Пусть однозначная функция определена в некоторой области и пусть точки и принадлежат области .

Определение. Если существует конечный предел отношения , когда по любому закону стремится к нулю, то:

1) этот предел называется производной функции в точке и обозначается символом

2) в этом случае функция называется дифференцируемой в точке .

Все правила и формулы дифференцирования функции действительного переменного остаются в силе и для функций комплексного переменного.

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы:

1) действительные функции и были дифференцируемы в точке *) ;

2) в этой точке выполнялись условия

, (4.2)

называемые условиями Коши-Римана (C.-R. ) или Даламбера-Эйлера.

При выполнении условий (C.-R .) производная функции может быть найдена по одной из следующих формул:

Приведем два определения, имеющих фундаментальное значение в теории функции комплексного переменного.

Определение. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Определение. Функция называется аналитической в точке , если она является аналитической в некоторой окрестности точки , т.е. если функция дифференцируема не только в данной точке, но и в ее окрестности.

Из приведенных определений видно, что понятия аналитичности и дифференцируемости функции в области совпадают, а аналитичность функции в точке и дифференцируемость в точке – разные понятия. Если функция аналитична в точке, то она, безусловно, дифференцируема в ней, но обратное может и не иметь места. Функция может быть дифференцируема в точке, но не быть дифференцируемой ни в какой окрестности этой точки, в таком случае она не будет аналитической в рассматриваемой точке.

Условием аналитичности функции в области является выполнимость условий Коши–Римана для всех точек этой области.

Связь аналитических функций с гармоническими . Любая ли функция двух переменных и может служить действительной и мнимой частью некоторой аналитической функции?

Если функция аналитическая в области , то функции и являются гармоническими, т.е удовлетворяют уравнению Лапласа.

и .

Однако если функции и являются произвольно выбранными гармоническими функциями, то функция , вообще говоря, не будет аналитической, т.е. условия для них не всегда будут выполняться.

Можно построить аналитическую функцию по одной заданной гармонической функции (например, ), подобрав другую так, чтобы удовлетворялись условия . Условия (4.2) позволяют определить неизвестную функцию (например, ) по ее двум частным производным или, что то же самое, по ее полному дифференциалу. Отыскивание гармонической функции по ее дифференциалу есть известная из действительного анализа задача интегрирования полного дифференциала функции двух переменных.

Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Пусть функция дифференцируема в области и . Функция отобразит точку плоскости в точку плоскости , кривую , проходящую через точку в кривую , проходящую через (рис.4.1).

Модуль производной есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками и к бесконечно малому расстоянию между их прообразами и . Поэтому величину можно рассматривать геометрически как коэффициент растяжения (если ) в точке при отображении области в области , осуществляемом функцией

В каждой точке области в каждом направлении коэффициент растяжения будет свой. Для аргумента производной можно записать

где и это соответственно углы и , которые векторы и образуют с действительной осью (рис.4.1). Пусть и углы, образованные касательными к кривой и в точках и с действительной осью. Тогда при , а , поэтому определяет угол, на который нужно повернуть касательную к кривой в точке , чтобы получить направление к касательной к кривой в точке .

Если рассмотреть две кривые и , и , то углы и (рис. 4.1) между их касательными, вообще говоря, неравные.

Определение. Отображение области на область , обладающее свойствами постоянства растяжений () в любом направлении и сохранения (или консерватизма) углов между двумя кривыми, пересекающимися в точке , называется конформным (подобным в малом). Отображение, осуществляемое аналитической функцией, является конформным во всех точках, в которых .

УПРАЖНЕНИЯ

55. Показать, что функция дифференцируема и аналитична во всей комплексной плоскости. Вычислить ее производную.

Решение. Найдем и . По определению имеем . Следовательно, .

, ,

Откуда , .

Как видно, частные производные непрерывны на всей плоскости, и функции и дифференцируемы в каждой точке плоскости. Условия выполняются. Следовательно, дифференцируема в каждой точке плоскости, а значит, и аналитична на всей плоскости . Поэтому производную можно найти по одной из формул (4.3):

Наконец, производная может быть найдена по правилам формального дифференцирования: .

56. Выяснить, является ли аналитической функция:

Решение. а) Так как , то , откуда . Как видно, первое условие (4.2) не выполняется ни при каких и . Следовательно, функция не дифференцируема ни в одной точке плоскости, а поэтому и не аналитична.

