Hypoténuse le long de la jambe et de l'angle. Solution d'un triangle rectangle. Relations trigonométriques pour trouver la jambe d'un triangle rectangle

Avant de trouver l'hypoténuse d'un triangle, vous devez déterminer les caractéristiques de cette figure. Considérons les principaux:

1. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus totaliseront 90º.
2. Une jambe opposée à un angle de 30º sera égale à la moitié de l'hypoténuse.
3. Si la jambe est égale à la moitié de la valeur de l'hypoténuse, alors le deuxième angle aura la même valeur - 30º.

Il existe plusieurs façons de trouver l'hypoténuse dans un triangle rectangle. par le plus solutions simples est le calcul par les jambes. Disons que vous connaissez les valeurs des jambes des côtés A et B. Ensuite, le théorème de Pythagore vient à la rescousse, nous disant que si nous mettons au carré chaque valeur de jambe et additionnons les données obtenues, nous découvrirons ce que l'hypoténuse est. Ainsi, nous avons juste besoin d'extraire la valeur de la racine carrée :

Par exemple, si la jambe A = 3 cm et la jambe B = 4 cm, le calcul ressemblerait à ceci :

Comment trouver l'hypoténuse par un angle ?

Une autre façon d'aider à trouver ce à quoi l'hypoténuse dans un triangle rectangle est égale est de calculer à travers un angle donné. Pour ce faire, nous devons dériver la valeur à l'aide de la formule du sinus. Supposons que nous connaissions la valeur de la jambe (A) et la valeur de l'angle opposé (α). Alors toute la solution est dans une formule : С=А/sin(α).

Par exemple, si la longueur de la jambe est de 40 cm et l'angle est de 45°, alors la longueur de l'hypoténuse peut être dérivée comme suit :

Vous pouvez également déterminer la valeur souhaitée par le cosinus d'un angle donné. Supposons que nous connaissions la valeur d'une jambe (B) et d'un angle inclus aigu (α). Alors une formule est nécessaire pour résoudre le problème : С=В/ cos(α).

Par exemple, si la longueur de la jambe est de 50 cm et l'angle est de 45°, alors l'hypoténuse peut être calculée comme suit :

Ainsi, nous avons examiné les principales façons de connaître l'hypoténuse dans un triangle. Au cours de la résolution de la tâche, il est important de se concentrer sur les données disponibles, puis trouver la valeur inconnue sera assez simple. Vous n'avez besoin de connaître que quelques formules et le processus de résolution des problèmes deviendra simple et agréable.

Parmi les nombreux calculs effectués pour calculer certaines quantités de divers se trouve trouver l'hypoténuse du triangle. Rappelons qu'un triangle est un polyèdre à trois angles. Vous trouverez ci-dessous plusieurs façons de calculer l'hypoténuse de divers triangles.

Voyons d'abord comment trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Pour ceux qui l'ont oublié, un triangle rectangle est un triangle avec un angle de 90 degrés. Le côté d'un triangle qui est du côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. De plus, c'est le côté le plus long du triangle. En fonction des valeurs connues, la longueur de l'hypoténuse est calculée comme suit :

• Les longueurs des pattes sont connues. L'hypoténuse dans ce cas est calculée à l'aide du théorème de Pythagore, qui est le suivant : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes. Si nous considérons un triangle rectangle BKF, où BK et KF sont les jambes, et FB est l'hypoténuse, alors FB2= BK2+ KF2. De ce qui précède, il s'ensuit que lors du calcul de la longueur de l'hypoténuse, il est nécessaire de mettre au carré chacune des valeurs de jambe à tour de rôle. Additionnez ensuite les nombres et prenez la racine carrée du résultat.

Prenons un exemple : étant donné un triangle avec un angle droit. Une jambe mesure 3 cm, l'autre 4 cm. Trouvez l'hypoténuse. La solution ressemble à ceci.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Extraire et obtenir FB=5cm.

