucune valeur

Démontrons la première affirmation. D’après les conditions du théorème, la fonction ne disparaît pas sur le contour, car lorsque le point tombe sur le contour, mais s'y trouve et ne peut pas y appartenir. Cela signifie que, selon le principe de l'argument, le nombre de zéros de la fonction dans la région est égal à

Puisque le point se situe dans la zone limitée par le contour, alors où le signe plus correspond au sens positif de parcours du contour. Une valeur négative dans ce cas est impossible, car elle indique la présence dans la région des pôles de la fonction et, par condition, est analytique en Par conséquent, l'équation dans la région n'a qu'une seule solution.

Considérons la deuxième affirmation. Si le point est situé à l’extérieur du contour, alors l’équation n’a pas de solution dans la région. Et cela signifie que tout point interne de la région, sous une cartographie conforme et univalente, va au point interne de la région. Q.E.D.

Remarque 1. Les théorèmes 1 et 2 sont également vrais pour les régions et le plan complexe étendu délimité par des contours simples et lisses par morceaux et.

Théorème 3 (principe de conservation du domaine) Si une fonction est analytique dans un domaine et n'est pas constante, alors l'image du domaine est aussi un domaine.

Pour prouver le théorème, il faut montrer que l’ensemble est linéairement connexe et ouvert. Puisque la cartographie, en raison de l'analyticité, est une cartographie continue, alors l'image de tout ensemble linéairement connecté sous cette cartographie est un ensemble linéairement connecté. Il s’agit donc d’un ensemble connecté linéairement.

Montrons maintenant que l'ouvert, c'est-à-dire tout point entre avec une partie de son voisinage. Soit l'une des images inverses d'un point. Si donc, selon le théorème de la fonction inverse, dans un certain voisinage d'un point est définie une fonction qui est la fonction inverse de k, par conséquent, tous les points de ce voisinage sont des images sous la cartographie et ils lui appartiennent entièrement. Si, alors nous arrivons à la même conclusion basée sur le théorème (Sur la fonction inverse).

Théorème 4 (principe du module maximum). Si une fonction est analytique dans un domaine et que son module atteint un maximum local à un moment donné, alors il est constant dans ce domaine.

Nous effectuerons la preuve par contradiction. Laisser être. D’une part, nous choisissons un voisinage arbitraire qui appartient entièrement à la région, et supposons qu’il n’est pas constant dans le quartier considéré. Selon le principe de conservation de la zone, l’image d’un cercle lorsqu’elle est affichée est une zone. Cela signifie que tous les points situés à un certain voisinage d’un point sont des images de points sur un cercle. Dans ce quartier on choisit un point pour lequel (si, alors on peut prendre

et si, alors n'importe quel point du quartier indiqué peut être considéré comme un point). Pour ce point nous avons > Puisque le voisinage du point peut être choisi pour avoir un rayon arbitrairement petit, nous concluons que le point n'est pas un point maximum local de la fonction.

Ainsi, si une fonction n’est pas constante au voisinage d’un point, alors elle n’a pas de maximum en ce point. Si elle atteint un maximum en un certain point de la région, alors la fonction est constante dans un certain voisinage du point, c'est-à-dire à. D'après le théorème sur l'unicité d'une fonction analytique, les fonctions analytiques et coïncident dans le domaine. En d’autres termes, la fonction est constante à.

Théorème 5. Si une fonction est analytique dans un domaine borné et continue à la fermeture de ce domaine, alors la fonction atteint sa plus grande valeur à la frontière du domaine.

En effet, si une fonction est constante dans, alors en vertu de la continuité elle est constante dans et l'énoncé du théorème est évident.

Si elle n'est pas constante dans, alors, selon le théorème 4, la fonction ne peut pas atteindre sa plus grande valeur dans la région, car sinon, il y aurait un point maximum local. Mais, étant continue sur un ensemble limité fermé, elle atteint sa plus grande valeur sur cet ensemble : cela ne peut se produire qu'à la frontière de la région.