б) Имеем . Функция и дифференцируемы в каждой точке плоскости, ибо их частные производные непрерывны во всей плоскости. Но условия не выполняются ни в какой точке плоскости, кроме точки , где все частные производные равны нулю. Следовательно, функция дифференцируема только в одной точке, но не является аналитической в ней, так как по определению требуется дифференцируемость в окрестности данной точки.

Таким образом, функция не является аналитической ни при каком значении . Из приведенного примера ясно, что аналитичность функции в точке более сильное требование, чем дифференцируемость ее в этой точке.

57. Существует ли аналитическая функция, для которой ?

Решение. Проверим, является ли функция гармонической. С этой целью находим

и . Из последнего соотношения следует, что не может быть действительной, а также и мнимой частью аналитической функции.

58. Найти, если это возможно, аналитическую функцию по ее действительной части .

Решение. Прежде проверим, является ли функция гармонической. Находим , , , и . Гармоническая на всей плоскости функция сопряжена с условиями Коши-Римана , . Из этих условий получаем , . Из первого уравнения системы находим интегрированием по , считая постоянным.

где произвольная функция, подлежащая определению. Найдем отсюда и приравняем к выражению , ранее найденному: . Получим дифференциальное уравнение для определения функции , откуда

Итак, . Тогда, т.е. в данной точке происходит вращение на угол и образующие между собой угол , отображаются соответственно в лучи и , образующие между собой угол . Поэтому в точке конформность отображения нарушается в силу того, что нарушается свойство консерватизма углов: углы не сохраняются, а утраиваются.

Основная задача теории конформных отображений - построить конформное отображение заданной области на некоторую заданную область плоскости переменной w.

Непрерывное отображение области 2-мерного евклидова пространства в 2-мерное евклидово пространство называется конформным в точке, если оно в этой точке обладает свойствами постоянства растяжений и сохранения углов. Свойство постоянства растяжений в точке при отображении состоит в том, что отношение расстояния между образами и точек u к расстоянию между и стремится к определенному пределу, когда стремится к произвольным образом; число называется коэффициентом растяжения в точке при рассматриваемом отображении. Свойство сохранения (консерватизма) углов в точке при отображении состоит в том, что любая пара непрерывных кривых, расположенных в и пересекающихся в точке под углом б (т.е. имеющих касательные в точке, образующие между собой угол б), при рассматриваемом отображении переходит в пару непрерывных кривых, пересекающихся в точке под тем же углом б. Непрерывное отображение области называется конформным, если оно конформно в каждой точке этой области.

По определению, конформное отображение области обязано быть непрерывным и конформным лишь во внутренних точках, и если говорят о конформном отображении замкнутой области, то, как правило, имеют в виду непрерывное отображение замкнутой области, конформное в ее внутренних точках.

Конформные отображенияобласти 2-х мерного евклидова пространства в 2-х мерное евклидово пространство удобно рассматривать как отображение области плоскости комплексного переменного в плоскость комплексного переменного; соответственно отображение является комплекснозначной функцией комплексного переменного. При этом если в точке отображение сохраняет углы, то криволинейные углы с вершиной при этом отображении либо сохраняют свою абсолютную величину и знак, либо сохраняют свою абсолютную величину, изменяя знак на противоположный. В первом случае говорят, что отображение в точке является конформным отображением первого рода, во втором - конформным отображением второго рода. Если функция задает конформное отображение второго рода в точке, то комплексно сопряженная функция w= задает конформное отображение первого рода в точке, и наоборот. Поэтому изучаются лишь конформные отображения первого рода, и именно их обычно имеют в виду, когда говорят о конформном отображении, не уточняя их род. Если отображение конформно в точке, то при существует конечный предел отношения, т. е. существует производная. Верно и обратное. Таким образом, если существует то каждый бесконечно малый вектор с началом в точкепри отображении преобразуется с помощью линейной функции т.е. растягивается в раз, поворачивается на угол arg и параллельно сдвигается на вектор.