• Jambe connue (BK) et l'angle qui lui est adjacent, qui est formé par l'hypoténuse et cette jambe. Comment trouver l'hypoténuse d'un triangle ? Notons l'angle connu par α. Selon la propriété qui dit que le rapport de la longueur de la jambe à la longueur de l'hypoténuse est égal au cosinus de l'angle entre cette jambe et l'hypoténuse. En considérant un triangle, cela peut s'écrire comme suit : FB= BK*cos(α).
• La jambe (KF) et le même angle α sont connus, seulement maintenant il sera déjà opposé. Comment trouver l'hypoténuse dans ce cas ? Tournons-nous vers les mêmes propriétés d'un triangle rectangle et découvrons que le rapport de la longueur de la jambe à la longueur de l'hypoténuse est égal au sinus de l'angle opposé à la jambe. Autrement dit, FB = KF * sin (α).

Prenons un exemple. Etant donné le même triangle rectangle BKF avec l'hypoténuse FB. Soit l'angle F égal à 30 degrés, le deuxième angle B correspond à 60 degrés. La jambe BK est également connue, dont la longueur correspond à 8 cm.Vous pouvez calculer la valeur souhaitée comme suit:

FB=BK/cos60=8 cm.
FB = BK / sin30 = 8 cm.

• Connu pour (R), circonscrit à un triangle à angle droit. Comment trouver l'hypoténuse face à un tel problème ? D'après les propriétés d'un cercle circonscrit autour d'un triangle à angle droit, on sait que le centre d'un tel cercle coïncide avec le point de l'hypoténuse le divisant en deux. En termes simples, le rayon correspond à la moitié de l'hypoténuse. L'hypoténuse est donc égale à deux rayons. FB=2*R. Si, cependant, un problème similaire est donné, dans lequel non pas le rayon, mais la médiane est connue, alors il faut faire attention à la propriété d'un cercle circonscrit autour d'un triangle à angle droit, qui dit que le rayon est égal à la médiane tirée vers l'hypoténuse. En utilisant toutes ces propriétés, le problème est résolu de la même manière.

Si la question est de savoir comment trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle, alors il faut se tourner vers le même théorème de Pythagore. Mais, avant tout, rappelez-vous qu'un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés identiques. Dans le cas d'un triangle rectangle, les jambes sont les mêmes côtés. On a FB2= BK2+ KF2, mais comme BK= KF on a : FB2=2 BK2, FB= BK√2

Comme vous pouvez le voir, connaissant le théorème de Pythagore et les propriétés d'un triangle rectangle, résoudre des problèmes dans lesquels il est nécessaire de calculer la longueur de l'hypoténuse est très simple. S'il est difficile de se souvenir de toutes les propriétés, apprenez des formules toutes faites, en substituant des valeurs connues dans lesquelles vous pouvez calculer la longueur requise de l'hypoténuse.

Un triangle est un nombre géométrique composé de trois segments qui relient trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne. Les points qui forment un triangle sont appelés ses points et les segments sont côte à côte.

Selon le type de triangle (rectangulaire, monochrome, etc.), vous pouvez calculer le côté du triangle de différentes manières, en fonction des données d'entrée et des conditions du problème.

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Pour calculer les côtés d'un triangle rectangle, on utilise le théorème de Pythagore selon lequel le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés de la jambe.

Si nous étiquetons les jambes avec "a" et "b" et l'hypoténuse avec "c", alors les pages peuvent être trouvées avec les formules suivantes :

Si les angles aigus d'un triangle rectangle (a et b) sont connus, ses côtés peuvent être trouvés avec les formules suivantes :

triangle recadré

Un triangle est appelé triangle équilatéral dont les deux côtés sont identiques.

Comment trouver l'hypoténuse dans deux jambes

Si la lettre "a" est identique à la même page, "b" est la base, "b" est le coin opposé à la base, "a" est le coin adjacent, les formules suivantes peuvent être utilisées pour calculer les pages :

Deux coins et côté

Si une page (c) et deux angles (a et b) d'un triangle quelconque sont connus, la formule du sinus est utilisée pour calculer les pages restantes :

Vous devez trouver la troisième valeur y = 180 - (a + b) car

la somme de tous les angles d'un triangle est de 180° ;

Deux côtés et un angle

Si deux côtés d'un triangle (a et b) et l'angle entre eux (y) sont connus, le théorème du cosinus peut être utilisé pour calculer le troisième côté.