Théorème 6. Si une fonction est analytique dans un domaine, n'a pas de zéros et son module atteint un minimum local en , alors elle est constante dans ce domaine.

Théorème 7 (lemme de Schwartz). Si une fonction analytique dans un cercle satisfait aux conditions, alors et, z. De plus, l'égalité ou n'est possible au moins en un point z 0 que lorsque

Preuve. Du fait que le point est le zéro de la fonction, cette fonction peut être représentée sous la forme où est la fonction analytique dans, et. Considérons un cercle délimité par un cercle. La fonction est analytique et continue. Par conséquent, d’après le théorème 5, elle atteint sa plus grande valeur à la frontière. Dans ce cas, puisque selon les conditions du théorème. Par conséquent, partout chez nous.

Supposons que l'inégalité se vérifie à un moment donné. Choisissons r<1 так, что. Тогда и, следовательно, . Получили противоречие, которое показывает, что на самом деле всюду в. В частности, в.

Si, alors la fonction atteint un maximum en un point égal à un. De même, l’égalité signifie qu’elle atteint un maximum en un point égal à un. Dans les deux cas, selon le principe du module maximum, la fonction est constante, et. Par conséquent, et.

Théorème 8. Soit la fonction harmonique dans un domaine borné et continue dans la fermeture de ce domaine. S'il n'est pas constant, alors il n'atteint ses valeurs maximales et minimales qu'à la limite de cette région.

CONFORMAL MAPPING (transformation conforme), cartographie d'une région (dans un plan ou dans l'espace) sur une autre région, en préservant les angles entre les courbes. Les exemples les plus simples de cartographie conforme sont les transformations de similarité et les rotations (transformations orthogonales).

La cartographie conforme est utilisée en cartographie lorsqu'il est nécessaire de représenter une partie de la surface du globe sur un plan (carte) tout en préservant les valeurs de tous les angles ; des exemples de telles cartographies conformes sont la projection stéréographique et la projection Mercator (voir Projections cartographiques). Une place particulière est occupée par les mappages conformes de certaines régions du plan sur d'autres ; leur théorie a des applications significatives en mécanique de l'air et des fluides, en électrostatique et en théorie de l'élasticité. La solution à de nombreux problèmes importants est facilement obtenue lorsque la zone pour laquelle le problème est posé a une forme assez simple (par exemple un cercle ou un demi-plan). Si le problème est posé pour un domaine plus complexe, alors il s’avère suffisant de mapper de manière conforme le domaine le plus simple sur celui donné afin d’obtenir une solution au nouveau problème à partir d’une solution connue. C’est exactement la voie suivie par N. E. Zhukovsky lors de la création de la théorie d’une aile d’avion.

Toutes les régions du plan n'admettent pas des mappages conformes les uns sur les autres. Par exemple, un anneau circulaire délimité par des cercles concentriques ne peut pas être mappé de manière conforme sur un anneau avec un rapport de rayon différent. Cependant, deux régions quelconques, chacune délimitée par une seule courbe (régions simplement connectées), peuvent être mappées de manière conforme l'une sur l'autre (théorème de Riemann). Quant aux zones délimitées par plusieurs courbes, une telle zone peut toujours être mappée de manière conforme sur une zone délimitée par le même nombre de segments de droite parallèles (théorème de Hilbert) ou de cercles (théorème de Köbe), mais les tailles et positions relatives de ces segments de droite ou les cercles ne peuvent pas être définis arbitrairement.

Si nous introduisons des variables complexes z et w dans les plans original et image, alors la variable w, considérée dans l'application conforme en fonction de z, est soit une fonction analytique, soit une fonction complexe conjuguée à la fonction analytique. À l'inverse, toute fonction analytique dans un domaine donné et prenant des valeurs différentes en différents points du domaine (une telle fonction est appelée univalente) mappe de manière conforme ce domaine sur un autre domaine. Par conséquent, l’étude des applications conformes de régions planes se réduit à l’étude des fonctions analytiques univalentes.