В теории плоских конформных отображений и ее приложениях принципиальным является вопрос о возможности однолистно и конформно отобразить одну заданную область на другую, а в практических приложениях - вопрос о возможности это сделать посредством сравнительно простых функций. Первую задачу для случая односвязных областей, границы которых не пусты и не вырождаются в точки, решает в положительном смысле теорема Римана о конформном отображении. Вторая задача для некоторых областей специального вида, решается применением элементарных функций комплексного переменного.

Основные принципы теории конформных отображений о отображении одной области на другую

Теорема Римана. Пусть - односвязная область расширенной комплексной плоскости, граница которой содержит не менее двух точек. Тогда:

• 1) существует аналитическая в функция конформно отображающая на единичный круг
• 2) эту функцию можно выбрать так, что будут выполнятся условия

где заданные точки, заданное действительное число. При этом функция условиями (1) определяются однозначно.

Две односвязные области, каждая из которых имеет не менее двух граничных точек, можно конформно отобразить одну на другую. Важным теоретическим положением, характеризующим поведение конформного отображения вблизи границы области, является следующий принцип соответствия границ.

Теорема 1. Пусть и - односвязные области, ограниченные простыми кусочно гладкими контурами и, а функция однолистно и конформно отображает область на область. Тогда:

• 1) функция, имеет непрерывное продолжение на границу области, т.е. ее можно так доопределить в точках контура, что получится функция, непрерывная в замыкании;
• 2) функция, доопределяется на границе, отображает контур взаимно однозначно на контур, причем так, что положительному обходу контура будет соответствовать положительный обход контура.

Теорема 2. Пусть функция аналитична в односвязной области, ограниченной кусочно гладким контуром, и непрерывна в замыкании этой области. Если функция осуществляет взаимно однозначное отображение контура на некоторый простой кусочно гладкий контур, то отображает область конформно и однолистно на область, ограниченную контуром, причем обходу контура в положительном направлении соответствует обход контура также в положительном направлении.

Для доказательства теоремы достаточно показать, что

• 1) для каждой точки существует только единственная такая, что, т.е. функция имеет только один нуль в области;
• 2) для каждой точки не существует точки такой, что т.е. функция не принимает значения ни при каком

Докажем первое утверждение. По условию теоремы функция не обращается в нуль на контуре, т.к. при точка попадает на контур, а лежит в и не может принадлежать. Значит, согласно принципу аргумента, число нулей функции в области равно

Так как точка лежит в области, ограниченной контуром, то, где знак плюс соответствует положительному направлению обхода контура. Отрицательное значение в данном случае невозможно, так как свидетельствует о наличии в области полюсов функции а по условию аналитична в Следовательно, и уравнение в области имеет только одно решение.

Рассмотрим второе утверждение. Если точка расположена во внешности контура, то и уравнение не имеет решений в области А это означает, что всякая внутренняя точка области при конформном и однолистностном отображении переходит во внутреннюю точку области. Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Теоремы 1и 2 верны и для областей и расширенной комплексной плоскости, ограниченных простыми кусочно гладкими контурами и.

Теорема 3 (принцип сохранения области) Если функция аналитична в области и не является постоянной, то образ области также является областью.

Для доказательства теоремы требуется показать, что множество линейно связанное и открытое. Так как отображение в силу аналитичности является непрерывным отображением, то образ любого линейно связанного множества при этом отображении является линейно связанным множеством. Следовательно, линейно связанное множество.

Докажем теперь, что открытое множество, т.е. любая точка входит в вместе с некоторой своей окрестностью. Пусть один из прообразов точки. Если, то, согласно теореме об обратной функции, в некоторой окрестности точки определена функция, обратная функция к. Следовательно, все точки этой окрестности являются образами при отображении и она целиком принадлежит. Если, то к этому же выводу приходим, опираясь на теорему (Об обратной функции).

Теорема 4 (принцип максимума модуля). Если функция аналитическая в области, а ее модуль достигает локального максимума в некоторой точке, то постоянна в.

Доказательство проведем методом от противного. Пусть. Для точки выберем произвольную окрестность, целиком принадлежащую области, и предположим, что не является постоянной в рассматриваемой окрестности. Согласно принципу сохранения области, образ круга при отображении является областью. Значит, все точки некоторой окрестности точки являются образами точек круга. В этой окрестности выберем точку, для которой (если, то можно взять

а если, то в качестве можно взять любую точку указанной окрестности). Для этой точки имеем > Поскольку окрестность точки можно выбрать сколь угодно малого радиуса, заключаем, что точка не является точкой локального максимума функции.