Comment déterminer le périmètre d'un triangle rectangle

Un triangle triangulaire est un triangle dont l'un est à 90 degrés et les deux autres sont aigus. calcul périmètre tel Triangle en fonction de la quantité d'informations connues à son sujet.

Vous en aurez besoin

• Selon l'occasion, maîtrisez 2 des trois côtés du triangle, ainsi que l'un de ses angles vifs.

instructions

d'abord Méthode 1. Si les trois pages sont connues Triangle Ensuite, qu'il soit perpendiculaire ou non triangulaire, le périmètre se calcule comme suit : P = A + B + C, si possible, c est l'hypoténuse ; a et b sont des jambes.

deuxième Méthode 2.

Si un rectangle n'a que deux côtés, alors en utilisant le théorème de Pythagore, Triangle peut être calculé à l'aide de la formule : P = v (a2 + b2) + a + b ou P = v (c2 - b2) + b + c.

troisième Méthode 3. Soit l'hypoténuse c et angle vif? Etant donné un triangle rectangle, il sera possible de trouver le périmètre de cette façon : P = (1 + sin ?

quatrième Méthode 4. Ils disent que dans le triangle rectangle, la longueur d'une jambe est égale à a et, au contraire, a un angle aigu. Calculez ensuite périmètre Ce Triangle s'effectuera selon la formule : P = a * (1 / tg ?

1/ fils ? + 1)

cinquième Méthode 5.

Calcul en ligne du triangle

Laissons notre jambe en tête et y être incluse, puis la plage sera calculée comme suit : P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos ?)

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Le théorème de Pythagore est la base de toutes les mathématiques. Spécifie la relation entre les côtés d'un vrai triangle. Il y a maintenant 367 preuves de ce théorème.

instructions

d'abord La formulation scolaire classique du théorème de Pythagore ressemble à ceci : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes.

Pour trouver l'hypoténuse dans un triangle rectangle de deux Catets, il faut tourner au carré la longueur des jambes, les assembler, et prendre la racine carrée de la somme. Dans la formulation originale de son énoncé, le marché est basé sur l'hypoténuse, égale à la somme des carrés de 2 carrés produits par Catete. Cependant, la formulation algébrique moderne ne nécessite pas l'introduction d'une représentation de domaine.

deuxième Par exemple, un triangle rectangle dont les jambes mesurent 7 cm et 8 cm.

Alors, selon le théorème de Pythagore, l'hypoténuse carrée est R + S = 49 + 64 = 113 cm L'hypoténuse est égale à la racine carrée de 113.

Angles d'un triangle rectangle

Le résultat était un nombre déraisonnable.

troisième Si les triangles sont les jambes 3 et 4, alors l'hypoténuse = 25 = 5. Lorsque vous prenez la racine carrée, vous obtenez un nombre naturel. Les nombres 3, 4, 5 forment un triplet de Pygagor, puisqu'ils satisfont la relation x? +O ? = Z, ce qui est naturel.

D'autres exemples d'un triplet de Pythagore sont : 6, 8, 10 ; 5, 12, 13 ; 15, 20, 25 ; 9, 40, 41.

quatrième Dans ce cas, si les jambes sont identiques, le théorème de Pythagore se transforme en une équation plus primitive. Par exemple, supposons qu'une telle main soit égale au nombre A et que l'hypoténuse soit définie pour C, et alors c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A ? 2. Dans ce cas, vous n'avez pas besoin de A.

cinquième Le théorème de Pythagore est un cas particulier plus grand que le théorème général du cosinus, qui établit une relation entre les trois côtés d'un triangle pour tout angle entre deux d'entre eux.

Astuce 2 : Comment déterminer l'hypoténuse des jambes et des angles

L'hypoténuse est appelée le côté d'un triangle rectangle opposé à l'angle de 90 degrés.

instructions

d'abord Dans le cas des cathéters bien connus, ainsi qu'un angle aigu d'un triangle rectangle, l'hypoténuse peut avoir une taille égale au rapport de la jambe au cosinus/sinus de cet angle, si l'angle était opposé/e compris : H = C1 (ou C2) / sin, H = C1 (ou С2 ?) / cos ?. Exemple : Soit ABC un triangle irrégulier d'hypoténuse AB et d'angle droit C.