Toute cartographie conforme de régions tridimensionnelles transforme des sphères et des plans en sphères et plans et se réduit soit à une transformation de similarité, soit à une transformation d'inversion et une transformation de similarité effectuées séquentiellement (théorème de Liouville). Par conséquent, les mappages conformes de régions tridimensionnelles (et généralement multidimensionnelles) n'ont pas une importance aussi grande et des applications aussi diverses que les mappages conformes de régions bidimensionnelles.

La théorie de la cartographie conforme a commencé avec L. Euler (1777), qui a découvert le lien entre les fonctions d'une variable complexe et le problème de la cartographie conforme de parties d'une sphère sur un plan (pour construire des cartes géographiques). L'étude du problème général de la cartographie conforme d'une surface sur une autre a conduit K. Gauss (1822) au développement de la théorie générale des surfaces. B. Riemann (1851) a formulé les conditions dans lesquelles une cartographie conforme d'une région du plan sur une autre est possible, mais l'approche qu'il a esquissée n'a été justifiée qu'au début du XXe siècle (A. Poincaré et C. Carathéodory). Les études de N. E. Zhukovsky et S. A. Chaplygin, qui ont ouvert un large champ d'applications de la cartographie conforme en aéro- et hydromécanique, ont été un puissant stimulant pour le développement de la théorie de la cartographie conforme en tant que branche importante de la théorie des fonctions analytiques.

Lit. : Goluzin G.M. Théorie géométrique des fonctions d'une variable complexe. 2e éd. M., 1966 ; Markushevich A.I. Théorie des fonctions analytiques. 2e éd. M., 1968. T. 2 ; Lavrentyev M.A., Shabat B.V. Méthodes de la théorie des fonctions d'une variable complexe. 6e éd. M., 2002.

Nous parlerons ici plus en détail des méthodes géométriques de la théorie des fonctions analytiques et analytiques généralisées, que nous utiliserons le plus dans les applications.

§ 10. Problème de Riemann

Ce principal problème de valeurs limites de la théorie des applications conformes a déjà été discuté dans le chapitre précédent. Elle consiste à construire une cartographie conforme d’une région à une autre.

Existence et singularité. Commençons par la remarque qu'il suffit d'apprendre à mapper une région arbitraire simplement connectée de manière conforme sur un cercle, pour que nous puissions ensuite mapper deux de ces régions de manière conforme l'une sur l'autre.

Cette remarque est basée sur deux propriétés simples des cartes conformes : 1) l'inverse d'une carte conforme et 2) une carte complexe composée de deux cartes conformes (c'est-à-dire la carte ) sont à nouveau des cartes conformes. Les propriétés ressortent clairement de la définition d'une application conforme en tant que transformation analytique un-à-un et des règles de différenciation des fonctions inverses et complexes.

Ayant ces propriétés, il n'est pas du tout difficile d'étayer la remarque faite : si les fonctions mappent conformément respectivement les domaines sur l'unité

cercle, la fonction s'affichera sur

Le problème de Riemann a été résolu au début de ce siècle. Il s’est avéré que toute région simplement connectée dont la limite est constituée de plus d’un point peut être cartographiée de manière conforme sur le cercle unité. Il s’agit du célèbre théorème de Riemann, qu’il a formulé en 1851, étayé par des considérations physiques, mais qu’il n’a pas prouvé (plus précisément, sa preuve présentait une lacune importante).

Examinons la question de savoir comment est défini le problème de Riemann, combien de solutions il a pour des domaines donnés. D'après la remarque, pour résoudre cette question, il suffit de découvrir de combien de manières on peut cartographier de manière conforme le cercle unité. lui-même. Il est facile de vérifier que pour tout nombre complexe et tout nombre réel la fonction

mappe le cercle de manière conforme sur lui-même (en effet, avec nous avons et, par conséquent, c'est-à-dire que (1) transforme le cercle unitaire en lui-même ; de plus, il est biunivoque, puisque l'équation (1) peut être résolue de manière unique par rapport à et prend le point a du cercle en son centre). La cartographie (1) dépend de trois paramètres réels - deux coordonnées du point a, qui va au centre du cercle, et le chiffre 0, dont le changement signifie la rotation du cercle par rapport au centre.