Итак, если функция не является постоянной в окрестности точки, то не имеет максимума в точке. Если же достигает максимума в некоторой точке области, то функция постоянна в некоторой окрестности точки, т.е. при. Согласно теореме о единственности аналитической функции, аналитические функции и совпадают в области. Другими словами, функция постоянна в.

Теорема 5. Если функция аналитична в ограниченной области и непрерывна на замыкании этой области, то функция достигает наибольшего значения на границе области.

Действительно, если функция постоянна в, то в силу непрерывности она постоянна в и утверждение теоремы очевидно.

Если же не является постоянной в, то, согласно теореме 4, функция не может достигать наибольшего значения в области, т.к. в противном случае она имела бы в точку локального максимума. Но, будучи непрерывной на замкнутом ограниченном множестве, достигает на этом множестве своего наибольшего значения: это может произойти только на границе области.

Теорема 6. Если функция аналитична в области, не имеет в нулей и ее модуль достигает в локального минимума, то постоянна в этой области.

Теорема 7 (лемма Шварца). Если аналитическая в круге функция удовлетворяет условиям, то и, z. При этом равенство или возможно хотя бы в одной точке z 0 лишь тогда, когда

Доказательство. В силу того, что точка является нулем функции, эту функцию можно представить в виде, где - аналитическая функция в, причем. Рассмотрим круг, ограниченный окружностью Функция аналитична в и непрерывна в. Поэтому, согласно теореме 5, она достигает наибольшего значения на границе. При этом при, так как по условию теоремы. Следовательно, всюду в имеем.

Предположим, что в некоторой точке выполнено неравенство. Выберем r<1 так, что. Тогда и, следовательно, . Получили противоречие, которое показывает, что на самом деле всюду в. В частности, в.

Если, то функция достигает максимума в точке, равного единице. Аналогично равенство означает, что достигает максимума в точке, равного единице. И в том и в другом случае, согласно принципу максимума модуля, функция является постоянной, причем. Следовательно, и.

Теорема 8. Пусть функция гармоническая в ограниченной области и непрерывная в замыкании этой области. Если непостоянна в, то она достигает наибольшего и наименьшего значений только на границе этой области.

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ (конформное преобразование), отображение одной области (в плоскости или в пространстве) на другую область, сохраняющее углы между кривыми. Простейшими примерами конформного отображения являются преобразования подобия и повороты (ортогональные преобразования).

Конформное отображение применяется в картографии, когда требуется часть поверхности земного шара изобразить на плоскости (карте) с сохранением величин всех углов; примеры таких конформных отображений - стереографическая проекция и проекция Меркатора (смотри Картографические проекции). Особое место занимают конформные отображения одних областей плоскости на другие; их теория имеет существенные приложения в аэро- и гидромеханике, электростатике и теории упругости. Решение многих важных задач легко получается, когда область, для которой ставится задача, имеет достаточно простой вид (например, круг или полуплоскость). Если задача ставится для более сложной области, то оказывается достаточным конформно отобразить простейшую область на данную, чтобы получить решение новой задачи из известного решения. Именно таким путём шёл Н. Е. Жуковский, создавая теорию крыла самолёта.

Не всякие области плоскости допускают конформные отображения друг на друга. Так, например, круговое кольцо, ограниченное концентрическими окружностями, нельзя конформно отобразить на кольцо с другим отношением радиусов. Однако любые две области, каждая из которых ограничена лишь одной кривой (односвязные области), могут быть конформно отображены друг на друга (теорема Римана). Что касается областей, ограниченных несколькими кривыми, то такую область всегда можно конформно отобразить на область, ограниченную таким же числом параллельных между собой прямолинейных отрезков (теорема Гильберта) или окружностей (теорема Кёбе), но размеры и взаимное расположение этих отрезков или окружностей нельзя задать произвольно.

Если ввести комплексные переменные z и w в плоскостях оригинала и образа, то переменная w, рассматриваемая при конформном отображении как функция от z, является или аналитической функцией, или функцией, комплексно сопряжённой с аналитической. Обратно, любая функция, аналитическая в данной области и принимающая в разных точках области разные значения (такая функция называется однолистной), конформно отображает данную область на некоторую другую область. Поэтому изучение конформного отображения областей плоскости сводится к изучению однолистных аналитических функций.