Soit B 60 degrés et A 30 degrés. La longueur de la tige BC est de 8 cm, il faut trouver la longueur de l'hypoténuse AB. Pour ce faire, vous pouvez utiliser l'une des méthodes ci-dessus : AB = BC / cos60 = 8 cm. AB = BC / sin30 = 8 cm.

L'hypoténuse est le côté le plus long du rectangle Triangle. Il est situé à angle droit. Méthode pour trouver l'hypoténuse d'un rectangle Triangle en fonction des données sources.

instructions

d'abord Si vos jambes sont perpendiculaires Triangle, alors la longueur de l'hypoténuse du rectangle Triangle peut être trouvé par l'analogue de Pythagore - le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des jambes : c2 = a2 + b2, où a et b sont la longueur des jambes de droite Triangle .

deuxième S'il est connu et que l'une des jambes est à un angle aigu, la formule pour trouver l'hypoténuse dépendra de la présence ou de l'absence à un certain angle par rapport à la jambe connue - adjacente (la jambe est située à proximité), ou vice versa (le cas contraire est situé nego.V de l'angle spécifié est égal à la fraction hypoténuse de la jambe en angle cosinus: a = a / cos; E, d'autre part, l'hypoténuse est la même que le rapport des angles sinusoïdaux : da = a / sin.

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Astuces utiles
Un triangle angulaire dont les côtés sont reliés en 3:4:5, appelé le delta égyptien, en raison du fait que ces figures étaient largement utilisées par les architectes de l'Égypte ancienne.

C'est aussi l'exemple le plus simple des triangles de Jeron, avec des pages et une aire représentées sous forme d'entiers.

Un triangle s'appelle un rectangle dont l'angle est de 90°. Le côté opposé au coin droit s'appelle l'hypoténuse, l'autre côté s'appelle les jambes.

Si vous voulez trouver comment un triangle rectangle est formé par certaines propriétés des triangles réguliers, à savoir le fait que la somme des angles aigus est de 90°, qui est utilisée, et le fait que la longueur de la jambe opposée est la moitié de l'hypoténuse est de 30°.

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triangle recadré

Une des propriétés d'un triangle égal est que ses deux angles sont égaux.

Pour calculer l'angle d'un triangle rectangle équilatéral, il faut savoir que :

• Ce n'est pas pire que 90°.
• Les valeurs des angles aigus sont déterminées par la formule : (180° -90°) / 2 = 45°, soit

  Les angles α et β sont de 45°.

Si valeur connue l'un des angles aigus est connu, l'autre peut être trouvé par la formule : β = 180º-90º-α ou α = 180º-90º-β.

Ce rapport est le plus couramment utilisé si l'un des angles est de 60° ou 30°.

Concepts clés

La somme des angles intérieurs d'un triangle est de 180°.

Parce que c'est un niveau, deux restent nets.

Calculer un triangle en ligne

Si vous voulez les trouver, vous devez savoir que :

Autres méthodes

Les valeurs d'angle aigu d'un triangle rectangle peuvent être calculées à partir de la moyenne - avec une ligne partant d'un point situé du côté opposé du triangle et de la hauteur - la ligne est une perpendiculaire tirée de l'hypoténuse à angle droit.

Laissez la médiane s'étendre du coin droit au milieu de l'hypoténuse, et h la hauteur. Dans ce cas il s'avère que :

• sinα = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cosα = a / (2 * s); cosβ = b / (2 * s).
• sinα = h / b; péché β = h / a.

Deux pages

Si les longueurs de l'hypoténuse et de l'une des jambes sont connues dans un triangle rectangle ou de deux côtés, des identités trigonométriques sont utilisées pour déterminer les valeurs des angles aigus:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α = arctan (a / b), β = arctan (b / a).

Longueur d'un triangle rectangle

Aire et aire d'un triangle

périmètre

La circonférence de tout triangle est égale à la somme des longueurs des trois côtés. La formule générale pour trouver un triangle triangulaire est :

où P est la circonférence du triangle, a, b et c sont ses côtés.

Périmètre d'un triangle égal peut être trouvé en combinant successivement les longueurs de ses côtés, ou en multipliant la longueur du côté par 2 et en ajoutant la longueur de la base au produit.