Il peut être prouvé que la formule (1) contient toutes les applications conformes du disque unité sur lui-même. Cela signifie que l'arbitraire dans la résolution du problème de Riemann est épuisé par trois paramètres réels :

la cartographie conforme d'une région à une autre est déterminée de manière unique si l'on spécifie la correspondance de trois paires de points limites (la position d'un point sur la frontière est spécifiée par un paramètre) ou la correspondance d'une paire de points internes (deux paramètres) et une autre paire de points limites (un paramètre). De telles conditions qui déterminent de manière unique la cartographie - on les appelle conditions de normalisation - peuvent prendre différentes formes, mais à chaque fois ces conditions doivent déterminer trois paramètres.

Exemples. Indiquons quelques exemples simples d'applications conformes.

1) Cartographier l'apparence du cercle sur lui-même. La fonction (1) peut également être considérée comme cartographiant l’extérieur, c’est-à-dire la zone sur elle-même ; il prend un point dit symétrique à l'infini par rapport au cercle unité

2) Le demi-plan supérieur du cercle est également affiché par une fonction linéaire fractionnaire :

ici a est un point arbitraire du demi-plan supérieur, il est transféré lors du mappage (2) au centre du cercle ; le point du cercle auquel va le point infini du plan (la limite du côté droit de (2) avec est évidemment égale à ).

En figue. La figure 22 montre en quoi les lignes droites h se transforment - ce sont des cercles tangents à l'unité au point

3) L'extérieur d'un cercle unité est mappé sur l'extérieur d'un segment par la fonction dite de Joukovski

Dans ce cas, les cercles se transforment en ellipses de demi-axes et de foyers ±1, et les rayons en arcs d'hyperboles orthogonaux aux ellipses (Fig. 23).

4) La bande sur un cercle unité est affichée par la fonction

Dans ce cas, les segments verticaux droits et horizontaux se transforment en « méridiens » et « parallèles » (Fig. 24).

5) Le demi-plan supérieur avec un segment circulaire projeté sur le demi-plan supérieur lors de la normalisation est affiché par la fonction

où a et a sont les paramètres du segment (Fig. 25), et c est une constante réelle (notez que nos conditions de normalisation ne spécifient que deux paramètres réels, le troisième reste donc arbitraire).

Cette formule est trop lourde pour les applications. Pour a et a petits, en utilisant les premiers termes des développements de Taylor, il peut être remplacé par la formule approchée

On peut également noter que, jusqu'à des ordres légèrement supérieurs, il donne l'aire du segment éjecté, donc (6) peut être réécrit sous la forme

6) Un cercle avec un petit trou projeté sur le cercle est également affiché par une fonction d'enregistrement plutôt encombrante. Une formule approximative pour une telle cartographie, à condition que la surface du trou éjecté soit petite, peut s'écrire comme suit :

voici le haut du trou ou (avec la même précision) son autre point.

7) La même formule approximative pour cartographier une bande avec un trou éjecté de petite surface c sur la bande a la forme

où a est l'abscisse d'un des points du trou ; tangente hyperbolique.

Flux dans le canal. La capacité à résoudre le problème de Riemann détermine le succès de la résolution de certains problèmes hydrodynamiques. Nous illustrerons cela à l’aide d’exemples classiques de problèmes d’écoulements constants d’un fluide incompressible idéal au-delà de corps. Nous devrons bien sûr supposer que les corps ont la forme de cylindres infinis (avec des lignes directrices arbitraires) pour pouvoir utiliser le schéma de mouvement planaire.