Всякое конформное отображение трёхмерных областей переводит сферы и плоскости в сферы и плоскости и сводится или к преобразованию подобия, или к последовательно выполненным одному преобразованию инверсии и одному преобразованию подобия (теорема Лиувилля). Поэтому конформные отображения трёхмерных (и вообще многомерных) областей не имеют столь большого значения и таких разнообразных приложений, как конформные отображения двумерных областей.

Начало теории конформного отображения заложено Л. Эйлером (1777), обнаружившим связь функций комплексного переменного с задачей о конформном отображении частей сферы на плоскость (для построения географических карт). Изучение общей задачи конформного отображения одной поверхности на другую привело К. Гаусса (1822) к развитию общей теории поверхностей. Б. Риман (1851) сформулировал условия, при которых возможно конформное отображение одной области плоскости на другую, однако намеченный им подход удалось обосновать лишь в начале 20 века (А. Пуанкаре и К. Каратеодори). Исследования Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина, открывших широкое поле приложений конформного отображения в аэро- и гидромеханике, послужили мощным стимулом для развития теории конформного отображения как большого раздела теории аналитической функций.

Лит.: Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. 2-е изд. М., 1966; Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. 2-е изд. М., 1968. Т. 2; Лаврентьев М. А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 6-е изд. М., 2002.

Здесь мы подробнее расскажем о геометрических методах теории аналитических и обобщенных аналитических функций, которыми больше всего будем пользоваться в приложениях.

§ 10. Задача Римана

Об этой основной граничной задаче теории конформных отображений уже говорилось в предыдущей главе. Она заключается в построении конформного отображения одной области на другую.

Существование и единственность. Начнем с замечания, что достаточно научиться конформно отображать произвольную односвязную область на круг, и тогда мы сможем отображать конформно друг на друга любые две такие области.

Это замечание основано на двух простых свойствах конформных отображений: 1) отображение обратное и конформному отображению и 2) сложное отображение составленное из двух конформных отображений (т. е. отображение ), снова являются конформными отображениями. Свойства ясны из определения конформного отображения как взаимно однозначного аналитического преобразования и из правил дифференцирования обратных и сложных функций.

Имея эти свойства, обосновать сделанное замечание совсем нетрудно: если функции конформно отображают соответственно области на единичный

круг то функция будет отображать на

Задача Римана решена до конца в начале этого столетия. Оказалось, что любую односвязную область, граница которой состоит более, чем из одной точки, можно конформно отобразить на единичный круг. В этом состоит знаменитая теорема Римана, которую он сформулировал еще в 1851 г., подкрепил физическими соображениями, но не доказал (точнее, его доказательство имело существенный пробел).

Займемся вопросом о том, насколько определена задача Римана, сколько решений она имеет при заданных областях Согласно замечанию, для решения этого вопроса достаточно выяснить, сколькими способами можно конформно отобразить единичный круг на себя. Нетрудно проверить, что при любом комплексном и любом действительном числе функция

конформно отображает круг на себя (в самом деле, при имеем и, следовательно, т. е. (1) преобразует единичную окружность в себя; кроме того, оно взаимно однозначно, ибо уравнение (1) однозначно разрешимо относительно и переводит точку а круга в его центр). Отображение (1) зависит от трех действительных параметров - двух координат точки а, переходящей в центр круга, и числа 0, изменение которого означает поворот круга относительно центра.

Можно доказать, что формула (1) содержит все конформные отображения единичного круга на себя. Это означает, что тремя действительными параметрами и исчерпывается произвол в решении задачи Римана:

конформное отображение одной области на другую определится однозначно, если задать соответствие трех пар граничных точек (положение точки на границе задается одним параметром) или соответствие одной пары внутренних точек (два параметра) и еще одной пары граничных точек (один параметр). Такие условия, однозначно определяющие отображение - они называются условиями нормировки - могут иметь различный вид, но каждый раз эти условия должны определять три параметра.

Примеры. Укажем несколько простейших примеров конформных отображений.