La formule générale pour trouver un triangle d'équilibre ressemblera à ceci :

où P est le périmètre d'un triangle égal, mais soit b, b sont la base.

Périmètre d'un triangle équilatéral peut être trouvé en combinant successivement les longueurs de ses côtés, ou en multipliant la longueur de n'importe quelle page par 3.

La formule générale pour trouver le bord des triangles équilatéraux ressemblerait à ceci :

où P est le périmètre d'un triangle équilatéral, a est l'un de ses côtés.

région

Si vous souhaitez mesurer l'aire d'un triangle, vous pouvez le comparer à un parallélogramme. Considérons le triangle ABC :

Si nous prenons le même triangle et le fixons de manière à obtenir un parallélogramme, nous obtenons un parallélogramme de même hauteur et base que ce triangle :

Dans ce cas, le côté commun des triangles est replié le long de la diagonale du parallélogramme moulé.

A partir des propriétés d'un parallélogramme. On sait que les diagonales d'un parallélogramme sont toujours divisées en deux triangles égaux, alors la surface de chaque triangle est égale à la moitié de l'étendue du parallélogramme.

Puisque l'aire du parallélogramme est le produit de sa hauteur de base, l'aire du triangle sera la moitié de ce produit. Donc pour ΔABC l'aire sera la même

Considérons maintenant un triangle rectangle :

Deux triangles rectangles identiques peuvent être pliés en un rectangle s'il s'appuie contre eux, c'est-à-dire une hypoténuse sur deux.

Puisque la surface du rectangle coïncide avec la surface des côtés adjacents, l'aire de ce triangle est la même :

De cela, nous pouvons conclure que la surface de tout triangle rectangle est égale au produit des jambes divisé par 2.

De ces exemples, nous pouvons conclure que la surface de chaque triangle est égale au produit de la longueur, et la hauteur est réduite à la base divisée par 2.

La formule générale pour trouver l'aire d'un triangle ressemblerait à ceci :

où S est l'aire du triangle, mais sa base, mais la hauteur tombe en bas a.

Les premiers sont des segments adjacents à l'angle droit, et l'hypoténuse est la partie la plus longue de la figure et est opposée à l'angle de 90 degrés. Un triangle de Pythagore est un triangle dont les côtés sont égaux à des nombres naturels ; leurs longueurs dans ce cas sont appelées le "triple de Pythagore".

triangle égyptien

Pour que la génération actuelle apprenne la géométrie sous la forme dans laquelle elle est actuellement enseignée à l'école, elle a été développée pendant plusieurs siècles. Le point fondamental est le théorème de Pythagore. Les côtés d'un rectangle sont connus du monde entier) sont 3, 4, 5.

Peu de gens ne connaissent pas l'expression " Pantalon pythagoricienégale dans toutes les directions." Cependant, en fait, le théorème ressemble à ceci: c 2 (le carré de l'hypoténuse) \u003d a 2 + b 2 (la somme des carrés des jambes).

Chez les mathématiciens, un triangle de côtés 3, 4, 5 (cm, m, etc.) est appelé "égyptien". Il est intéressant que ce qui est inscrit dans la figure soit égal à un. Le nom est né vers le 5ème siècle avant JC, lorsque des philosophes grecs se sont rendus en Égypte.

Lors de la construction des pyramides, les architectes et les géomètres ont utilisé le rapport 3:4:5. De telles structures se sont avérées proportionnelles, agréables à regarder et spacieuses, et se sont également rarement effondrées.

Afin de construire un angle droit, les constructeurs ont utilisé une corde sur laquelle 12 nœuds étaient attachés. Dans ce cas, la probabilité de construire un triangle rectangle passe à 95 %.

Signes d'égalité des chiffres

• Un angle aigu dans un triangle rectangle et un grand côté, qui sont égaux aux mêmes éléments dans le deuxième triangle, est un signe indiscutable de l'égalité des figures. En tenant compte de la somme des angles, il est facile de prouver que les seconds angles aigus sont également égaux. Ainsi, les triangles sont identiques dans le deuxième critère.
• Lorsque deux figures se superposent, nous les faisons pivoter de telle sorte que, lorsqu'elles sont combinées, elles deviennent un triangle isocèle. Selon sa propriété, les côtés, ou plutôt les hypoténuses, sont égaux, ainsi que les angles à la base, ce qui signifie que ces figures sont les mêmes.