Supposons que nous ayons besoin de trouver un écoulement dans un canal dont les parois sont perpendiculaires à un certain plan et de le couper le long de deux courbes infinies sans points communs (Fig. 26), et que les vitesses d'écoulement soient parallèles à ce plan et soient du tout les mêmes. perpendiculaires à celui-ci. Le champ de vitesse dans le canal est décrit par un champ plat dans une bande limitée par des courbes

Comme nous l'avons vu dans le chapitre précédent, l'hypothèse de l'absence de sources et de tourbillons dans l'écoulement conduit à la conclusion sur l'existence d'un potentiel complexe - analytique dans la fonction Trouver un écoulement signifie trouver cette fonction.

L'écoulement doit contourner les parois du canal, c'est-à-dire que chacune des courbes doit être une ligne de cours d'eau ; cela donne la condition aux limites du problème ; Nous pouvons demander

également le débit qui, comme indiqué dans le dernier chapitre, est égal à

où y est une ligne avec des extrémités, c'est-à-dire n'importe quelle section transversale du flux. Puisque nous nous intéressons au potentiel jusqu’à un terme constant, nous pouvons supposer que sur G.

Dans cette formulation, le problème reste encore très incertain. Par exemple, dans le cas où il s’agit d’une bande droite, sa solution est n’importe quelle fonction

Pour tout réel et entier (la partie imaginaire s'annule à Pour poser le problème plus clairement, il va falloir supposer que la largeur de la bande reste limitée à l'infini, imposer des conditions de régularité et ne considérer que des écoulements à vitesse limitée à l'infini. Cela peut Il sera prouvé que pour ces restrictions supplémentaires, la solution au problème ne sera qu'une cartographie conforme du domaine sur une bande avec normalisation. Cette cartographie est déterminée à un terme (réel) constant, qui n'est pas essentiel, c'est-à-dire le flux. Le problème est résolu uniquement dans les restrictions acceptées. Sa solution se réduit donc à résoudre le problème de Riemann.

travail d'études supérieures

1.1 Le concept de cartographie conforme et ses propriétés de base

Une cartographie biunivoque qui a la propriété de conserver les angles en amplitude et en direction et la propriété de constance des dilatations de petits voisinages de points cartographiés est appelée cartographie conforme.

Pour garantir une réflexion individuelle, des domaines d'univalence fonctionnelle sont identifiés. Un domaine D est appelé domaine d'univalence de la fonction f(z) si.

Propriétés de base des mappages conformes :

1) constance de l'étirement. Linéaire en un point est le même pour toutes les courbes passant par ce point et est égal ;

2) préservation des angles. Toutes les courbes en un point tournent selon le même angle, égal.

La fonction affiche les points sur le plan z (ou surface de Riemann). En chaque point z tel que f(z) est analytique (c'est-à-dire déterminé de manière unique et différentiable dans un certain voisinage de ce point) et la cartographie est conforme, c'est-à-dire l'angle entre deux courbes passant par le point z se transforme en un angle égal en amplitude et en direction de référence entre deux courbes correspondantes dans le plan.

Un triangle infinitésimal proche d'un tel point z est mappé en un triangle infinitésimal similaire - le plan ; chaque côté du triangle est étiré dans un rapport et tourné d'un angle. Le coefficient de distorsion (rapport local des petites zones) lors de la cartographie est déterminé par le jacobien de la cartographie

en chaque point z où le mappage est conforme.

La cartographie conforme transforme les lignes en une famille de trajectoires orthogonales dans le plan w.

La région du plan z mappée sur l'ensemble du plan w par la fonction f(z) est appelée la région fondamentale de la fonction f(z).

Les points où sont appelés points critiques de cartographie.

Une cartographie qui préserve l'amplitude, mais pas la direction, de l'angle entre deux courbes est appelée cartographie isogonale ou conforme du second type.

Un mappage est conforme en un point à l'infini si la fonction mappe de manière conforme l'origine au plan -.

Deux courbes se coupent sous un angle en un point si la transformation les transforme en deux courbes se coupent sous un angle en un point.

De même, mappe un point de manière conforme à un point .