1) Отображение внешности круга на себя. Функцию (1) можно рассматривать также как отображающую внешность т. е. область на себя; в бесконечность она переводит точку которая называется симметричной с а относительно единичной окружности

2) Верхняя полуплоскость на круг тоже отображается дробнолинейной функцией:

здесь а - произвольная точка верхней полуплоскости она переводится при отображении (2) в центр круга; точка окружности, в которую переходит бесконечная точка плоскости (предел правой части (2) при очевидно, равен ).

На рис. 22 показано, во что переходят прямые h - это окружности, касающиеся единичной в точке

3) Внешность единичного круга на внешность отрезка отображается так называемой функцией Жуковского

Окружности переходят при этом в эллипсы с полуосями и с фокусами ±1, а лучи в дуги гипербол, ортогональных к эллипсам (рис. 23).

4) Полоса на единичный круг отображается функцией

Вертикальные прямые и горизонтальные отрезки при этом переходят в «меридианы» и «параллели» (рис. 24).

5) Верхняя полуплоскость с выброшенным круговым сегментом на верхнюю полуплоскость при нормировке отображается функцией

где а и а - параметры сегмента (рис. 25), а с - действительная постоянная (отметим, что наши условия нормировки задают лишь два действительных параметра, поэтому третий остается произвольным).

Для приложений эта формула слишком громоздка. При малых а и а, пользуясь первыми членами тейлоровских разложений, ее можно заменить приближенной формулой

Можно еще заметить, что с точностью до малых высших порядков дает площадь с выброшенного сегмента, поэтому (6) переписывается в виде

6) Круг с выброшенной малой луночкой на круг отображается также достаточно громоздко записывающейся функцией. Приближенную формулу для такого отображения при условии, что площадь выброшенной луночки мала, можно записать так:

здесь вершина луночки или (с той же точностью) другая ее точка.

7) Такая же приближенная формула для отображения полосы с выброшенной луночкой малой площади с на полосу имеет вид

где а - абсцисса одной из точек луночки; гиперболический тангенс.

Течение в канале. Уменье решать задачу Римана определяет успех решения некоторых задач гидродинамики. Мы проиллюстрируем это на классических примерах задач обтекания тел установившимися потоками идеальной несжимаемой жидкости. Придется, конечно, предполагать, что тела имеют форму бесконечных цилиндров (с произвольными направляющими линиями), чтобы можно было воспользоваться схемой плоского движения.

Пусть нужно найти течение в канале со стенками, которые перпендикулярны к некоторой плоскости и пересекают ее по двум бесконечным кривым без общих точек (рис. 26), причем скорости течения параллельны этой плоскости и на всех перпендикулярах к ней одинаковы. Поле скоростей в канале описывается плоским полем в полосе ограниченной кривыми

Как мы видели в предыдущей главе, предположение об отсутствии в потоке источников и вихрей приводит к выводу о существовании комплексного потенциала - аналитической в функции Найти течение - значит найти эту функцию.

Поток должен обтекать стенки канала, т. е. каждая из кривых должна быть линией тока это дает граничное условие задачи. Мы можем задать

еще расход потока который, как показано в прошлой главе, равен

где у - линия с концами т. е. любое поперечное сечение потока. Так как потенциал нас интересует с точностью до постоянного слагаемого, мы можем считать, что на на Г.

В такой постановке задача еще очень неопределенна. Например, для случая, когда является прямой полосой ее решением служит любая функция

При любых действительных и целых (мнимая часть обращается в нуль при Чтобы поставить задачу более четко, придется предположить, что ширина полосы остается ограниченной в бесконечности, наложить на некоторые условия гладкости и рассматривать лишь течения с ограниченной скоростью на бесконечности. Можно доказать, что при этих дополнительных ограничениях решением задачи будет лишь конформное отображение области на полосу с нормировкой . Это отображение определено с точностью до (действительного) постоянного слагаемого, которое не существенно, т. е. задача обтекания в принятых ограничениях решается однозначно. Ее решение, таким образом, сведено к решению задачи Римана.

дипломная работа

1.1 Понятие конформного отображения и его основные свойства

Взаимно однозначное отображение, обладающее свойством сохранения углов по величине и направлению и свойством постоянства растяжений малых окрестностей отображенных точек, называется конформным отображением.

Для обеспечения взаимной однозначности отражения выделяют области однолистности функции. Область D называется областью однолистности функции f(z), если.