Par le premier signe, il est très facile de prouver que les triangles sont vraiment égaux, l'essentiel est que les deux petits côtés (c'est-à-dire les jambes) soient égaux l'un à l'autre.

Les triangles seront les mêmes selon le signe II, dont l'essence est l'égalité de la jambe et de l'angle aigu.

Propriétés du triangle rectangle

La hauteur, qui a été abaissée à angle droit, divise la figure en deux parties égales.

Les côtés d'un triangle rectangle et sa médiane sont faciles à reconnaître par la règle : la médiane, qui est abaissée jusqu'à l'hypoténuse, en est égale à la moitié. peut être trouvé à la fois par la formule de Heron et par l'affirmation qu'il est égal à la moitié du produit des jambes.

Dans un triangle rectangle, les propriétés des angles de 30°, 45° et 60° s'appliquent.

• À un angle de 30 °, il convient de rappeler que la jambe opposée sera égale à la moitié du plus grand côté.
• Si l'angle est de 45o, alors le deuxième angle aigu est également de 45o. Cela suggère que le triangle est isocèle et que ses jambes sont les mêmes.
• La propriété d'un angle de 60 degrés est que le troisième angle mesure 30 degrés.

La zone est facile à trouver par l'une des trois formules suivantes :

1. par la hauteur et le côté sur lequel il descend;
2. selon la formule de Heron;
3. le long des côtés et l'angle entre eux.

Les côtés d'un triangle rectangle, ou plutôt les jambes, convergent avec deux hauteurs. Pour trouver le troisième, il est nécessaire de considérer le triangle résultant, puis, en utilisant le théorème de Pythagore, de calculer la longueur requise. En plus de cette formule, il y a aussi le rapport de deux fois la surface et la longueur de l'hypoténuse. L'expression la plus courante chez les étudiants est la première, car elle nécessite moins de calculs.

Théorèmes applicables à un triangle rectangle

La géométrie d'un triangle rectangle comprend l'utilisation de théorèmes tels que :

Après avoir étudié le sujet des triangles rectangles, les étudiants jettent souvent toutes les informations à leur sujet hors de leur tête. Y compris comment trouver l'hypoténuse, sans parler de ce que c'est.

Et en vain. Parce que dans le futur, la diagonale du rectangle s'avère être cette même hypoténuse, et il faut la trouver. Soit le diamètre du cercle coïncide avec le plus grand côté du triangle dont l'un des angles est droit. Et il est impossible de le trouver sans cette connaissance.

Il existe plusieurs façons de trouver l'hypoténuse d'un triangle. Le choix de la méthode dépend de l'ensemble de données initial dans le problème des quantités.

Méthode numéro 1: les deux jambes sont données

C'est la méthode la plus mémorable car elle utilise le théorème de Pythagore. Ce n'est que parfois que les élèves oublient que cette formule est le carré de l'hypoténuse. Donc, pour trouver le côté lui-même, vous devrez prendre la racine carrée. Par conséquent, la formule de l'hypoténuse, généralement désignée par la lettre "c", ressemblera à ceci :

c = √ (une 2 + une 2), où les lettres "a" et "b" sont écrites sur les deux côtés d'un triangle rectangle.

Méthode numéro 2: la jambe et l'angle qui lui est adjacent sont connus

Pour apprendre à trouver l'hypoténuse, vous devez vous souvenir des fonctions trigonométriques. A savoir le cosinus. Pour plus de commodité, nous supposerons que la branche "a" et l'angle α qui lui est adjacent sont donnés.

Maintenant, nous devons nous rappeler que le cosinus de l'angle d'un triangle rectangle est égal au rapport des deux côtés. Le numérateur sera la valeur de la jambe et le dénominateur sera l'hypoténuse. Il en résulte que ce dernier peut être calculé par la formule :

c = a / cosα.

Méthode numéro 3: étant donné la jambe et l'angle qui lui fait face

Afin de ne pas se confondre dans les formules, nous introduisons la désignation de cet angle - β, et laissons le côté comme "a". Dans ce cas, une autre fonction trigonométrique est requise - le sinus.