Groupes matriciels algébriques

Soient et des espaces linéaires arithmétiques de colonnes de hauteur et, respectivement. Soit en outre une matrice de taille. Définissons un mappage en définissant n'importe où se trouvent les colonnes de la matrice. Puisqu'ils sont grands...

Biecteurs en groupes finis

Définition. Soit --- un groupe et --- une classe de groupes. Si et, alors --- est un sous-groupe du groupe. Définition. Un sous-groupe -maximal d'un groupe est un -sous-groupe d'un groupe qui n'est contenu dans aucun sous-groupe plus grand. Définition...

Champs vectoriels

Définition d'un rotor d'un champ vectoriel : Un rotor ou vortex d'un champ vectoriel est un vecteur avec des projections Propriétés de base d'un rotor : -- il s'agit d'une quantité vectorielle qui est une caractéristique différentielle (c'est-à-dire un point) d'un champ vectoriel. ...

Géométrie externe des surfaces avec un type de points constant

Les surfaces en selle, dans un certain sens, ont des propriétés opposées aux surfaces convexes. Comme les surfaces convexes, elles peuvent être définies de manière purement géométrique...

Théorème des restes chinois et ses corollaires

Dans cette section, nous examinerons les nombres entiers et les désignerons par des lettres latines. Prenons un nombre naturel fixe arbitraire p et considérons les restes lors de la division de divers entiers par p...

Fondements mathématiques du système de classes résiduelles

Prenons un nombre naturel fixe arbitraire p et considérons les restes lors de la division de divers entiers par p. Lorsqu'on considère les propriétés de ces restes et qu'on effectue des opérations sur eux, il convient d'introduire le concept de comparaison modulo...

Modélisation mathématique d'objets techniques

Un modèle est une image physique ou abstraite d'un objet modélisé, pratique pour la recherche et permettant d'afficher de manière adéquate les propriétés physiques et les caractéristiques de l'objet qui intéressent le chercheur...

Intégrale définie

1. La valeur d'une intégrale définie ne dépend pas de la désignation de la variable d'intégration : . 2. Une intégrale définie avec les mêmes limites d'intégration est égale à zéro : 3. Si donc, par définition, on met 4...

Application pratique des formules de quadrature avec les poids Chebyshev-Hermite

Supposons qu'une fonction de poids pair soit spécifiée sur tout l'axe. (1.1) En différenciant successivement cette fonction, on trouve (1.2) Il est facile de prouver par induction que la dérivée d'ordre n de la fonction (1.1) est le produit de cette fonction par un polynôme de degré n...

Un polygone sphérique est une partie d'une sphère délimitée par des arcs de grands cercles, des demi-cercles plus petits, dont les extrémités sont les points d'intersection de ces grands cercles, pris dans un ordre séquentiel...

Solution du problème d'un fluide idéal circulant autour d'un cylindre circulaire en quaternions

Les quaternions ont été introduits en mathématiques par William Rowan Hamilton 1]. Ils constituent un bon outil pour résoudre de nombreux problèmes liés à l'espace tridimensionnel, et prennent en compte ses caractéristiques...

Modélisation statistique

Pour qu'une évaluation ait une valeur pratique, elle doit avoir les propriétés suivantes. 1. Une estimation de paramètre est dite non biaisée si son espérance mathématique est égale au paramètre estimé, c'est-à-dire M= .(22.1) Si l'égalité (22...

Fonctions trigonométriques

Cycloïde

La définition d'une cycloïde, introduite plus tôt, n'a jamais satisfait les scientifiques : après tout, elle repose sur des concepts mécaniques - vitesse, addition de mouvements, etc...

Problème extrême sur les classes d'indexation

Nous aurons besoin de deux faits de . 1. Pour chacun, il existe un DF unique. 2. Si, alors l'ensemble est à élément unique. Si, alors il existe des familles continues à un paramètre (c'est-à-dire pour et (le symbole indique une faible convergence)) et des DF tels...