Основные свойства конформных отображений:

1) постоянство растяжений. Линейное в точке одинаково для всех кривых, проходящих через эту точку, и равно;

2) сохранение углов. Все кривые в точке поворачиваются на одинаковый угол, равный.

Функция отображает точки z- плоскости (или римановой поверхности). В каждой точке z, такой что f(z) аналитична (т.е. однозначно определена и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки) и, отображение конформно, т.е. угол между двумя кривыми, проходящими через точку z, переходит в равный по величине и направлено отсчета угол между двумя соответствующими кривыми в плоскости.

Бесконечно малый треугольник около такой точки z отображается в подобный бесконечно малый треугольник - плоскости; каждая сторона треугольника растягивается в соотношении и поворачивается на угол. Коэффициент искажения (локальное отношение малых площадей) при отображении определяется якобианом отображения

в каждой точке z, где отображение конформно.

Конформное отображение преобразует линии в семейство ортогональных траекторий в w- плоскости.

Область z- плоскости, отображающаяся на всю w-плоскость функцией f(z), называется фундаментальной областью функции f(z).

Точки, где, называются критическими точками отображения.

Отображение, которое сохраняет величину, но не направление отсчета угла между двумя кривыми, называется изогональным или конформным отображением второго рода.

Отображение конформно в бесконечно удаленной точке, если функция конформно отображает начало в - плоскость.

Две кривые пересекаются под углом в точке, если преобразование переводит их в две кривые, пересекающиеся под углом в точке.

Аналогично, конформно отображает точку конформно в точку .

Алгебраические группы матриц

Пусть и --- арифметические линейные пространства столбцов высоты и соответственно. Пусть, далее, --- матрица размера. Определим отображение, полагая для любого где --- столбцы матрицы. Так как они имеют высоту...

Биекторы в конечных группах

Определение. Пусть --- группа и --- класс групп. Если и, то --- -подгруппа группы. Определение. -максимальной подгруппой группы называется такая -подгруппа группы, которая не содержится ни в какой большей -подгруппе. Определение...

Векторные поля

Определение ротора векторного поля: Ротором или вихрем векторного поля называется вектор с проекциями Основные свойства ротора: -- это векторная величина, которая является дифференциальной (т.е. точечной) характеристикой векторного поля...

Внешняя геометрия поверхностей с постоянным типом точек

Седловые поверхности в известном смысле противоположны по своим свойствам выпуклым поверхностям. Как и выпуклые поверхности, они могут быть определены чисто геометрически...

Китайская Теорема об остатках и её следствия

В данном параграфе мы рассмотрим целые числа, а обозначать их будем латинскими буквами. Возьмём произвольное фиксированное натуральное число p и будем рассматривать остатки при делении на р различных целых чисел...

Математические основы системы остаточных классов

Возьмём произвольное фиксированное натуральное число p и будем рассматривать остатки при делении на р различных целых чисел. При рассмотрении свойств этих остатков и проведении операций над ними удобно ввести понятие сравнения по модулю...

Математическое моделирование технических объектов

Модель - это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта...

Определенный интеграл

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: . 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: 3. Если, то, по определению, полагаем 4...

Практическое применение квадратурных формул с весом Чебышева-Эрмита

Пусть на всей оси задана четная весовая функция. (1.1) Дифференцируя эту функцию последовательно, находим (1.2) По индукции легко доказать, что производная порядка n от функции (1.1) есть произведение этой функции на некоторый многочлен степени n...

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности, концами которых служат точки пересечения этих больших окружностей, взятых в последовательном порядке...

Решение задачи обтекания кругового цилиндра идеальной жидкостью в кватернионах

Кватернионы были введены в математику Уильямом Роуэном Гамильтоном (William Rowan Hamilton) 1]. Они являются хорошим инструментом для решения многих задач, связанных с трехмерным пространством, и учитывают его особенности...

Статистическое моделирование

Для того чтобы оценка имела практическую ценность, она должна обладать следующими свойствами. 1. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е. М= .(22.1) Если равенство (22...

Тригонометрические функции

Циклоида

Определение циклоиды, введенное ранее, никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия -- скорости, сложения движений и т. д...

Экстремальная задача на индексационных классах

Нам понадобятся два факта из . 1. Для любого существует и единственная ФР. 2. Если, то множество одноэлементно. Если, то существуют непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок обозначает слабую сходимость)) и ФР такие...