Comme dans l'exemple précédent, le sinus est égal au rapport de la jambe à l'hypoténuse. La formule de cette méthode ressemble à ceci :

c \u003d a / sin β.

Afin de ne pas vous perdre dans les fonctions trigonométriques, vous pouvez vous souvenir d'une règle mnémotechnique simple : si le problème concerne O coin opposé, alors vous devez utiliser avec Et nous si - oh pr Et mentir, puis à O sinus. Faites attention aux premières voyelles des mots-clés. Ils forment des couples Oh et ou Et à propos.

Méthode numéro 4 : le long du rayon du cercle circonscrit

Maintenant, pour savoir comment trouver l'hypoténuse, vous devez vous rappeler la propriété du cercle, qui est décrite autour d'un triangle rectangle. Il se lit comme suit. Le centre du cercle coïncide avec le milieu de l'hypoténuse. En d'autres termes, le côté le plus long d'un triangle rectangle est égal à la diagonale du cercle. C'est-à-dire doubler le rayon. La formule de cette tâche ressemblerait à ceci :

c = 2 * r, où r désigne le rayon connu.

C'est tout les voies possibles comment trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Dans chaque tâche spécifique, vous devez utiliser la méthode la plus adaptée à l'ensemble de données.

Exemple de tâche #1

Condition : dans un triangle rectangle, les médianes sont tracées sur les deux jambes. La longueur de celle tirée du côté le plus large est √52. L'autre médiane a une longueur de √73. Il faut calculer l'hypoténuse.

Puisque les médianes sont dessinées dans un triangle, elles divisent les jambes en deux segments égaux. Pour faciliter le raisonnement et trouver comment trouver l'hypoténuse, vous devez introduire plusieurs notations. Laissez les deux moitiés de la jambe la plus large être marquées de la lettre "x" et l'autre avec "y".

Considérons maintenant deux triangles rectangles dont les hypoténuses sont des médianes connues. Pour eux, vous devez écrire deux fois la formule du théorème de Pythagore :

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2 .

Ces deux équations forment un système à deux inconnues. Après les avoir résolus, il sera facile de trouver les jambes du triangle d'origine et son hypoténuse.

Il faut d'abord tout élever au second degré. Il s'avère:

4a 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

On peut voir à partir de la deuxième équation que y 2 \u003d 73 - 4x 2. Cette expression doit être substituée à la première et calculer "x":

4 (73 - 4x 2) + x 2 \u003d 52.

Après conversion :

292 - 16 x 2 + x 2 \u003d 52 ou 15 x 2 \u003d 240.

De la dernière expression x = √16 = 4.

Vous pouvez maintenant calculer "y":

y 2 \u003d 73 - 4 (4) 2 \u003d 73 - 64 \u003d 9.

Selon la condition, il s'avère que les jambes du triangle d'origine sont 6 et 8. Ainsi, vous pouvez utiliser la formule de la première méthode et trouver l'hypoténuse :

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Répondre: l'hypoténuse vaut 10.

Exemple de tâche #2

Condition : calculer la diagonale tracée dans un rectangle de plus petit côté égal à 41. Si l'on sait qu'elle divise l'angle en ceux qui sont liés par 2 à 1.

Dans ce problème, la diagonale d'un rectangle est le côté le plus long d'un triangle à 90º. Tout se résume donc à trouver l'hypoténuse.

Le problème concerne les coins. Cela signifie que vous devrez utiliser l'une des formules dans lesquelles il existe des fonctions trigonométriques. Et vous devez d'abord déterminer la valeur de l'un des angles aigus.

Soit le plus petit des angles mentionnés dans la condition désigné par α. Alors l'angle droit, qui est divisé par la diagonale, sera égal à 3α. La notation mathématique pour cela ressemble à ceci :

A partir de cette équation, il est facile de déterminer α. Il sera égal à 30º. De plus, il se trouvera à l'opposé du plus petit côté du rectangle. Par conséquent, la formule décrite dans la méthode n ° 3 sera requise.

L'hypoténuse est égale au rapport de la jambe au sinus de l'angle opposé, soit :

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Réponse : L'hypoténuse est 82.